Szabályos dodekaéder

( forgó modell , 3D modell )

Típusú

szabályos poliéder

Tulajdonságok

konvex

Kombinatorika

Elemek

12 lap
30 él
20 csúcs

X = 2

Szempontok

5 3

Osztályozás

Jelölés

U 23 , C 26 , W 5

Schläfli szimbólum

{5,3}

Wythoff szimbólum

3 | 25

Dynkin diagram

Szimmetria csoport

I h , H 3 , [5,3], (*532)

Rotációs csoport

I, [5,3] + , (532)

mennyiségi adatok

Uszony hossza

a

Felszíni terület

3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}

Hangerő

{\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}

Kétszögű szög

\arccos(-1/5^{1/2})\körülbelül 116.565

Tömörszög a csúcson

\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {2}{11}}\right)\quad \approx 2,96

Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A szabályos dodekaéder ( más görög δώδεκα - "tizenkét" és εδρον - "arc" szóból) az öt lehetséges szabályos poliéder egyike . A dodekaéder tizenkét szabályos ötszögből [1] áll , amelyek a lapjai. A dodekaéder minden csúcsa három szabályos ötszögből álló csúcs. Így a dodekaédernek 12 lapja (ötszögletű), 30 éle és 20 csúcsa van (mindegyikben 3 él konvergál).

Történelem

Talán a legrégebbi dodekaéder formájú objektumot Észak- Olaszországban , Padova közelében találták meg a 19. század végén, i.e. 500-ból származik. e. és feltehetően az etruszkok kockaként használták [2] [3] .

Az ókori görög tudósok írásaikban figyelembe vették a dodekaédert . Platón különféle klasszikus elemeket hasonlított össze a szabályos poliéderekkel . A dodekaéderről Platón azt írta, hogy "... istene elhatározta a Világegyetemet, és ehhez folyamodott mintaként" [4] . Eukleidész a „ Kezdetek ” XIII. könyvének 17. mondatában dodekaédert épít egy kocka élére [5] [6] :132-136 . Az alexandriai Pappus a "Matematikai Gyűjteményben" egy adott gömbbe írt dodekaéder felépítésével foglalkozik, bizonyítva ezzel, hogy a dodekaéder csúcsai párhuzamos síkban helyezkednek el [7] [6] :318-319 [8] .

Számos európai ország területén számos tárgyat, úgynevezett római dodekaédert találtak, amelyek a 2-3. századból származnak. n. e., amelynek célja nem teljesen világos.

Röviddel a Rubik-kocka megjelenése után , 1981-ben egy hasonló rejtvényt szabadalmaztattak egy szabályos dodekaéder - megaminx formájában . A klasszikus Rubik-kockához hasonlóan minden élnek három része van szomszédos [9] . Később, ami a Rubik-kockát illeti, megjelentek az ilyen dodekaéderes feladványok négy darab éllel (gigaminx), öt (theraminx) stb. Összeszerelésük bonyolultsága és ideje, akárcsak a Rubik-kockánál, az élen lévő alkatrészek számának növekedésével nő.

Alapképletek

Ha az él hosszát vesszük , akkor a dodekaéder felülete egyenlő $a$

S=3a^{2}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5))))}\kb. 20{,}65a^{2}.

Dodekaéder térfogata

V={\frac {a^{3}}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\kb 7{,}66a^{3}.

A körülírt gömb sugara [10]

R={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\kb 1{,}4012a.

A félig beírt gömb sugara [ 10] ${\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}}a\approx 1{,}309a.$

A beírt gömb sugara [10]

r={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\approx 1{,}1135a.

Tulajdonságok

A dodekaéder mind a húsz csúcsa öt négy párhuzamos síkban fekszik , mindegyikben szabályos ötszöget alkotva.
A két szomszédos dodekaéder lapja közötti diéderszög arccos(−1/√5) ≈ 116,565° [10] .
A laposszögek összege mind a 20 csúcsnál 324°, a térszög (háromszög) arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617 szteradián .
A dodekaéderbe úgy írhatunk egy kockát , hogy a kocka oldalai a dodekaéder átlói legyenek.
A dodekaédernek három csillagképe van .
Egy dodekaéderbe öt kocka írható. Ha a dodekaéder ötszögletű lapjait lapos ötszögű csillagokra cseréljük úgy, hogy a dodekaéder minden éle eltűnjön, akkor öt egymást metsző kocka terét kapjuk. A dodekaéder, mint olyan, eltűnik. Zárt poliéder helyett öt ortogonalitásból álló nyílt geometriai rendszer jelenik meg. Vagy öt háromdimenziós tér szimmetrikus metszéspontja.
Egy tetszőlegesen kiválasztott lappal párhuzamos legközelebbi síkot, amelyben öt olyan csúcs található, amelyek nem tartoznak a kiválasztott laphoz, ettől a laptól az e lap köré körülírt kör sugarának távolsága választja el. És az öt csúcs körül leírt kör sugara megegyezik a kör bármelyik lapjába írt átmérőjével. Ez a két mennyiség rendre és , ahol a dodekaéder élének hossza. ${\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a$ ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a$ $a$

A dodekaéder szimmetriaelemei

A dodekaédernek van egy szimmetriaközéppontja és 15 szimmetriatengelye. A tengelyek mindegyike átmegy a szemközti párhuzamos élek felezőpontjain.
A dodekaédernek 15 szimmetriasíkja van. A szimmetriasíkok bármelyike minden oldalon áthalad a csúcson és a szemközti él közepén.
A dodekaéder forgási csoportja izomorf ( egy váltakozó 5-ös fokú csoport), míg a teljes szimmetriacsoport izomorf . $én$ $A_{5}$ $I_{h}$ $A_{5}\times Z_{2}$

Kapcsolat gömb alakú tesszellációkkal

A szabályos dodekaéder a gömb szabályos ötszögekkel való burkolását is indukálja .

Ortográfiai vetítés	Sztereografikus vetítés

Érdekes tények

Az Ernst Haeckel által 1887 -ben leírt radioláris Circorrhegma dodekaéder [11] alakja közel egy dodekaéderhez .
2003- ban a WMAP űrszonda adatainak elemzése során felvetődött egy hipotézis, miszerint az Univerzum egy dodekaéder Poincaré-tér [12] [13] [14] .

A kultúrában

A dodekaédert véletlenszám-generátorként használják (más csontokkal együtt ) asztali szerepjátékokban [15] , és d12-nek (kocka-csontoknak) nevezik.
Az asztali naptárak dodekaéder formájú papírból készülnek, ahol a tizenkét hónap mindegyike az egyik lapon található [15] .
A Pentacore játékban a világ egy geometriai alakzat formájában jelenik meg .
A Sonic the Hedgehog sorozat "Sonic the Hedgehog 3" és "Sonic & Knuckles" játékaiban a Chaos Emeralds dodekaédernek tűnik .
A "Destiny" játékban az engramok dodekaéder alakúak .
Az "Overwatch" játékban a Sigma karakter 2 dodekaédert szabadít fel a fő támadás során .
Nanoleaf intelligens távirányító [16] .

Lásd még

Pentagondodekaéder – szabálytalan dodekaéder
rombikus dodekaéder
Rombikozidodekaéder
Dodekaéderek

Jegyzetek

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrikus test // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
↑ Stefano De'Stefani. Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, Scopterto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa (olasz) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti: diario. - 1885-86. - P. 1437-1459 . Lásd még ennek az elemnek a képét a kötet végén, a szkennelt fájl 709. oldalán
↑ Amelia Carolina Sparavigna. Egy etruszk dodekaéder. - arXiv : 1205.0706 .
↑ Platón . " Timeus "
↑ Eukleidész elemei. könyv XIII. 17. javaslat . Letöltve: 2014. június 1. Az eredetiből archiválva : 2014. május 19. (határozatlan)
↑ 1 2 Eukleidész elemei. Könyvek XI-XV . - M. - L .: Állami Műszaki és Elméleti Kiadó, 1950. - Eukleidész művének orosz nyelvű fordítása mellett ez a kiadás a megjegyzésekben tartalmazza Pappus szabályos poliéderekre vonatkozó javaslatainak fordítását.
↑ Eredeti szöveg ógörögül párhuzamos latin fordítással : Liber III. Propos. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis . - 1876. - T. I. - S. 156-163.
↑ Roger Herz-Fischler. Az aranyszám matematikai története . - Courier Dover Publications , 2013. - P. 117-118.
↑ Hort V. Kétségbeesett rejtvények. A Megaminx egy trükkös dodekaéder // Tudomány és élet . - 2018. - 1. sz . - S. 104-109 . Ez a cikk többek között egy megaminx összeállításának algoritmust ad.
↑ 1 2 3 4 Bizonyítás itt: Cobb, John W. The Dodecahedron ( 2005-2007). Hozzáférés dátuma: 2014. június 1. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4.
↑ A XVII. táblázatban archiválva 2014. június 7-én, a Wayback Machine -en a radiolariákról szóló monográfiája negyedik kötetének 2-es számozása.
↑ Az általánosított Poincare dodekaéder tér hipotézis optimális fázisa a WMAP égbolttérképek térbeli keresztkorrelációs függvényében . Hozzáférés dátuma: 2012. október 31. Az eredetiből archiválva : 2013. december 7.
↑ Dodekaéder tértopológia a kozmikus mikrohullámú háttér gyenge nagyszögű hőmérsékleti összefüggéseinek magyarázataként . Hozzáférés dátuma: 2012. október 31. Az eredetiből archiválva : 2013. december 7.
↑ Jeffrey Weeks. A Poincare Dodekaéder tér és a hiányzó fluktuációk rejtélye . Az eredetiből archiválva: 2012. november 4.
↑ 12 A. T. Fehér . Csoportok grafikonjai felületeken: kölcsönhatások és modellek . - Elsevier , 2001. - P. 45. - 378 p. - ISBN 0-080-50758-1 , 978-0-080-50758-3.
↑ Termékek » Nanoleaf Remote | USA » Fogyasztói IoT és LED intelligens világítási termékek ? . NanoLeaf | USA . Letöltve: 2021. november 25. Az eredetiből archiválva : 2021. november 25. (határozatlan)

Linkek

A Wikimedia Commons rendelkezik a Szabályos dodekaéderhez kapcsolódó médiával

A dodekaéder csillagképei
dodekaéder (0) Kis csillag alakú dodekaéder (1) Nagy dodekaéder (2) Nagy csillagszerű dodekaéder (3)

Poliéder

Helyes

Háromdimenziós (platonikus szilárd testek)	szabályos tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder ikozaéder
4D	Ötcellás tesserakt Hexadecimális sejt huszonnégy cella 120 cella Hatszáz sejt
Nagyobb méret (zárójelben jelölve)	Szabályos szimplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoktaéder

Szabályos
, nem domború

Háromdimenziós az
arcok számával (zárójelben jelölve)

Monoéder (1)
Diéder (2)
Triéder (3)
Tetraéder (4)
Pentaéder (5)
Hexaéder (6)
Heptaéder (7)
Oktaéder (8)
Enneaéder (9)
Dekaéder (10)
Endekaéder (11)
Dodekaéder (12)
Tridekaéder (13)
Tetradekaéder (14)
Pentadekaéder (15)
Hexadekaéder (16)
Heptadekaéder (17)
Oktadekaéder (18)
Enneadekaéder (19)
Ikozaéder (20)
Ikozotetraéder (24)
Triakontaéder (30)
Hexacontahedron (60)
Enneakontaéder (90)
Hektotriadioéder (132)
Apeiroéder (∞)

konvex

Arkhimédeszi szilárd testek

Katalán testek

Prizmák
háromszög prizma négyszögű prizma Ötszögletű prizma Hatszögletű prizma Hétszögű prizma Nyolcszögletű prizma Kilencszögű prizma Tízszögű prizma Tizenegy szögű prizma Dodecagonal prizma

Johnson poliéder

Képletek ,
tételek ,
elméletek

Egyéb

Schläfli szimbólum
Sokszögek	{egy} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {nyolc} {9} {tíz} {tizenegy} {12} {tizennégy} {tizenöt} {17} {tizennyolc} {húsz} {harminc} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
csillag sokszögek	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Lapos parketták _	{3,6} {4,4} {6,3}
Szabályos poliéder és gömb alakú parketták	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot poliéder	{5/2,5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
lépek	{4,3,4}
Négydimenziós poliéder	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}