Szimmetria csoportok

Valamely objektum (egy poliéder vagy egy metrikus tér ponthalmaza) szimmetriacsoportja (egyben szimmetriacsoport ) az összes olyan transzformáció csoportja , amelynél ez az objektum invariáns , és a kompozíció csoportműveletként működik. Általában az n - dimenziós euklideszi tér pontjainak halmazait és ennek a térnek a mozgásait veszik figyelembe, de a szimmetriacsoport fogalma általánosabb esetekben megtartja értelmét.

Példák

• Egy szegmens szimmetriacsoportja egydimenziós térben két elemet tartalmaz: az azonos transzformációt és a szegmens közepére való visszaverődést . De a kétdimenziós euklideszi térben már van 4 olyan mozgás, amely az adott szakaszt önmagává alakítja. A háromdimenziós térben egy szakasznak végtelen szimmetriakészlete van (a szimmetriacsoport elemei különösen az e szakaszt tartalmazó egyenes körül tetszőleges szögben történő elforgatások lesznek).
• Egy síkban lévő egyenlő oldalú háromszög szimmetriacsoportja egy azonos transzformációból, a háromszög középpontja körüli 120°-os és 240°-os elforgatásokból, valamint a magassága körüli tükröződésekből áll. Ebben az esetben a szimmetriacsoport 6 transzformációból áll, amelyek végrehajtják a háromszög csúcsainak összes lehetséges permutációját. Ezért ez a csoport izomorf az S 3 szimmetrikus csoporttal . A négyzet szimmetriacsoportja azonban 8-as rendű, és az S4 szimmetriacsoport izomorf egy szabályos tetraéder szimmetriacsoportjával.
• A skálaháromszög szimmetriacsoportja triviális, azaz egy elemből, az azonos transzformációból áll.
• Ha feltételezzük, hogy az emberi test tükörszimmetrikus, akkor szimmetriacsoportja két elemből áll: egy azonos transzformációból és egy olyan síkról való reflexióból, amely a testet egymásra szimmetrikusan jobb és bal oldali részekre osztja.
• Egy sík (vagy ornamentum [1] ) tetszőleges periodikus tesszellációjának van egy szimmetriacsoportja, amelynek elemei minden lehetséges módon egyesítenek egy bizonyos rögzített csempézett elemet az egyes vele egybevágó elemekkel . Ez a krisztallográfiai csoportok speciális (kétdimenziós) esete, amelyről az alábbiakban lesz szó.
• Rácsok szimmetriacsoportjai. A matematika különböző területein a rács különböző fogalmait használják. Különösen:
  • A szilárdtestfizikában és a krisztallográfiai csoportok elméletében a kristályrács transzlációs  szimmetriájú affin térben lévő pontok halmaza . Ennek a halmaznak a szimmetriáinak meg kell őrizniük a pontok közötti távolságot, azaz mozgásoknak kell lenniük . Ezeknek a mozgásoknak a csoportja egy krisztallográfiai csoport (vagy szurjektív módon homomorf módon leképez egy krisztallográfiai csoportra) [2] .
  • A csoportelméletben a rács  olyan izomorf csoport , amelyen bilineáris forma van (a háromdimenziós euklideszi térben a kitüntetett eredetű krisztallográfiai csoportok elméletéből a Bravais-rácsnak felel meg). Egy ilyen rács szimmetriáinak a csoport automorfizmusainak kell lenniük . Az ilyen automorfizmusok csoportja a krisztallográfiai csoporttal ellentétben véges, ha a rács bilineáris alakja megfelel az euklideszi térnek [3] .
• A differenciálegyenlet szimmetriacsoportja olyan változók transzformációinak csoportja, amelyek megőrzik az egyenlet alakját, és ezért az egyenlet megoldásait olyan megoldásokká alakítják, amelyek általában véve nem esnek egybe az eredetivel.

Osztályozás

Az alábbiakban feltételezzük, hogy minden pontra a képhalmaz , ahol  a szimmetriacsoport, topológiailag zárt.

Egydimenziós tér

Az egydimenziós tér minden egyes mozgása vagy egy egyenes minden pontjának átvitele valamilyen rögzített távolságra, vagy egy pontról való visszaverődés . Az egydimenziós térben lévő pontok halmaza a következő szimmetriacsoportok egyikével rendelkezik:

• triviális csoport C 1
• azonosságtranszformációból és egy pont körüli tükrözésből álló csoport (izomorf a C 2 ciklikus csoporttal )
• végtelen csoportok, amelyek valamilyen átviteli hatványokból állnak (izomorf egy végtelen ciklikus csoporthoz)
• végtelen csoportok, amelyek generátorai valamilyen fordítás és reflexió egy bizonyos ponthoz képest;
• az összes fordítás csoportja (a valós számok additív csoportjával izomorf)
• az összes fordítás és reflexió csoportja egy vonal minden pontjára vonatkozóan

Kétdimenziós tér

Kétdimenziós esetben a szimmetriacsoportokat a következő osztályokba osztjuk:

• C 1 , C 2 , C 3 , … ciklikus csoportok , amelyek egy rögzített pont körüli elforgatásokból állnak 360°/ n -el osztható szögekkel
• diédercsoportok D 1 , D 2 , D 3 , …
• speciális ortogonális csoport SO(2)
• O(2) ortogonális csoport
• 7 csoport szegély
• 17 díszcsoport (vagy lapos krisztallográfiai csoportok )
• végtelen csoportok, amelyeket az egydimenziós szimmetriacsoportokból kapunk az eredeti egyenesre merőleges irány mentén történő fordítások hozzáadásával
• az előző bekezdés, amelyhez hozzáadódik az eredeti vonal szimmetriája.

Háromdimenziós tér

A véges szimmetriacsoportok listája 7 végtelen sorozatból és 7 külön-külön vizsgált esetből áll. Ez a lista 32 pontos krisztallográfiai csoportot és szabályos poliéderek szimmetriacsoportját tartalmazza .

A folyamatos szimmetria csoportok a következők:

• egy jobb oldali körkúp szimmetriacsoportja
• körhenger szimmetriacsoportja
• a gömb szimmetriacsoportja

Lásd még

• Szabályos poliéder
• A krisztallográfiai csoportok listája
• Pontszimmetria csoport

Jegyzetek

1. ↑ A matematikában a tér burkolását mozaiknak vagy parkettának nevezik .
2. ↑ Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Hőmagok és elemzések elosztókon, grafikonokon és metrikus tereken. - AMS, 2003. - P. 288. - ISBN 0-8218-3383-9 .
3. ↑ JH Conway és NJA Sloane. Gömbcsomagolások, rácsok és csoportok . — 3. kiadás. - Springer-Verlag New York, Inc., 1999. -  90. o . — ISBN 0-387-98585-9 .

Irodalom

• G. Weil. Szimmetria. - M .: Nauka, 1968.
• Miller, Willard Jr. Szimmetriacsoportok és alkalmazásaik . - New York: Academic Press, 1972.