Maxwell-egyenletek

A Maxwell - egyenletek differenciális vagy integrál formájú egyenletrendszer , amely leírja az elektromágneses teret és annak kapcsolatát a vákuumban és folytonos közegben lévő elektromos töltésekkel és áramokkal . A Lorentz-erő kifejezésével együtt , amely az elektromágneses mezőnek a töltött részecskékre gyakorolt hatásának mértékét határozza meg, ezek az egyenletek a klasszikus elektrodinamika teljes egyenletrendszerét alkotják , amelyet néha Maxwell-Lorentz-egyenleteknek is neveznek. A James Clerk Maxwell által a 19. század közepére felhalmozott kísérleti eredmények alapján megfogalmazott egyenletek kulcsszerepet játszottak az elméleti fizika fogalmainak kialakulásában, és nemcsak a fizika minden területére erős, sokszor döntő hatást gyakoroltak. közvetlenül kapcsolódik az elektromágnesességhez , hanem számos később felmerülő alapvető elmélethez is, amelyek témája nem redukálódott az elektromágnesességre (az egyik legvilágosabb példa erre a speciális relativitáselmélet ).

Történelem

A James Clerk Maxwell által megfogalmazott egyenletek számos fontos kísérleti felfedezésből származtak, amelyeket a 19. század elején tettek . 1820- ban Hans Christian Oersted felfedezte [1] , hogy a vezetéken áthaladó galvanikus áram hatására az iránytű mágneses tűje eltér. Ez a felfedezés felkeltette az akkori tudósok széles figyelmét. Ugyanebben az 1820-ban Biot és Savart kísérletileg kifejezést talált [2] az áram által generált mágneses indukcióra ( Biot-Savart törvény ), és André Marie Ampère azt is felfedezte, hogy kölcsönhatás lép fel két olyan vezető között, amelyeken keresztül áram van áthaladva. Ampere bevezette az " elektrodinamikai " kifejezést, és azt a hipotézist állította fel, hogy a természetes mágnesesség a mágnesben lévő köráramokkal függ össze [3] .

Az áram mágnesre gyakorolt hatása, amelyet Oersted fedezett fel, Michael Faraday -t arra a gondolatra vezette, hogy a mágnesnek inverz hatást kell gyakorolnia az áramokra. Hosszas kísérletek után 1831 -ben Faraday felfedezte, hogy a vezető közelében mozgó mágnes elektromos áramot hoz létre a vezetőben . Ezt a jelenséget elektromágneses indukciónak nevezték . Faraday bevezette az „ erőtér ” fogalmát – egy bizonyos közeget, amely töltések és áramok között helyezkedik el . Érvei kvalitatív jellegűek voltak, de óriási hatással voltak Maxwell kutatásaira.

Faraday felfedezései után világossá vált, hogy az elektromágnesesség régi modelljei ( Ampère , Poisson stb.) hiányosak. Weber elmélete , amely a hosszú távú cselekvésen alapul, hamarosan megjelent . Ekkorra azonban a gravitációelmélet kivételével az összes fizika már csak a rövid távú hatásokkal foglalkozott (optika, termodinamika, kontinuummechanika stb.). Gauss , Riemann és számos más tudós azt feltételezte, hogy a fénynek elektromágneses természete van, így az elektromágneses jelenségek elméletének is a rövid hatótávolságú kölcsönhatáson kell alapulnia. Ez az elv Maxwell elméletének lényeges jellemzőjévé vált.

Maxwell híres "Treatise on Electricity and Magnetism" ( 1873 ) című művében ezt írta [4] :

Faraday munkásságának tanulmányozása közben azt tapasztaltam, hogy a jelenségek megértésének módszere is matematikai volt, bár nem közönséges matematikai szimbólumok formájában jelenik meg. Megállapítottam azt is, hogy ez a módszer a szokásos matematikai formában is kifejezhető, így összehasonlítható a hivatásos matematikusok módszereivel.

A Faraday-féle „erőtér” kifejezést a „térerősség” fogalmára cserélve Maxwell elmélete kulcsfontosságú tárgyává tette [5] :

Ha ezt a környezetet hipotézisnek fogadjuk el, akkor úgy gondolom, hogy tanulmányainkban előkelő helyet kell elfoglalnia, és működésének minden részletéről meg kell próbálnunk racionális képet alkotni, ami ebben az állandó célom volt. értekezés.

Egy ilyen elektrodinamikus közeg teljesen új koncepció volt a newtoni fizikában. Ez utóbbi a testek és a tömeg közötti kölcsönhatást vizsgálta. Maxwell viszont felírta azokat az egyenleteket, amelyeknek a közegnek engedelmeskednie kell, ami meghatározza a töltések és áramok kölcsönhatását, és ezek hiányában is fennáll.

Az ismert kísérleteket elemezve Maxwell egy egyenletrendszert kapott az elektromos és mágneses mezőkre. 1855 - ben a legelső cikkében, " On Faraday's Lines of Force" [6] ("On Faraday's Lines of Force" [7] ) először írta le az elektrodinamikai egyenletrendszert differenciális formában, de az elmozdulás bevezetése nélkül. aktuális még . Egy ilyen egyenletrendszer minden addig ismert kísérleti adatot leírt, de nem tette lehetővé a töltések és áramok egymáshoz való viszonyítását, valamint az elektromágneses hullámok előrejelzését [8] . Az eltolási áramot először Maxwell vezette be az „ On Physical Lines of Force” [9] („On Physical Lines of Force” [10] ) című, négy részből álló, 1861-1862-ben megjelent munkájában. Általánosítva az Ampère -törvényt , Maxwell bevezeti az eltolási áramot , valószínűleg azért, hogy az áramokat és a töltéseket egy folytonossági egyenlettel kapcsolja össze , amely már ismert volt más fizikai mennyiségeknél [8] . Következésképpen ebben a cikkben az elektrodinamika teljes egyenletrendszerének megfogalmazása ténylegesen befejeződött. Az 1864 - es „ Az elektromágneses mező dinamikus elmélete” [ 12] című dolgozatában a korábban megfogalmazott 20 egyenletből álló egyenletrendszert vették figyelembe 20 ismeretlenre. Ebben a cikkben Maxwell először fogalmazta meg az elektromágneses tér fogalmát, mint fizikai valóságot, amelynek saját energiája és véges terjedési ideje van, ami meghatározza az elektromágneses kölcsönhatás késleltetett jellegét [8] .

Kiderült, hogy nemcsak az áramerősség, hanem az időben változó elektromos tér (eltolódási áram) is mágneses teret hoz létre . A Faraday-törvény miatt viszont a változó mágneses mező ismét elektromosat generál. Ennek eredményeként egy elektromágneses hullám terjedhet az üres térben . A Maxwell-egyenletekből az következett, hogy sebessége egyenlő a fény sebességével , így Maxwell a fény elektromágneses természetére következtetett.

Egyes fizikusok ellenezték Maxwell elméletét (főleg az elmozduló áram fogalma váltott ki sok kifogást). Helmholtz javasolta elméletét, kompromisszumot Weber és Maxwell modelljeivel kapcsolatban, és utasította tanítványát, Heinrich Hertzet , hogy végezze el annak kísérleti ellenőrzését. Hertz kísérletei azonban egyértelműen megerősítették Maxwell helyességét.

Maxwell nem használt vektoros jelölést, és az egyenleteit meglehetősen nehézkes komponens formában írta meg. Értekezésében [13] részben a kvaterniós megfogalmazást is alkalmazta. A Maxwell-egyenletek modern formája 1884 körül jelent meg Heaviside , Hertz és Gibbs munkája nyomán . Nemcsak átírták a Maxwell-rendszert vektoros formában, hanem szimmetrizálták is, újrafogalmazták a mező szempontjából, megszabadulva a Maxwell elméletében jelentős szerepet játszó elektromos és mágneses potenciáloktól, mivel úgy gondolták, hogy ezek a függvények csak szükségtelen segédeszközök. matematikai absztrakciók [14] . Érdekes, hogy a modern fizika támogatja Maxwellt, de nem osztja korai követőinek a potenciálokkal kapcsolatos negatív attitűdjét. Az elektromágneses potenciál fontos szerepet játszik a kvantumfizikában , és fizikailag mérhető mennyiségként jelenik meg néhány kísérletben, például az Aharonov-Bohm-effektusban [15] .

A Hertz és Heaviside megfogalmazásában szereplő egyenletrendszert egy ideig Hertz-Heaviside egyenleteknek nevezték [16] . Einstein klasszikus cikkében "A mozgó testek elektrodinamikájáról" [17] Maxwell-Hertz egyenleteknek nevezte őket. A szakirodalomban néha a Maxwell-Heaviside egyenlet neve is szerepel [18] .

A Maxwell-egyenletek fontos szerepet játszottak a speciális relativitáselmélet (SRT) kialakulásában. Joseph Larmor ( 1900 ) [19] és tőle függetlenül Henrik Lorenz ( 1904 ) [20] a koordináták, az idő és az elektromágneses mezők transzformációit találta, amelyek invariánsan hagyják a Maxwell-egyenleteket, amikor az egyik tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerből a másikba lépnek. Ezek a transzformációk eltértek a klasszikus mechanika galilei transzformációitól, és Henri Poincaré [21] javaslatára Lorentz-transzformációk néven váltak ismertté . Ezek lettek a speciális relativitáselmélet matematikai alapjai .

Az elektromágneses hullámok fénysebességű terjedését eredetileg valamilyen közeg, az úgynevezett éter perturbációjaként értelmezték [22] . Számos kísérlet történt (lásd történeti áttekintés ) a Föld éterhez viszonyított mozgásának kimutatására, de ezek mindig negatív eredményt adtak. [~ 1] Ezért Henri Poincaré feltételezte, hogy alapvetően lehetetlen egy ilyen mozgást észlelni ( relativitás elve ). Övé a fénysebességnek a forrássebességtől való függetlenségéről szóló posztulátum és az így megfogalmazott relativitáselméleten alapuló következtetés (Lorentzzel együtt) a Lorentz-transzformációk (a csoporttulajdonságok ) pontos formája. ezen transzformációk közül is bemutatásra került). Ez a két hipotézis (posztulátum) képezte Albert Einstein cikkének alapját ( 1905 ) [17] . Segítségükkel levezette a Lorentz-transzformációkat is, és jóváhagyta azok általános fizikai jelentését, különösen hangsúlyozva azok alkalmazásának lehetőségét bármely inerciális vonatkoztatási rendszerről bármely más inerciarendszerre való átmenetre. Ez a munka tulajdonképpen a speciális relativitáselmélet felépítését jelentette. Az SRT-ben a Lorentz-transzformációk a tér és az idő általános tulajdonságait tükrözik, és az étermodell szükségtelennek bizonyul. Az elektromágneses mezők független objektumok, amelyek egyenrangúak az anyagi részecskékkel.

A Maxwell-egyenleten alapuló klasszikus elektrodinamika számos alkalmazás alapját képezi az elektro- és rádiótechnikában, a mikrohullámú és az optikában. Eddig nem találtak olyan hatást, amely az egyenletek módosítását igényelné. A kvantummechanikában is alkalmazhatóak, amikor például töltött részecskék mozgását vesszük figyelembe külső elektromágneses mezőben. Ezért a Maxwell-egyenletek képezik az anyag elektromágneses tulajdonságainak mikroszkópos leírásának alapját.

A Maxwell-egyenletek az asztrofizikában és a kozmológiában is keresettek, mivel sok bolygó és csillag rendelkezik mágneses mezővel. A mágneses mező különösen az olyan objektumok tulajdonságait határozza meg, mint a pulzárok és kvazárok .

A megértés jelenlegi szintjén minden alapvető részecske különböző mezők kvantumgerjesztése ("kvantum"). Például a foton egy elektromágneses mező kvantuma, az elektron pedig egy spinormező kvantuma [23] . Ezért a Faraday által javasolt és Maxwell által jelentősen kifejlesztett terepi megközelítés a modern alapvető részecskefizika alapja, beleértve annak standard modelljét is .

Történelmileg valamivel korábban fontos szerepet játszott a kvantummechanika megjelenésében Schrödinger megfogalmazásában és általában a részecskék mozgását leíró kvantumegyenletek felfedezésében, beleértve a relativisztikusakat is ( Klein-Gordon egyenlet , Dirac-egyenlet ). , bár kezdetben a Maxwell-egyenletekkel való analógia itt inkább csak általános elképzelésben volt látható, később kiderült, hogy konkrétabban és részletesebben is értelmezhető (a fent leírtak szerint).

A terepszemlélet is, amely általában Faraday-ig és Maxwell-ig nyúlik vissza, központi szerepet kapott a gravitáció elméletében (beleértve az általános relativitáselméletet is ).

Maxwell-egyenletek és mértékegységek rögzítése

A legtöbb egyenlet felírása a fizikában nem függ az egységrendszer megválasztásától . Ez azonban nem így van az elektrodinamikában. A mértékegységrendszer megválasztásától függően a Maxwell-egyenletekben különféle együtthatók (állandók) jelennek meg. A nemzetközi mértékegységrendszer (SI) a mérnöki és oktatási szabvány, azonban a fizikusok között a viták a versengő CGS mértékegységrendszerrel összehasonlítva előnyeiről és hátrányairól nem csillapodnak [24] ; itt és lent mindenhol a CGS kizárólag szimmetrikus Gauss CGS rendszert jelent. A CGS-rendszer előnye az elektrodinamikában, hogy benne minden mező azonos dimenzióval rendelkezik , és az egyenletek sok tudós szerint egyszerűbb és természetesebb módon vannak felírva [25] . Ezért a GHS-t továbbra is használják az elektrodinamikáról szóló tudományos publikációkban és az elméleti fizika tanításában, például Landau és Lifshitz elméleti fizika során . A gyakorlati alkalmazásokhoz azonban a GHS-be bevezetett mértékegységek, amelyek közül sok névtelen és nem egyértelmű, gyakran kényelmetlenek. Az SI-rendszer szabványosított és jobban önkonzisztens, minden modern metrológia erre a rendszerre épül [26] . Ezenkívül az SI rendszert általánosan használják az általános fizika kurzusokban. Ebben a vonatkozásban az összes relációt, ha az SI és CGS rendszerekben eltérően írják, két változatban adjuk meg.

Néha (például a Feynman Fizikai előadások egyes szakaszaiban , valamint a modern kvantumtérelméletben) olyan mértékegységrendszert használnak, amelyben a fénysebesség, az elektromos és mágneses állandók egységnek számítanak: . Egy ilyen rendszerben a Maxwell-egyenletek egyáltalán együtthatók nélkül vannak felírva, minden mezőnek egyetlen dimenziója van, és minden potenciálnak megvan a sajátja. Egy ilyen rendszer különösen alkalmas az elektrodinamika törvényeinek kovariáns négydimenziós megfogalmazására az elektromágneses tér 4-es potenciálja és 4-tenzora szempontjából . $c=\varepsilon _{0}=\mu _{0}=1$

Maxwell-egyenletek differenciál alakban

A Maxwell-egyenletek négy egyenletből álló vektoros jelölésrendszer, amely a komponens reprezentációjában nyolcra redukál (két vektoregyenlet három komponenst tartalmaz, plusz két skalár [ ~ 2] ) elsőrendű lineáris parciális differenciálegyenletekre négy vektor 12 komponensére. pszeudovektor függvények ( ): $\mathbf {D} ,\;\mathbf {E} ,\;\mathbf {H} ,\;\mathbf {B}$

Név	GHS [~3]	SI	Hozzávetőleges szóbeli kifejezés
Gauss törvény	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	Az elektromos töltés az elektromos indukció forrása.
Gauss törvénye a mágneses térre	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Nem észleltek mágneses töltést. [~4]
Faraday indukciós törvénye	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	A mágneses indukció változása örvényes elektromos teret hoz létre. [~4]
Mágneses tér cirkulációs tétele	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} } {\részleges t))$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$	Az elektromos áram és az elektromos indukció változása örvény mágneses teret hoz létre

A következőkben a félkövér vektor és pszeudovektor mennyiségeket, a dőlt betű a skaláris mennyiségeket jelöli .

Bevezetett jelölések:

$\rho\$ - harmadik féltől származó elektromos töltés térfogatsűrűsége (SI- egységekben - C / m³ );
$\mathbf {j}$ - elektromos áramsűrűség (vezetési áramsűrűség) (SI-egységben - A / m²); a legegyszerűbb esetben egyfajta töltéshordozók által generált áram esetén egyszerűen ] ; általános esetben ezt a kifejezést különböző típusú médiákra kell átlagolni; $\mathbf {j} =\mathbf {u} \rho _{1}$ $\mathbf {u}$ $\rho_{1}$ $\rho$
$c$ - a fény sebessége vákuumban (299 792 458 m / s );
$\mathbf {E}$ - elektromos térerősség (SI-egységben - V / m);
$\mathbf {H}$ — mágneses térerősség (SI-egységben – A/m);
$\mathbf {D}$ - elektromos indukció (SI-egységben - C / m²);
$\mathbf {B}$ - mágneses indukció (SI-egységben - Tl \ u003d Wb / m² \ u003d kg • s −2 • A −1 );
$\nabla$ a nabla differenciál operátora , miközben: $\nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E}$ jelenti a vektor forgórészét , $\mathbf {E}$ $\nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E}$ a vektor divergenciáját jelenti . $\mathbf {E}$

A fenti Maxwell -egyenletek még nem alkotják az elektromágneses téregyenletek teljes rendszerét , mivel nem tartalmazzák annak a közegnek a tulajdonságait, amelyben az elektromágneses teret gerjesztik . A , , és mennyiségeket összekötő és a közeg egyedi tulajdonságait figyelembe vevő összefüggéseket konstitutív egyenleteknek nevezzük . $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {j}$

Maxwell-egyenletek integrál formában

Az Ostrogradsky-Gauss képlet és a Stokes-tétel felhasználásával a Maxwell-féle differenciálegyenletek integrálegyenletek formájában adhatók meg :

Név	GHS	SI	Hozzávetőleges szóbeli kifejezés
Gauss törvény	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =Q$	Az elektromos indukció zárt felületen áthaladó áramlása arányos a felület által határolt térfogatban lévő szabad töltés mennyiségével.
Gauss törvénye a mágneses térre	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	A zárt felületen keresztül a mágneses indukció fluxusa nulla (mágneses töltéseket nem észleltek [~ 4] ).
Faraday indukciós törvénye	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	A nyitott felületen áthaladó mágneses indukció fluxusának ellenkező előjellel vett változása arányos az elektromos tér keringésével egy zárt kontúron , amely a felület határa [~ 4] . $s$ $l$ $s$
Mágneses tér cirkulációs tétele	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ ${\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ $I+{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	A szabad töltések teljes elektromos árama és az elektromos indukció nyitott felületen áthaladó áramlásának változása arányos a mágneses tér keringésével egy zárt kontúron , amely a felület határa . $s$ $l$ $s$

Bevezetett jelölések:

$s\$ - a Gauss-tétel esetén egy kétdimenziós zárt felület, amely a térfogatot korlátozza , és egy nyitott felület a Faraday és Ampere-Maxwell törvények esetén (határa zárt körvonal ). $v\$ $l\$
$Q=\int \limits _{v}\rho \,dv\$ - a felület által határolt térfogatba zárt elektromos töltés (SI mértékegységben - C ); $v\$ $s\$
$I=\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \$ - a felületen áthaladó elektromos áram (SI mértékegységben - A ). $s\$

Zárt felület feletti integráláskor a területelem vektora a térfogatból kifelé irányul. Nyitott felületre történő integráláskor a tájolást a jobb oldali csavar iránya határozza meg , amely "becsavarodik", amikor a kontúrintegrál megkerülésének irányába fordul . $d\mathbf {s}$ $d\mathbf {s}$ $d\mathbf {l}$

A Maxwell-törvények szóbeli leírása, például Faraday törvénye a hagyomány nyomát viseli, hiszen eleinte a mágneses fluxus szabályozott változásával elektromos tér (pontosabban elektromotoros erő ) megjelenését rögzítették. Általános esetben a Maxwell-egyenletekben (differenciális és integrál formában is) a vektorfüggvények egyenlő, egyenletek megoldása eredményeként meghatározott ismeretlen mennyiségek. $\mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H}$

Lorentz erő

A Maxwell-egyenletek megoldása során a töltések és áramok eloszlását gyakran adottnak tekintjük. A peremfeltételek és az anyagegyenletek figyelembevételével ez lehetővé teszi az elektromos térerő és a mágneses indukció meghatározását, amelyek viszont meghatározzák a sebességgel mozgó teszttöltésre ható erőt . Ezt az erőt Lorentz-erőnek nevezik : $\rho$ $\mathbf {j}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $q$ $\mathbf {u}$

GHS	SI
$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$	$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$

Az erő elektromos komponense az elektromos térrel párhuzamosan, a mágneses komponens pedig merőleges a töltési sebességre és a mágneses indukcióra. A mágneses tér töltésére ható erő első kifejezését (az elektromos komponens ismert volt) 1889-ben Heaviside [27] [28] szerezte meg három évvel Hendrik Lorentz előtt , aki 1892 -ben származtatta ennek az erőnek a kifejezését .

A klasszikus és kvantumfizika bonyolultabb helyzeteiben, amikor elektromágneses terek hatására szabad töltések mozognak és megváltoztatják a mezők értékét, meg kell oldani a Maxwell-egyenletekből és mozgásegyenletekből álló önkonzisztens rendszert . , beleértve a Lorentz erőket is. Egy ilyen komplett rendszer pontos analitikai megoldásának elérése általában nagy nehézségekkel jár. Az önkonzisztens mező ilyen egyenletrendszerének fontos példája a plazmadinamikát leíró Vlasov-Maxwell egyenletek .

Dimenziós állandók a Maxwell-egyenletekben

A Gauss-féle CGS-egységrendszerben minden mezőnek azonos a mérete, és az egyetlen alapvető állandó a Maxwell-egyenletekben jelenik meg , amelynek a sebesség dimenziója van, amelyet ma fénysebességnek neveznek (ez volt az állandó egyenlősége a fény terjedési sebessége, amely Maxwellnek alapot adott a fény elektromágneses természetére vonatkozó hipotézishez [29] ). $c$

Az SI mértékegységrendszerben az elektromos indukció és az elektromos térerősség vákuumban való összefüggésbe hozásához egy elektromos állandót ( ) vezetnek be. A mágneses állandó ugyanaz az arányossági tényező a vákuumban lévő mágneses tér esetében ( ). Az elektromos állandó és a mágneses állandó elnevezések már szabványosítva vannak. Korábban ezekre a mennyiségekre a vákuum elektromos (dielektromos) és mágneses permeabilitása elnevezéseket is használták [30] [31] . $\varepszilon_{0}$ $\mathbf {D} =\varepszilon _{0}\mathbf {E}$ $\mu_{0}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H}$

Az elektromágneses sugárzás sebessége vákuumban ( fénysebesség ) SI -ben a hullámegyenlet levezetésében jelenik meg :

c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0))))

Az SI mértékegységrendszerben a vákuumban lévő fénysebesség pontos méretállandóként , a 2018–2019-es változás utáni mágneses állandó pedig egy kísérletileg meghatározott mennyiség. Rajtuk keresztül fejeződik ki az elektromos állandó . $c$ $\mu_{0}$ $\varepszilon_{0}$

A fénysebesség , elektromos és mágneses állandók [32] értékeit a táblázat tartalmazza:

Szimbólum	Név	Numerikus érték	SI mértékegységek
$c$	Fénysebesség állandó	$299\;792\;458$ (pontosan)	m / s
$\mu_{0}$	Mágneses állandó	$1{,}256\;637\times 10^{-6}$	H /m
$\varepsilon _{0}=1/(\mu _{0}c^{2})$	Elektromos állandó	$8{,}854\;188\times 10^{-12}$	f /m

Néha bevezetik a "vákuumhullám impedanciának" vagy vákuum " impedanciának" nevezett mennyiséget :

Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=\mu _{0}c\kb. 120\pi

Ohm .

a GHS rendszerben . Ez az érték egy sík elektromágneses hullám elektromos és mágneses mezőjének erősségei amplitúdóinak arányát jelenti vákuumban . A hullámellenállás fizikai jelentését azonban nem lehet ennek a mennyiségnek tulajdonítani, mivel ugyanabban a CGS rendszerben a mérete nem esik egybe az ellenállás méretével [33] . $Z_{0}=1$

Maxwell-egyenletek a közegben

Egy teljes elektrodinamikai egyenletrendszer megszerzéséhez a Maxwell-egyenletrendszerhez olyan konstitutív egyenleteket kell hozzáadni, amelyek a , , , , mennyiségeket kapcsolják össze , amelyekben a közeg egyedi tulajdonságait figyelembe veszik. Az anyagegyenletek megszerzésének módját a közeg polarizációjának , mágnesezettségének és elektromos vezetőképességének molekuláris elméletei adják meg , a közeg idealizált modelljei segítségével. Rájuk alkalmazva a klasszikus vagy kvantummechanika egyenleteit , valamint a statisztikus fizika módszereit, kapcsolatot lehet teremteni egyrészt a , és másrészt a vektorok között . $\mathbf {j}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {j}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Kapcsolódó díjak és áramok

Amikor elektromos teret alkalmazunk egy dielektromos anyagra, minden molekulája mikroszkopikus dipólussá válik . Ebben az esetben az atomok pozitív magjai kissé eltolódnak a mező irányába, az elektronhéjak pedig az ellenkező irányba. Ezenkívül egyes anyagok molekulái kezdetben dipólusmomentummal rendelkeznek. A dipólmolekulák hajlamosak a mező irányába orientálódni. Ezt a hatást dielektromos polarizációnak nevezik . A molekulák kötött töltéseinek ilyen elmozdulása a térfogatban egyenértékű a töltések bizonyos eloszlásának megjelenésével a felületen, bár a polarizációs folyamatban résztvevő összes molekula semleges marad (lásd az ábrát).

Hasonlóképpen a mágneses polarizáció ( mágnesezés ) olyan anyagokban fordul elő, amelyekben az őket alkotó atomok és molekulák olyan mágneses momentumokkal rendelkeznek , amelyek az atommagok és az elektronok spin- és keringési momentumához kapcsolódnak. Az atomok szögnyomatéka köráramként ábrázolható. Az anyag határán az ilyen mikroszkopikus áramok összessége egyenértékű a felület mentén keringő makroszkopikus áramokkal, annak ellenére, hogy az egyes mágneses dipólusokban a töltések mozgása csak mikroskálán történik (kötött áramok).

A vizsgált modellek azt mutatják, hogy bár egy külső elektromágneses tér hat az egyes atomokra és molekulákra, viselkedése sok esetben leegyszerűsítve, makroszkopikus léptékben, a mikroszkópos kép részleteit figyelmen kívül hagyva tekinthető.

A közegben külső elektromos és mágneses mezők okozzák az anyag polarizációját és mágnesezését, amelyeket makroszkóposan az anyag polarizációs vektora, illetve mágnesezési vektora ír le, és a kötött töltések és áramok megjelenése okozza . Ennek eredményeként a közegben lévő mező a külső mezők és a kötött töltések és áramok által okozott mezők összege. $\mathbf {P}$ $\mathbf {M}$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$

GHS	SI
$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=c\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t))$	$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t))$

Egy anyag polarizációja és mágnesezettsége az alábbi összefüggésekkel függ össze az elektromos és mágneses mező intenzitás- és indukciós vektoraival: $\mathbf {P}$ $\mathbf {M}$

GHS	SI
$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M})$

Ezért a vektorok kifejezésével és a , , és segítségével matematikailag ekvivalens Maxwell-egyenletrendszert kaphatunk: $\mathbf {D}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi [\rho _{f}+\rho _{b}]$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[\rho _{f}+\rho _{b}]$
$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$
$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1} {c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1}{c^{2} )){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))$

Az index itt a szabad töltéseket és áramokat jelöli. A Maxwell-egyenletek ebben a formában alapvetőek abban az értelemben, hogy nem függenek az anyag elektromágneses eszközének modelljétől. A töltések és áramok szétválasztása szabadra és kötöttre lehetővé teszi, hogy „elrejtőzzön” a , , majd az elektromágneses tér összetett mikroszkópos természetében a közegben. $f\$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$ $\mathbf {P} ,\mathbf {M}$ $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$

Anyagegyenletek

Az anyagegyenletek kapcsolatot hoznak létre és között . Ebben az esetben a környezet egyedi tulajdonságait veszik figyelembe. A gyakorlatban a konstitutív egyenletek általában kísérletileg meghatározott együtthatókat használnak (amelyek általában az elektromágneses tér frekvenciájától függenek), amelyeket különféle fizikai mennyiségek referenciakönyveibe gyűjtenek [34] . $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$

Gyenge , térben és időben viszonylag lassan változó elektromágneses mezőkben izotróp , nem ferromágneses és nem ferroelektromos közegek esetén érvényes egy olyan közelítés, amelyben a polarizálhatóság és a mágnesezettség lineárisan függ az alkalmazott mezőktől:

GHS	SI
$\mathbf {P} =\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H}$	$\mathbf {P} =\varepszilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,$

ahol dimenzió nélküli állandókat vezetünk be: az anyag dielektromos szuszceptibilitása és mágneses szuszceptibilitása (az SI mértékegységrendszerben ezek az állandók többszörösek, mint a Gauss-féle CGS rendszerben ). Ennek megfelelően az elektromos és mágneses indukciók konstitutív egyenletei a következő formában vannak felírva: $\chi _{e}\$ $\chi _{m}\$ $4\pi\$

GHS	SI
$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =(1+4\pi \chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} =(1+4\pi \chi _{m})\mathbf {H}$	$\mathbf {D} =\varepszilon _{0}\varepszilon \mathbf {E} =\varepszilon _{0}(1+\chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mu \mathbf {H} =\mu _{0}(1+\chi _{m})\mathbf {H},$

ahol a relatív permittivitás , a relatív mágneses permeabilitás . Az SI rendszerben felmerülő dimenziós mennyiségeket (SI mértékegységben - F / m ) és (SI mértékegységben - H / m ) abszolút permittivitásnak , illetve abszolút mágneses permeabilitásnak nevezzük . $\varepszilon\$ $\mu\$ $\varepsilon _{0}\varepsilon$ $\mu _{0}\mu$

A vezetőkben összefüggés van az áramsűrűség és az elektromos térerősség között, jó közelítéssel az Ohm-törvény által kifejezve :

\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} ,

ahol a közeg fajlagos vezetőképessége (SI-egységben – Ohm −1 • m −1 ). $\sigma$

Anizotróp közegben , és tenzorok , és . _ A főtengelyek koordinátarendszerében átlós mátrixokkal írhatók le . Ebben az esetben a térerősségek és az indukciók közötti kapcsolat koordinátánként eltérő együtthatóval rendelkezik. Például az SI rendszerben : $\varepsilon$ $\mu$ $\sigma$ ${\kalap {\varepszilon ))$ ${\kalap {\mu ))$ ${\kalap {\sigma ))$

{\begin{array}{lll}D_{x}=\varepszilon _{0}\varepszilon _{xx}\,E_{x},~~~~~&D_{y}=\varepszilon _{0}\ varepszilon _{yy}\,E_{y},~~~~~&D_{z}=\varepszilon _{0}\varepszilon _{zz}\,E_{z},\\[3mm]B_{x} =\mu _{0}\mu _{xx}\,H_{x},~~~~~&B_{y}=\mu _{0}\mu _{yy}\,H_{y},~ ~~~~&B_{z}=\mu _{0}\mu _{zz}\,H_{z}.\end{array}}

Bár az anyagok széles osztályára a gyenge mezőkre vonatkozó lineáris közelítés jó pontossággal érvényes, általában a és közötti kapcsolat nemlineáris lehet . Ebben az esetben a közeg áteresztőképessége nem állandó, hanem az adott pontban lévő tér nagyságától függ. Ezen túlmenően a térbeli vagy időbeli diszperziós környezetekben összetettebb kapcsolat figyelhető meg a és között . Térbeli szóródás esetén a tér egy adott pontjában az áramok és töltések nemcsak ugyanabban a pontban, hanem a szomszédos pontokban is függenek a tér nagyságától. Idődiszperzió esetén a közeg polarizációját és mágnesezettségét nem csak az adott időpillanatban fellépő mező nagysága határozza meg, hanem a korábbi időpillanatokban lévő mezők nagysága is. A diszperziós nemlineáris és inhomogén közegek legáltalánosabb esetben az SI rendszerben a konstitutív egyenletek integrál alakot öltenek: $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$ $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$

\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\ hat {\chi ))_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',tt',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {E} (\mathbf { r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} ';

\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)=\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi )) _{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',tt',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {H} (\mathbf {r} ',t' )\,dt'd^{3}\mathbf {r} '.

Hasonló egyenleteket kapunk a Gauss-féle CGS rendszerben (ha formálisan beállítjuk ). $\varepsilon_{0}=1$

Egyenletek izotróp és homogén közegben diszperzió nélkül

Izotróp és homogén közegben diszperzió nélkül a Maxwell-egyenletek a következő alakot öltik:

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon ))$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\mu \mu _{0}}\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \ mathbf {E} }{\partial t))$

Az optikai frekvenciatartományban a permittivitás helyett a törésmutatót használják , amely a közegben a monokromatikus fényhullám terjedési sebessége és a vákuumban lévő fénysebesség közötti különbséget mutatja. Ebben az esetben az optikai tartományban a permittivitás általában észrevehetően alacsonyabb, mint alacsony frekvenciákon, és a legtöbb optikai adathordozó mágneses permeabilitása gyakorlatilag egységgel egyenlő. A legtöbb átlátszó anyag törésmutatója 1 és 2 között van, egyes félvezetőknél eléri az 5-öt [35] . Vákuumban a permittivitás és a permeabilitás is egyenlő egységgel: . $\varepsilon$ $n={\sqrt {\varepszilon \mu ))$ $\varepsilon=\mu=1$

Mivel a Maxwell-egyenletek lineáris közegben lineárisak a mezők , valamint a szabad töltések és áramok tekintetében, a szuperpozíció elve érvényes : $(\mathbf {E} ,\mathbf {B})$ $(\rho ,\mathbf {j} )$

Ha a töltések és áramok eloszlása komponensekkel hoz létre elektromágneses teret , más eloszlások pedig a mezőt , akkor a források által létrehozott teljes mező egyenlő lesz . $(\rho _{1},\mathbf {j} _{1})$ $(\mathbf {E} _{1},\mathbf {B} _{1})$ $(\rho _{2},\mathbf {j} _{2})$ $(\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{2})$ $(\rho _{1}+\rho _{2},\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2})$ $(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2})$

Amikor az elektromágneses terek terjednek lineáris közegben töltések és áramok hiányában, az egyenletek adott megoldásainak összege is kielégíti a Maxwell-egyenleteket.

Peremfeltételek

Sok esetben egy inhomogén közeg reprezentálható darabonként folytonos homogén régiók halmazaként, amelyeket végtelenül vékony határok választanak el egymástól. Ebben az esetben lehetőség van a Maxwell-egyenletek megoldására az egyes régiókban, a kapott megoldásokat a határokon „összekapcsolva”. Különösen, ha véges térfogatú megoldást vizsgálunk, figyelembe kell venni a térfogat és a környező végtelen tér határán fennálló feltételeket. A peremfeltételeket a Maxwell-egyenletekből kapjuk meg a határértékhez való áthaladással. Ennek legegyszerűbb módja, ha a Maxwell-egyenleteket integrál formában használjuk.

A második egyenletpárban a két közeg határfelületén átmenő, végtelenül kicsi magasságú téglalap alakú keret formájú integrációs kontúrt választva a következő összefüggést kaphatjuk a határral szomszédos két tartomány mezőkomponensei között [36] :

GHS	SI
$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf { j} _{s}$ ,	$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$ ,

ahol az egységnyi felületi normálvektor , amely az 1. közegből a 2. közegbe irányul, és amelynek mérete inverz a ;hosszhoz Az első peremfeltétel az elektromos térerősségek tangenciális összetevőinek tartományainak határán fennálló folytonosságként értelmezhető (a másodikból következik, hogy a mágneses térerősség érintőleges összetevői csak akkor folytonosak, ha a térerősségnél nincs felületi áram határ). $\mathbf {n} _{1-2}$ $\mathbf {j} _{s}$

Hasonlóképpen, ha az integrációs tartományt az első integrálegyenletpárban egy végtelenül kis magasságú henger alakjában választjuk ki, amely a határfelületet keresztezi úgy, hogy annak generátorai merőlegesek legyenek az interfészre, a következőt kaphatjuk:

GHS	SI
$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$ , $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,	$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$ , $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,

ahol a szabad töltések felületi sűrűsége (azaz nem tartalmazza a közeg határán a közeg dielektromos polarizációja miatt keletkező kötött töltéseket ). $\rho _{s}\$

Ezek a peremfeltételek a mágneses indukciós vektor normálkomponensének folytonosságát mutatják (az elektromos indukció normálkomponense csak akkor folytonos, ha a határfelületen nincs felületi töltés).

A folytonossági egyenletből megkaphatjuk az áramok peremfeltételét:

(\mathbf {j} _{1}-\mathbf {j} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}={\frac {\partial }{\partial t))\rho _{s}

Fontos speciális eset a dielektrikum és az ideális vezető közötti interfész . Mivel egy ideális vezetőnek végtelen a vezetőképessége, a benne lévő elektromos tér nulla (különben végtelen áramsűrűséget generálna). Ekkor a változó mezők általános esetben a Maxwell-egyenletekből az következik, hogy a vezetőben a mágneses tér nulla. Ennek eredményeként az ideális vezető határán az elektromos és normál mágneses mező tangenciális összetevője nulla:

GHS	SI
$\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{s}$ , $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$ , $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,	$\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$ , $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$ , $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,

Természetvédelmi törvények

A Maxwell-egyenletek tartalmazzák az elektromágneses tér töltésének és energiájának megmaradásának törvényeit.

Folytonossági egyenlet

A mezőforrások ( ) nem állíthatók be önkényesen. A divergencia műveletet a negyedik egyenletre (Ampere-Maxwell törvény) és az első egyenletet (Gauss-törvény) alkalmazva megkaphatjuk a töltések és áramok folytonossági egyenletét : $\rho ,~\mathbf {j}$

\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t))=0.

A folytonossági egyenlet levezetése

A rotortól való eltérés nulla, így a negyedik Maxwell-egyenlethez (Ampère–Maxwell törvény) az SI -rendszerben :

$0=\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \nabla \cdot \mathbf {D} }{\partial t)) =\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t)),$

ahol az első egyenletet az utolsó egyenlőségben helyettesítjük (Gauss-törvény).

Ez az egyenlet az Ostrogradszkij–Gauss integráltétel segítségével a következő formában írható fel:

\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d}{dt))\int \limits _{v}\rho \,dv.

Az egyenlet bal oldalán a zárt felületen átfolyó összáram látható . A jobb oldalon - a térfogaton belüli töltési idő változása . Így a térfogaton belüli töltés változása csak a térfogatot korlátozó felületen keresztül történő be- vagy kiáramlással lehetséges. $s\$ $v\$ $s\$

A töltésmegmaradás törvényével ekvivalens folytonossági egyenlet messze túlmutat a klasszikus elektrodinamika határain, és a kvantumelméletben is érvényes marad. Ezért ez az egyenlet önmagában is felvehető az elektromágneses elmélet alapjaként. Ekkor például az eltolási áramnak (az elektromos tér időbeli deriváltjának) feltétlenül jelen kell lennie az Ampère-törvényben.

A forgórészekre vonatkozó Maxwell-egyenletektől és a folytonossági egyenlettől kezdve egészen a tetszőleges időfüggetlen függvényekig kövesse az elektromos és mágneses mezőkre vonatkozó Gauss-törvényeket.

Az energia megmaradásának törvénye

Ha a harmadik Maxwell-egyenletet differenciál alakban (Faraday törvénye) skalárisan megszorozzuk -vel , és a negyediket (Ampere-Maxwell törvénye) -vel, és összeadjuk az eredményeket, megkapjuk a Poynting-tételt : $\mathbf {H}$ $-\mathbf {E}$

\nabla \cdot \mathbf {S} +{\frac {\partial }{\partial t))\left(w_{E}+w_{H}\right)=-\mathbf {E} \mathbf {j} ,

ahol

GHS	SI
$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$	$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$

Poynting tételének levezetése

A harmadik és negyedik Maxwell-egyenletet differenciál formában használva az SI rendszerben a következőket kaphatja:

\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\mathbf {E} \mathbf {j} +\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{ \partial t)),~~~~~~~~~~~~~\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]=-\mathbf {H} \cdot {\frac { \partial \mathbf {B} }{\partial t}}.

Az egyenletek bal oldalának különbségét az alábbi vektoranalízis képlet szerint hajtjuk be (a szorzat származéka):

$\nabla \cdot [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]=\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]-\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ].$

Lineáris, de esetleg nem izotróp közegben lineáris kapcsolat van az intenzitás és az indukció között. Például elektromos mezőre . Ha egy időtől független szimmetrikus mátrix, akkor: $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,{\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E}$ ${\kalap {\varepszilon ))$

$\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))=\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepszilon ))\ cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))={\frac {\varepsilon _{0)){2))\,{\frac {\partial (\mathbf {E} \ cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot \ mathbf {D} )}{\partial t}}.$

Hasonlóan a mágneses térhez.

A vektort Poynting-vektornak (elektromágneses energia fluxussűrűségvektor) nevezik, és meghatározza az egységnyi területen keresztül egységnyi idő alatt átvitt elektromágneses energia mennyiségét. A Poynting-vektor integrálja a terjedő hullám szakaszán határozza meg annak erejét. Fontos megjegyezni, hogy amint Heaviside először rámutatott , csak a Poynting-vektor irrotációs része rendelkezik az energiaáramlás fizikai jelentésével. Az örvényrész, amelynek divergenciája nulla, nem kapcsolódik az energiaátvitelhez. Megjegyzendő, hogy Heaviside a megőrzési törvény kifejezését Poyntingtől függetlenül származtatta . Az orosz nyelvű irodalomban a Poynting-vektort gyakran " Umov - Poynting vektornak " is nevezik. $\mathbf {S}$

Az elektromos, illetve a mágneses mező mennyiségei és térfogati energiasűrűsége határozza meg. Áramok és a kapcsolódó veszteségek hiányában a Poynting-tétel egy elektromágneses mező energiájának folytonossági egyenlete . Ebben az esetben egy zárt térfogatra integrálva és az Ostrogradszkij-Gauss tétel segítségével megkaphatjuk az elektromágneses tér energiamegmaradási törvényét : $mi}\$ $w_{H}\$

\oint \limits _{s}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {s} +{\frac {d}{dt))\int \limits _{v}(w_{E}+w_ {H})\,dv=0.

Ez az egyenlet azt mutatja, hogy belső veszteségek hiányában az elektromágneses tér energiájának változása a térfogatban csak ennek a térfogatnak a határán áthaladó elektromágneses sugárzás erejének köszönhetően következik be.

A Poynting-vektor az elektromágneses tér impulzusával függ össze [37] :

\mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} \,dv,

ahol az integráció a teljes térben történik. Egy elektromágneses hullám, amely egy bizonyos felületről elnyelődik vagy visszaverődik, lendületének egy részét átadja neki, ami fénynyomás formájában nyilvánul meg . Ezt a hatást először PN Lebedev figyelte meg kísérletileg 1899 -ben .

Lehetőségek

Skaláris és vektorpotenciálok

Faraday törvénye és Gauss mágneses indukciós törvénye azonosan teljesül, ha az elektromos és a mágneses teret skalár- és vektorpotenciálban fejezzük ki [38] : $\varphi$ $\mathbf {A}$

GHS	SI
$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Bizonyíték

Mivel a Gauss-törvény szerint a mágneses tér indukciójának divergenciája nulla, akkor a Helmholtz-tétel szerint létezik olyan vektormező , amely ekkor a vektor (a CGS rendszerben ) vagy a vektor (a SI rendszer ) teljesíti a feltételt Például az SI rendszerben ezt kapjuk: $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$ $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\nabla \times \mathbf {E} '=0.$

\nabla \times \mathbf {E'} =\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=\nabla \times \mathbf {E} +\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))=\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t ))\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))+{\frac {\partial \mathbf {B} } {\részleges t))=0.

Abból a feltételből, hogy a forgórész egyenlő nullával, a Helmholtz-tétel szerint az következik, hogy létezik olyan skaláris függvény , $\varphi ,$ $\mathbf {E} '=-\nabla \varphi .$

A fordított helyettesítés hasonló módon működik. Ha az elektromos és a mágneses teret skaláris és vektorpotenciálban fejezzük ki a fenti képletek szerint, akkor a mágneses tér indukciójának divergenciája automatikusan egyenlő nullával: $\varphi$ $\mathbf {A}$

\nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {A} ]=[\nabla \times \nabla ]\cdot \mathbf {A} =0.

Az elektromos tér erőssége érdekében Faraday törvénye automatikusan teljesül. Például az SI rendszerben a következőket kapjuk: $\mathbf {E}$

\nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}).

Adott elektromos és mágneses mezők esetén a skaláris és a vektorpotenciál kétértelműen definiált. Ha a koordináták és az idő tetszőleges függvénye, akkor a következő transzformáció nem változtatja meg a mezők értékét: $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\psi\$

GHS	SI
$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$	$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t)).$

Az ilyen transzformációk fontos szerepet játszanak a kvantumelektrodinamikában , és az elektromágneses kölcsönhatás lokális szimmetriájának hátterében állnak. A lokális szelvényszimmetria a koordinátáktól és az időtől való függőséget vezet be a globális szelvényszimmetria fázisba, amely Noether tétele szerint a töltés megmaradásának törvényéhez vezet .

A potenciálok definíciójának kétértelműsége alkalmasnak bizonyul ahhoz, hogy további feltételeket szabjunk rájuk, az úgynevezett mérőeszközt . Ennek köszönhetően az elektrodinamikai egyenletek egyszerűbb formát öltenek. Tekintsük például a Maxwell-egyenleteket dielektromos ( ) és mágneses ( ) permeabilitással rendelkező homogén és izotróp közegekben. Az adatokhoz és mindig lehetséges olyan függvényt választani , hogy a Lorentz-mérő feltétel [39] teljesüljön : $\varepsilon$ $\mu\$ $\varphi$ $\mathbf {A}$ $f$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c))\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t))=0$	$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t))=0.$

Ebben az esetben a fennmaradó Maxwell-egyenlet homogén és izotróp közegben a következő formában írható fel:

GHS	SI
$\square \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j}$	$\square \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\square \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j},$

hol van a d'Alembert operátor , amely a CGS rendszerben és az SI rendszerben is a következő formában van: $\négyzet$

\square =\Delta -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.

Így az elektromágneses tér összetevőire (2 vektor és 2 skalár) 8 Maxwell-egyenlet (elsőrendű egyenlet) 4 egyenletre redukálható, de már másodrendű (skalár -ra és vektor -ra ) potenciálok segítségével. . Ezen egyenletek megoldásait egy tetszőlegesen mozgó ponttöltésre Lienard-Wiechert potenciáloknak nevezzük [40] . $\varphi$ $\mathbf {A}$

Lehetőség van más kalibrálások bevezetésére is. Tehát számos probléma megoldásához a Coulomb mérőeszköz kényelmesnek bizonyul :

\nabla \cdot \mathbf {A} =0

Ebben az esetben:

GHS	SI
$\Delta \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} _{\bot }$	$\Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0))}$ $\square \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j} _{\bot },$

ahol az áram szolenoid része ( ). $\mathbf {j} _{\bot }$ $\nabla \mathbf {\cdot } {j}_{\bot }=0$

Az első egyenlet a Coulomb-erő pillanatnyi (késleltetés nélküli) hatását írja le, mivel a Coulomb-mérő nem invariáns Lorentz-transzformáció esetén. Ebben az esetben a Coulomb-kölcsönhatás energiája elválasztható más kölcsönhatásoktól, ami megkönnyíti a mező kvantálását a Hamilton-formalizmusban [41] .

A vektorpotenciál fontos szerepet játszik az elektrodinamikában és a kvantumtérelméletben, azonban az elektromágneses hullámok áramok és töltések hiányában történő terjedési folyamatainak tanulmányozásához bevezetése gyakran nem vezet a rendszer egyszerűsítéséhez, hanem az az elektromos és mágneses térvektorok egyszerű helyettesítése egy másik, ugyanazon egyenletekkel leírt hasonló vektorral. Tehát harmonikus mezők esetén a vektorpotenciál egyszerűen arányos az elektromos térrel (ebben az esetben a skaláris potenciál nullára állítható).

Hertz vektorok

1887- ben Heinrich Hertz azt javasolta a Maxwell-egyenletek közvetlen megoldása helyett az elektromos és mágneses terek két vektorfüggvényére vagy skalár- és vektorpotenciálokra, hogy térjenek át egy új egyvektoros függvényre, amely ma a Hertz-féle elektromos vektor nevet viseli, és lehetővé teszi bizonyos esetekben. esetek az elektrodinamikai problémák megoldásának egyszerűsítésére, redukálva azokat a skalárhullám egyenlet megoldására. ${\mathbf {\Pi} }^{e}$

GHS	SI
$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi} ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c)){\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)),$	$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi} ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)),$
$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}{\frac { \partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t^{2))},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c))\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)) .$	$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}{\frac { \partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t^{2))},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\ részleges t}}.$

Figyeljük meg, hogy a Hertzi -vektorban kifejezett skalár- és vektorpotenciálok automatikusan teljesítik a Lorentz-féle mérőfeltételt . A Hertzi-vektor figyelembe veszi az ingyenes díjakkal és azok áramaival kapcsolatos összes mezőt. $\varphi$ $\mathbf {A}$

Ha az utolsó két Maxwell-egyenletbe behelyettesítjük a mezők kifejezéseit az elektromos vektorban, megkapjuk a [42] [43] :

GHS	SI
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e ))}{\partial t^{2))}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon ))\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e)) }{\partial t^{2))}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon }}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\jobbra].$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e ))}{\partial t^{2))}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0))}\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e)) }{\partial t^{2))}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0))}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right ].$

Itt bemutatjuk a szabad töltések és áramok polarizációs vektorát:

\mathbf {j} _{f}={\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {P} }_{f},~~~~~~~~~~~~~~ ~ \rho _{f}=-\nabla \cdot {\mathbf {P} }_{f},

(ebben az esetben a töltés folytonossági egyenlete automatikusan teljesül).

Így a Hertz elektromos vektort a hullámegyenletek határozzák meg, amelyek jobb oldalán a szabad vagy szabad és kötött töltések, azaz elektromos dipólusmomentumok miatti polarizálhatóság látható.

1901- ben az elektromos Hertz vektorral párosított mágneses vektort, amelyet hagyományosan Hertz nevének is neveznek, Augusto Righi olasz fizikus vezette be [44] .

GHS	SI
$\varphi=0,$ $\mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$	$\varphi=0,$ $\mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$
$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c))\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m)){\partial t} },$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$	$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m)){ \partial-t}},$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$

Mivel a Hertzi-féle mágneses vektor által leírt mezők nem függnek a szabad töltésektől és az áramoktól, és mágneses monopólusokat sem találtak, a potenciálok kielégítik a Lorentz-féle mérőeszközt degenerált formában, az úgynevezett Coulomb-mérőt ( , ). $\varphi=0$ $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

Hasonlóképpen egyenleteket kaphatunk a Hertzi mágneses potenciálra, ha a rajta keresztül kifejezett mezőket a harmadik és a negyedik Maxwell-egyenletbe helyettesítjük áram nélkül:

GHS	SI
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m ))}{\partial t^{2))}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m)) }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\mu }}\mathbf {M} .$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m ))}{\partial t^{2))}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m)) }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}\mathbf {M} .$

A külső forrásokhoz kapcsolódó külső mágneses mezők hatását a Hertz elektromos vektorral analóg módon lehet figyelembe venni, ha a megfelelő részekbe további mágneses polarizációt vezetünk be . $\mathbf {M} _{f}$

Így kétféle elektromágneses teret különböztetünk meg, amelyeket Hertz elektromos és mágneses potenciáljával fejezünk ki, és egy tetszőleges mező ábrázolható ilyen mezők összegeként. A Hertzi-féle elektromos vektorral kifejezett mezőket elektromos típusú mezőknek vagy keresztirányú mágneses (TM) mezőknek nevezzük, mivel a mágneses tér merőleges a Hertzi-vektor irányára. Ennek megfelelően a Hertzi-féle mágneses vektorban kifejezett mezőket mágneses típusú mezőknek vagy keresztirányú elektromos mezőknek (TE) nevezzük, amelyekben az elektromos tér merőleges a generáló Hertzi-vektorra. A TM mezőket térben eloszló elektromos dipólusok által generált mezőként, a TE mezőket pedig mágnesesként ábrázolhatjuk. A Hertzi vektorpotenciálok viszont sok esetben skaláris potenciálokkal fejezhetők ki.

Debye potenciálok

Az elektrodinamikában a Debye [45] által javasolt skaláris potenciálokat széles körben használják .

A hullámegyenlet három összekapcsolt skaláris egyenletből álló rendszer, amely csak a derékszögű koordinátarendszerben bomlik fel három skaláris Helmholtz-egyenletre . A peremfeltételeket kielégítő megoldások megtalálásának kényelme érdekében célszerű olyan koordinátarendszereket választani, amelyek koordinátafelületei közel vannak, vagy egybeesnek a határfelületekkel. A vektoros Helmholtz-egyenlet megoldásának egyik módja a skaláris Helmholtz-hullámegyenletet kielégítő skalárfüggvények bevezetése , amelyek segítségével a vektormezők [46] kifejezhetők : $\psi$

\nabla ^{2}{\psi }+k^{2}\psi =0.

{\mathbf {M} }_{\psi }=\nabla \times ({\mathbf {f} }\psi),

{\mathbf {N} }_{\psi }={\frac {1}{k}}\nabla \times \nabla \times ({\mathbf {f} }\psi),

{\mathbf {L} }_{\psi }=\nabla \psi .

Itt van a koordináták néhány vektorfüggvénye. A vektor a mező potenciális részét írja le, és szabad töltések hiányában nullára állítható. $\mathbf {f}$ ${\mathbf {L} }_{\psi }$

Ha valamely merőleges koordinátarendszerhez létezik a koordináta vektorral arányos függvény, akkor egy tetszőleges vektormező, amely ebben a rendszerben kielégíti a Helmholtz vektor-egyenletet, ábrázolható a és vektorokkal arányos vektorfüggvények összegeként . Amint a Maxwell-egyenletekből következik, a -vel arányos elektromos tér egy típusú mágneses mezőnek felel meg , és fordítva. Ebben az esetben a vektorpotenciálok a Hertz-vektoroknak felelnek meg. Mivel ebben az esetben a -vel arányos mező normális a vektorral , komponensei érintőlegesek a megfelelő koordinátafelületre. Ha a megoldandó feladatban a határok egybeesnek ezen koordinátafelületek valamelyikével, akkor a peremfeltételek teljesítése nagymértékben leegyszerűsödik. ${\mathbf {f} }({\mathbf {r} })$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {N} }_{\psi }$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {N} }_{\psi }$ ${\mathbf {f} }\psi$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {f} }$ ${\mathbf {f} }$

Ilyen ábrázolás csak korlátozott számú ortogonális koordinátarendszerben lehetséges [47] . A derékszögű koordinátarendszerben bármely koordinátavektor működhet vektorként. A megfelelő megoldások síkhullámok. Hengeres koordinátarendszerhez , gömb alakúhoz . Ezenkívül az ilyen ábrázolás lehetséges kúpos , valamint a tengelyhez képest parabola és elliptikus hengeres koordinátarendszerekben. ${\mathbf {f} }$ ${\mathbf {f} }={\mathbf {i} }_{z}$ ${\mathbf {f} }={\mathbf {r} }$ $z$

Riemann-Silberstein vektorok

Ha bevezetjük a komplex Riemann - Silberstein vektort $\mathbf {F}$ és komplex konjugált vektora [48] [49] [50] : $\mathbf {F} ^{*}$

GHS	SI
$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {8\pi }}}\left[{\sqrt {\varepsilon }}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu } }\mathbf {H} \jobbra],$	$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {2))}\left[{\sqrt {\varepsilon \varepsilon _{0))}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu \mu _{0}}}\mathbf {H} \right],$

akkor a Maxwell-egyenletek kettőre redukálódnak:

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {2\pi }{\varepsilon }}}\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {2\pi \mu }}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac { \partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {1}{2\varepsilon \varepsilon _{0))))\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {\frac {\mu \mu _{0}}{2}}}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepszilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

Külső töltések és áramok hiányában csak a második egyenlet marad meg (az első, a rotor divergenciájának nullával való egyenlősége miatt, ebben az esetben automatikusan teljesül egy időfüggetlen komponensig):

$\nabla \times \mathbf {F} =i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

Ellentétben a hullámegyenlettel, amelyet ebben az esetben tér- vagy potenciálvektorokra kapunk, az utolsó vektor-differenciálegyenlet az első, nem a második, ezért bizonyos esetekben könnyebben megoldható.

Függőségű harmonikus mező esetén a vektor a rotor operátor sajátvektora: $\mathbf {F} =\mathbf {F} ^{\pm }e^{\pm i\omega t}$ $\mathbf {F}$

$\nabla \times \mathbf {F} ^{\pm }=\mp k\mathbf {F} ^{\pm }.$

A választott normalizálással az elektromágneses tér komplex amplitúdója értelmes , modulusa pedig négyzetes. $\mathbf {F}$

$w=|\mathbf {F} |^{2}\equiv \mathbf {F} ^{*}\mathbf {F} =w_{E}+w_{H}$

a mező energiasűrűségének jelentése.

Mutató vektor :

$\mathbf {S} =-{\frac {ic}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}{\mathbf {F} }^{*}\times {\mathbf {F} }.$

Vektorok és cirkulárisan polarizált fotonok hullámfüggvényeiként értelmezhetők [49] . $\mathbf {F}$ $\mathbf {F} ^{*}$

Kovariáns megfogalmazás

Modern szempontból az elektrodinamika négydimenziós kovariáns megfogalmazása (és különösen a Maxwell-egyenletek ilyen formában történő megírása) fizikailag a legalapvetőbb.

A gyakorlatban az explicit kovariancia mellett az egyenletek sokkal nagyobb tömörségéhez vezet, és ennélfogva bizonyos szépséghez és bizonyos esetekben kényelemhez is vezet, és szervesebben és közvetlenül magában foglalja az elektromágneses tér egységét.

A kovariáns megfogalmazás alatt két különböző, de közvetlenül és közvetlenül összefüggő opciót értünk: a Lorentz-kovariáns formulációt a lapos Minkowski - téridőben és az általános kovariáns formulációt a görbe téridő általános esetére ( szokásosan a általános relativitáselmélet ). A második lehetőség abban különbözik az elsőtől, hogy a tér-idő metrika nem állandó benne (ami jelentheti akár a gravitáció jelenlétét, akár egyszerűen egy szélesebb koordinátaosztály használatát, például a nem inerciális kereteknek megfelelően hivatkozás), és nagyrészt a négydimenziós koordinátákra vonatkozó szokásos deriváltak kovariáns deriváltokra való cseréjéből adódik (ez az esetek jelentős részében az előbbi mechanikus helyettesítéséből fakad az utóbbival). Többek között a második lehetőség lehetővé teszi az elektromágneses mező és a gravitáció kölcsönhatásának feltárását.

Az alábbiakban először (egyszerűbb) első variánsként, a Lorentz-kovariáns formuláció lapos téridőbeli változatát tekintjük.

Négydimenziós vektorok

Az elektrodinamikai egyenletek kovariáns írásával a háromdimenziós vektorokról és skalárokról négydimenziós vektorokra (4-vektorokra) való átmenet történik. Az egységrendszertől függetlenül a négydimenziós koordinátákat (4-koordinátavektor, melynek összetevői tartalmazzák az időt és a háromdimenziós térbeli koordinátákat), az ezekhez a koordinátákhoz viszonyított derivált (4-derivált) és az áramsűrűséget a következőképpen határozzuk meg: következik [~ 6] :

x^{\alpha }=(ct,~\mathbf {r} )=(ct,x,y,z),

\partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha ))}={\Bigl (}{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial }{\partial t)),~\nabla {\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial }{\partial t)),{\ frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z)){\Bigr )},

j^{\alpha }=\rho {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}=(c\rho ,~\mathbf {j} )=(c\rho ,j_{x},j_{ y},j_{z}).

A 4-vektor indexe veszi az értékeket . Egy vektor komponens jelölésében először a nulla (időbeli) komponens áll, majd a térbeliek. Például az idő , a töltéssűrűség pedig . E meghatározások alapján a töltésmegmaradási törvény kovariáns formában a következő formát ölti: $\alpha =0,1,2,3\$ $t=x^{0}/c\$ $\rho =j^{0}/c\$

$\partial _{\alpha }j^{\alpha }=0.$

Az ismételt index 0 és 3 közötti összegzést feltételez ( Einstein szabálya ).

Példa

A fenti egyenlet a folytonossági egyenlet kompakt ábrázolása:

$\partial _{0}j^{0}+\partial _{1}j^{1}+\partial _{2}j^{2}+\partial _{3}j^{3}={\ frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \mathbf {j} =0.$

Vezessünk be egy 4-es potenciálvektort, amely a következő komponensekkel rendelkezik a CGS és SI rendszerekben:

GHS	SI
$A^{\alpha }=(\varphi ,~~\mathbf {A})$ $A_{\alpha }=(\varphi ,-\mathbf {A})$	$A^{\alpha }=(\varphi /c,~~\mathbf {A} )$ $A_{\alpha }=(\varphi /c,-\mathbf {A})$

A kovariáns jelölésben a 4-vektor indexének helyzete játszik szerepet. Ha az index alul van, akkor egy ilyen vektort kovariáns vektornak (vagy kovektornak) nevezünk, és térbeli összetevői ellentétes előjelűek a 4-es vektor komponenseihez képest. Az indexek emelése és csökkentése a metrikus tenzorral történik , amely a négydimenziós Minkowski térben átlós alakot mutat a következő aláírással: . $A_{\alpha }=g_{\alpha \beta }A^{\beta }\$ $g_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }={\rm {diagonal}}(1,-1,-1,-1)\$

A potenciál 4-vektorának ezen definíciójával a Lorentz-féle mérőfeltétel kovariáns formában a következőképpen írható fel:

$\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0.$

Ha ez a feltétel teljesül, akkor a Maxwell-egyenletek a vákuumban töltések és áramok jelenlétében fennálló potenciálokra a következőképpen alakulnak:

GHS	SI
$\partial ^{2}A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\,j^{\alpha }$	$\partial ^{2}A^{\alpha }=\mu _{0}\,j^{\alpha }$ ,

hol van a d'Alembert operátor ellenkező előjellel: $\részleges ^{2}$

$\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=-\square ={\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2} }{\partial t^{2))}-\Delta .$

A Maxwell-egyenletek nulla komponense a potenciál 4-vektorára megfelel a -ra vonatkozó egyenletnek , a térbeli egy pedig -re . $\varphi$ $\mathbf {A}$

Elektromágneses tér tenzor

Határozzuk meg az elektromágneses tér kovariáns tenzorát a potenciál 4-es vektorának deriváltjával [51] [52] :

F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.

Ennek az antiszimmetrikus tenzornak ( ) kifejezett formája a következőképpen ábrázolható: $F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }\$

GHS	SI
$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{mátrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_ {y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{mátrix}}\jobbra),$	$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{mátrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y }\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{mátrix}}\jobbra).$

A tenzor időbeli komponensei az elektromos térerősség összetevőiből és a mágneses tér térbeli komponenseiből tevődnek össze, amelyek a következőképpen írhatók fel: . Az elektromágneses tér felső indexű tenzorjában a nullakomponensek előjele megváltozik (azaz az elektromos tér komponensei előtt): . $F_{\alpha \beta }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B})$ $F^{\alpha \beta }=(-\mathbf {E},\mathbf {B})$

Az elektromágneses tér tenzor definíciójával könnyen ellenőrizhető a következő azonosság:

\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0.

A kettős elektromágneses tértenzor bevezetésével kompaktabb formára is átírható:

\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\tilde {F}} ^ {\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,F_{\gamma \delta },

hol van az antiszimmetrikus Levi-Civita szimbólum ( ). Ez az egyenlet a mágneses tér Gauss-törvényének és az elektromágneses indukció Faraday-törvényének kovariáns rekordja. A kettős tenzor összetevőit a tenzorból kapjuk az elektromos és mágneses mezők permutációjának eredményeként [53] : , . $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\$ $\epsilon ^{0123}=1\$ ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }$ ${\displaystyle F_{\alpha \beta ))$ ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }=(\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$ ${\tilde {F}}^{\alpha \beta }=(-\mathbf {B} ,-\mathbf {E})$

A teljes Maxwell-egyenletrendszer kovariáns formában a következőképpen alakul:

GHS	SI
$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}j^{\beta },$	$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}\,j^{\beta }.$

Az ismétlődő indexet 0-tól 3-ig összegezzük, és az áram 4-vektora a második egyenlet jobb oldalán található. Ennek az egyenletnek a nulla komponense a Gauss-törvénynek, a térbeli összetevői pedig az Ampère-Maxwell-törvénynek felelnek meg. $\alpha \$

Az elektromágneses tértenzor segítségével megkaphatjuk az elektromos és mágneses mező összetevőinek átalakulási törvényeit különböző inerciális referenciakeretekhez képest [54] [55] :

GHS	SI
$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-{u \over c}\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z} +{u \over c}\,B_{y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c}\,E_{z}),~~~B'_{z}=\gamma \,(B_{z} -{u \over c}\,E_{y}),$	$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-u\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z}+u\,B_ {y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c^{2}}\,E_{z}),~~B'_{z}=\gamma \,(B_ {z}-{u \over c^{2}}\,E_{y}),$

ahol az „előkészített” mennyiségeket egy referenciakerethez viszonyítva mérjük, amely a tengely mentén olyan sebességgel mozog, mint a kerethez képest, amelyben a „nem előállított” mezőkomponenseket mérik, és ez a Lorentz-tényező. Az inerciális referenciakeretek relatív mozgásának iránya mentén a mezőkomponensek változatlanok maradnak: . $x$ $u$ $\gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}$ $E'_{x}=E_{x},~~B'_{x}=B_{x}$

A Maxwell-egyenletek vákuumban invariánsak Lorentz-transzformáció esetén . Ez volt az egyik lendület a speciális relativitáselmélet megalkotásához .

A térbeli koordináta-rendszer tengelyeinek megfordításával az elektromos és a mágneses mezők különböző módon változnak. Az elektromos tér a poláris vektor , a mágneses tér pedig az axiális vektor . Lehetőség van két invariáns mennyiség létrehozására Lorentz-transzformációk alatt:

$F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\mathrm {inv} ~~~~~~~~~~~~\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\alpha \beta }F_{\gamma \delta }=\mathrm {inv} .$

Az első invariáns skalár , a második pedig pszeudoszkalár , vagyis a koordinátatengelyek megfordításával megváltoztatja az előjelét.

Lagrangian

A külső elektromágneses térben mozgó teszttöltés akciója és Lagrange - függvénye a CGS és SI rendszerekben [56] [57] : $S\$ $L\$

GHS	SI
$S=\int (-mc\,ds~-~{\frac {q}{c}}\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2}} }{c^{2}}}}}+{\frac {q}{c}}\ ,\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} -q\varphi$	$S=\int (-mc\,ds~-~q\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2)) }{c^{2))))}+q\,\mathbf {A} \cdot \ mathbf {u} -q\varphi$

ahol:

$m\$ a részecske tömege (SI-egységben, kg);
$\mathbf {u}$ - sebessége (SI-egységben - m / s);
$q\$ a részecske töltése (SI mértékegységben - C );
$ds={\sqrt {dx_{\alpha }dx^{\alpha }}}$ - 4. intervallum.

Egy töltés mozgásegyenlete a Lorentz-erő hatására kovariáns jelöléssel a következőképpen alakul:

GHS	SI
$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}={\frac {q}{c}}\,F^{\alpha \beta }\,{\ frac {dx_{\beta }}{ds}}$	$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}=q\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {dx_{\beta }}{ ds}}.$

A Maxwell-egyenletek a legkisebb hatás elvéből származnak , amelyben a dinamikus változók az elektromágneses mező 4-es potenciálja . Ez a következő kovariáns kifejezést használja a [57] [58] [59] művelethez : $A^{\alpha }\$

GHS	SI
$S=-{\frac {1}{16\pi c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{\frac {1}{c ^{2}}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x$	$S=-{\frac {1}{4\mu _{0}c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{ \frac {1}{c}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x,$

ahol az invariáns 4 kötet feletti integrációt hajtjuk végre . $d^{4}x=c\,dt\,dv$

Jelölés differenciálformákkal

A Maxwell-egyenletek kovariáns formában, hasonlóan a háromdimenziós térbeli vektoros ábrázoláshoz, felírhatók "nem indexes formában". Ehhez bevezetik a külső szorzat működését , amelynek antiszimmetria tulajdonsága van : . A külső szorzat lehetővé teszi, hogy antiszimmetrikus tenzorokkal minden indexre hajtogatott kifejezéseket írjon , mint pl . Ez eredményezi az úgynevezett differenciális formákat (vagy egyszerűen formákat) [60] . A térpotenciál 1-es alakja a következőképpen definiálható (az index alapján az összeg 0 és 3 között van): $\ék$ $\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }=-\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }$ $F_{\alpha \beta }\$ $\alpha \$

$\mathrm {A} =A_{\alpha }\mathrm {d} x^{\alpha }\ .$

Az 1-es formából a külső differenciálás műveletével megkapjuk az elektromágneses tér 2-formáját (vagy Faraday 2-formáját): $\mathrm{d}\$

$\mathrm {F} =\mathrm {d} \,\mathrm {A} =\mathrm {d} A_{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\partial _{\beta } A_{\alpha }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }~\ mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.$

A külső differenciálási műveletnek a tulajdonsága van , amely a mágneses tér Gauss-törvényéhez és Faraday-törvényéhez vezet: $\mathrm {d} ^{2}=0\$

$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =\mathrm {d} ^{2}\,\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}\,\partial _{\gamma }F_ {\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac { 1}{6))\,(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0.$

A fennmaradó Maxwell-egyenletek felírásához bevezetjük a k 2-forma duálisát , amelyet Maxwell 2-formának is neveznek [61] : $\mathrm{F}\$ $^{*}\mathrm {F} \$

$^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{2}}\,{\tilde {F}}_{\alpha \beta }~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac {1}{4}}\,F^{\alpha \beta }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta } ~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

és 3 formájú áram:

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d } x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

hol van az abszolút antiszimmetrikus Levi-Civita szimbólum ( ). A differenciálművek külső szorzatának Levi-Civita szimbólumával való konvolúciót Hodge csillag operátornak nevezzük . $\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\$ $\epsilon _{0123}=-1\$

Ezekben a jelölésekben a Maxwell-egyenletek a CGS és SI rendszerekben a következő alakot öltik [62] :

GHS	SI
$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{}\mathrm {F} ={\frac {4\pi }{c}}\,^{}\mathrm {J},$	$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{}\mathrm {F} =\mu _{0}\,^{}\mathrm {J} .$

Bizonyíték

Ahhoz, hogy megmutassuk ezeknek az egyenleteknek a Maxwell-egyenletekkel való egyenértékűségét, háromdimenziós vektoros formában kell felírni őket. Ebben az esetben a CGS rendszerben az áram és a Maxwell 2-forma alakja a következő:

$^{*}\mathrm {J} =c\rho \mathrm {d} v-\mathbf {j} \mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c,~~~ ~~~~~~~~~~~~~^{*}\mathrm {F} =\mathbf {E} \mathrm {d} \mathbf {s} -\mathbf {B} \mathrm {d} \ mathbf {r} \wedge \mathrm {d} t\,c,$

ahol a háromdimenziós térfogat, és a felületi vektor a háromdimenziós térben. Mert: $\mathrm {d} v=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$ $\mathrm {d} \mathbf {s} =(\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,~\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x,\mathrm {d} x\ ék \mathrm {d} y)$

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} =(\nabla \mathbf {E} )\mathrm {d} v+{\Bigl (}{\frac {1}{c}}{\frac {\ részleges \mathbf {E} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {B} {\Bigr )}\mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c.$

akkor a Maxwell-egyenleteket differenciál alakban figyelembe véve megkapjuk . $^{*}\mathrm {J} \$

Az azonosságot figyelembe véve az utolsó, differenciálformákkal felírt Maxwell-egyenlet azonnal a folytonossági egyenlethez (a töltésmegmaradás törvényéhez) vezet: $\mathrm {d} ^{2}=0\$

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {J} =0\ .$

Ebben a formában a Maxwell-egyenletek érvényben maradnak egy tetszőleges 4-dimenziós sokaságon, például az általános relativitáselmélet görbült téridejében . Ebben az esetben a metrikus tenzor determinánsa is megjelenik a relációkban . Például az aktuális és külső megkülönböztetéshez: $g$

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },~~~~~~~~ ~~~~~~\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{4}}\,F_{~~;\alpha }^{\alpha \beta }{\ sqrt {-g}}\,\epsilon _{\beta \gamma \delta \eta }~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d}x^{\eta }.$

Általános kovariáns jelölés a komponensekben

Egy tetszőleges 4-dimenziós sokaságon, azaz általános esetben, beleértve a nem nulla görbületű téridőt (valamint tetszőleges négydimenziós koordinátákat, beleértve a nem inerciális vonatkoztatási rendszerek eseteit is), az elektrodinamika is alkalmazható. a szokásos index jelöléssel fogalmazva.

Alapvetően a fentiekben részletesen leírt téridő nulla görbülete és az abban szereplő Lorentz-referenciarendszerek esetéről az általános esetre való átmenet receptje az, hogy a koordináták tekintetében szokásos deriváltokat kovariáns deriváltokkal helyettesítjük , figyelembe véve az a tény, hogy a metrika ebben az esetben nem állandó és nincs speciális Lorentz-típusa (vagyis gyakorlatilag tetszőleges), valamint integrálásakor - például egy művelet rögzítésekor - figyelembe véve azt a tényt, hogy a mérőszám szerepel a térfogatelemben (egy tényezőn keresztül - a gyöke mínusz a metrika meghatározója). ${\sqrt {-g))$

Általános kovariáns formában a Maxwell-egyenletek a következő formájúak: [63]

F_{\mu \nu :\sigma }+F_{\nu \sigma :\mu }+F_{\sigma \mu :\nu }=0

{\displaystyle F_{:\nu }^{\mu \nu }=4\pi J^{\mu ))

Itt a ":" jel a kovariáns származékot jelenti, ahogy a "," jel a szokásos származékot:

{\displaystyle A_{\mu :\nu }=A_{\mu ,\nu }-\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }A_{\alpha ))

hol van a második típus Christoffel-szimbóluma . ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha ))$

Az elektromos töltés megmaradásának törvénye általános kovariáns formában abból következik . Mindkét részt megszorozva az identitást használva azt kapjuk, hogy . ${\displaystyle F_{:\nu }^{\mu \nu }=4\pi J^{\mu ))$ ${\sqrt {-g))$ $F_{:\nu }^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}=(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\nu }$ $(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g)))_{,\nu }=4\pi J^{\mu }{\sqrt {-g))$

Innen kapjuk az elektromos töltés megmaradásának törvényét általános kovariáns formában:

(J^{\mu }{\sqrt {-g)))_{,\mu }={\frac {1}{4\pi }}(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\mu \nu }=0

Spinor formuláció

A Maxwell-egyenletek spinor formában is felírhatók :

$\partial _{\lambda {\dot {\sigma }}}f_{\dot {\mu }}^{\pont {\sigma }}+\partial _({\pont {\mu }}\sigma }f_ {\lambda }^{\sigma }=2s_{{\pont {\lambda }}\mu }$ ,

$\partial _{\lambda {\pont {\sigma }}}f_{\dot {\mu }}^{\pont {\sigma }}-\partial _({\pont {\mu }}\sigma }f_ {\lambda }^{\sigma }=0$ ,

ahol a második rangú spinort az egyenlet határozza meg $f$ $f_{\lambda \mu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\lambda {\pont {\sigma }}}\varphi _{\mu }^{\pont {\sigma }} +\partial _{\mu \sigma }\varphi _{\sigma }^{\pont {\sigma )))$ $\varphi _{\mu \nu }$ $\partial _{\mu \nu }$ $s_{\mu \nu }$

Spektrális ábrázolás

Az elektrodinamikában a harmonikus rezgések nagy jelentőséggel bírnak . Ezeket a mezőket úgy lehet ábrázolni, mint

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{- i\omega t}+{\mbox{cc}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}],$

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{- i\omega t}+{\mbox{cc}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}].$

ahol a mező rezgési frekvenciája . A "cc" jelölés az előző tag összetett ragozását jelenti. Egyes dokumentumokban az 1/2-es tényezőt nem használják a harmonikus amplitúdókról szóló megállapodásban, ami a jelen megállapodáshoz kapcsolódó összes kifejezés megfelelő módosításához vezet. A szakirodalomban az is elterjedt, hogy az összetett kitevőben a fordított előjelet választják. Az itt vizsgált változat összhangban van a kvantumelméletben a Schrödinger-reprezentációban elfogadott változattal . $\omega \$

Az elektromos és a mágneses mező energiasűrűsége az időszakra átlagolva, ill.

GHS	SI
$\mathbf {S} ={\frac {c}{16\pi }}\left[({\tilde {\mathbf {E} }}^{}}\times {\tilde {\mathbf {H} } }+{\tilde {\mathbf {E} }}\times ({\tilde {\mathbf {H} }}^{}}\jobbra],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\tilde {\varepsilon }}{16\pi }}\,\|{\tilde {\mathbf {E} }}\|^{2},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\tilde {\mu }}{16\pi }}\,\|{\tilde {\mathbf {H} }}\|^{2}.$	$\mathbf {S} ={\frac {1}{4}}\left[{\mathbf {E} ^{}}\times {\tilde {\mathbf {H} }}+{\tilde {\mathbf {E} }}\times {{\tilde {\mathbf {H} }}^{}}\jobbra],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}\|{\tilde {\mathbf {E} }}\|^{2}}{4}},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\mu _{0}{\tilde {\mu }}\|{\tilde {\mathbf {H} }}\|^{2}}{4}}.$

A Fourier-transzformáció segítségével a harmonikus rezgések segítségével tetszőleges időfüggő mezőket lehet bővíteni.

\mathbf {E} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,\omega )e ^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi )),

\mathbf {H} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} ,\omega )e ^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi }}.

A spektrális komponensekre való áttérés lehetővé teszi, hogy a mezők koordinátafüggésére összpontosítsunk. Ekkor a homogén közegben lévő spektrális komponensekre vonatkozó Maxwell-egyenletek alakot öltenek

GHS	SI
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {4\pi {\tilde {\rho }}}{\tilde {\varepsilon }}},$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {\tilde {\rho }}{\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}},$
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i{\frac {\omega }{c}}{\tilde {\mathbf {B} }}),$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} )),$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c}}\left[1+ i{\frac {4\pi {\tilde {\sigma }}}{\omega {\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c^{2}}}\ balra[1+i{\frac {\tilde {\sigma }}{\omega \varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}}\jobbra]{\tilde {\mathbf {E} }}.$

A közeg dielektromos és mágneses permeabilitása a spektrális ábrázolásban összefügg a konstitutív egyenletek szuszceptibilitásával a Fourier-transzformációval történő integrálábrázolásban:

GHS	SI
${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\ omega\tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu ))(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\ omega \tau }d\tau .$	${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu ))(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau .$

Egyenletek szabad töltések és áramok nélkül

Szabad töltések és áramok hiányában, diszperzió nélküli izotróp és homogén közegben, a Maxwell-egyenletek a következő alakot öltik: $\rho =0$ $\mathbf {j} =0$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)),~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c)){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t)),$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)),~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac { \varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Ezen egyenletek megoldása az elektromos térerősség és a mágneses indukció . A dielektromos és mágneses permeabilitást a közeg tulajdonságai határozzák meg. Vákuumhoz , . $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\varepsilon$ $\mu$ $\varepsilon=1$ $\mu=1$

Hullámegyenlet

A Maxwell-egyenletek elsőrendű differenciálegyenletek koordinátákban és időben. A második párban azonban minden egyenlet tartalmaz ismeretlen vektorfüggvényeket és . Töltések és áramok hiányában át lehet térni másodrendű egyenletekre, amelyek mindegyike csak egy (elektromos vagy mágneses) tértől függ [66] : $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

$\Delta \mathbf {E} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{ 2}}}=0,$ $\Delta \mathbf {B} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{ 2}}}=0.$

Az ilyen egyenleteket hullámnak nevezzük .

A hullámegyenlet levezetése

A rotort a Faraday-törvényből és az Ampere-Maxwell-törvényt használva a következőt kapjuk ( SI rendszerben ):

\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\right)=-{\frac {\partial }{\partial t))[\nabla \times \mathbf {B} ]=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2} \mathbf {E} }{\partial t^{2}}}.

Másrészt a kettős kereszttermék bővítésével a következőket kínáljuk:

\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \,(\nabla \cdot \mathbf {E} )-\Delta \mathbf {E} =-\Delta \mathbf {E} ,

mivel az elektromos tér divergenciája vákuumban nulla. E két kifejezést egyenlővé téve megkapjuk az elektromos tér hullámegyenletét. A mágneses tér hullámegyenletét hasonló módon kapjuk meg.

A Lorentz -mérőben töltések és áramok hiányában a hullámegyenlet a skalár- és vektorpotenciálokkal is teljesül:

\Delta \varphi -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2))}=0,~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {A} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\ részleges ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2))}=0.

A hullámegyenletekben szereplő érték határozza meg az elektromágneses terek terjedési sebességét a közegben. Maximális értékét vákuumban éri el, amikor és . $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $c$ $\varepsilon=1$ $\mu=1$

Helmholtz-egyenlet

Legyen a harmonikus jel körfrekvenciája , és az időfüggést a következőképpen választjuk meg . Elektromos töltések hiányában a közegben a Helmholtz-egyenlet a következőképpen alakul: $\omega$ ${\displaystyle e^{-i\omega t))$

$\Delta \mathbf {E} +k^{2}\mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {B } +k^{2}\mathbf {B} =0,$

ahol . $k^{2}=\mu \varepsilon {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

Maxwell-egyenletek majoránna formában

A foton kvantummechanikai tulajdonságainak tanulmányozásakor célszerű a Maxwell-féle ürességegyenleteket Majorana alakban ábrázolni, ami hasonló a tömeg nélküli részecske Dirac-egyenletéhez . [67]

A Maxwell-egyenletek Majorana alakban a következő alakúak: [68]

i{\frac {\partial \xi }{\partial t))={\vec {s}}{\vec {p}}\xi

. _

{\vec {p}}{\vec {\xi }}=0

i{\frac {\partial \eta }{\partial t))={\vec {s}}{\vec {p}}\eta

. _

{\vec {p}}{\vec {\eta }}=0

Itt: , , ${\vec {\xi }}={\vec {E}}+i{\vec {H}}$ ${\vec {\eta }}={\vec {E}}-i{\vec {H}}$

${\vec {E}},{\vec {H}}$ - elektromos és mágneses mezők vektorai a Maxwell-féle ürességegyenletekben (a relativisztikus mértékegységrendszerben ):

{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-\operatorname {rot} {\vec {E}}

. _

\operatorname {div} {\vec {H}}=0

{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} {\vec {H}}

. _

\operatorname {div} {\vec {E}}=0

${\vec {p}}=({\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {1}{i}}{ \frac {\partial }{\partial x_{2))},{\frac {1}{i)){\frac {\partial }{\partial x_{3))})$ - momentum operátor, - vektor mátrix komponensekkel: ${\vec {s))$

s_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix)),

s_{2}={\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix)),

s_{3}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix)),

Néhány pontos megoldás

Egy mozgó ponttöltés mezeje

Ha a töltés állandó sebességgel mozog , akkor mágneses tér keletkezik körülötte , és az elektromos szilárdság megszűnik gömbszimmetrikus lenni [69] : $\mathbf {u}$ $\mathbf {B}$

GHS	SI
$\mathbf {E} ={\frac {Q}{\varepsilon }}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\frac {1-u^{2} /c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2}}}$ $\mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c))\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$	$\mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\ frac {1-u^{2}/c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2 }}}$ $\mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$

Az egységvektor a töltéstől a térerősség mérési pontjához irányul. a vektor modulusa . Ha bevezetjük az és a vektorok közötti szöget , akkor . A töltéstől rögzített távolságban az elektromos térerősség minimális a töltés mozgási vonalán elhelyezkedő pontokon. A maximális értéket a töltésen a sebességére merőlegesen áthaladó síkban érjük el. A mágneses indukció a vektorszorzat következtében merőleges a sebességre és az elektromos térre. Mivel a töltés mozog, a tér egy meghatározott pontján az elektromos és a mágneses tér idővel változik. Teljesítik a Maxwell-egyenleteket a Dirac delta-függvénnyel arányos töltéssel és áramsűrűséggel : $\mathbf {n} =\mathbf {r} /r$ $r$ $\mathbf {r}$ $\theta$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {n}$ $[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}=u^{2}\sin ^{2}\theta$

\rho (\mathbf {r} )=Q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}),~~~~~~~~~~~\mathbf {j} (\mathbf {r} )=\mathbf {u} \,\rho (\mathbf {r})

hol van a töltés pillanatnyi helyzete. $\mathbf {r} _{0}$

Az ugyanabban a vonatkoztatási rendszerben mozgó próbatöltést a Lorentz-erő befolyásolja . Ezt a Coulomb-törvényből származó Lorentz-transzformációk és a töltésinvariancia elvének felhasználásával kaphatjuk meg [70] . Ebben az értelemben a mágneses tér eleve relativisztikus hatás. $q$

Ha egy ponttöltés gyorsulással mozog, akkor az általa létrehozott mező nem csak a sebességtől, hanem a gyorsulástól is függ. A mező gyorsulástól függő összetevője egy elektromágneses hullám sugárzásának felel meg [40] .

Sík elektromágneses hullámok

Tegyük fel, hogy az elektromos térerősség és a mágneses indukció a koordináták és az idő következő kombinációjának tetszőleges függvényei:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}\mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} {\Bigl (} \mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},

hol van valamilyen állandó vektor. Ebben az esetben, és teljesítse a Maxwell-egyenleteket töltések és áramok hiányában, ha közöttük a következő kapcsolat áll fenn: $\mathbf {n}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

GHS	SI
$\mathbf {B} ={\sqrt {\varepsilon \mu }}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]$	$\mathbf {B} ={\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]$

és merőlegesek a vektorra , amelynek egységnyinek kell lennie: $\mathbf {n}$

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~~ ~~~~~~\mathbf {n} ^{2}=1.$

Síkhullám megoldásának levezetése

Ha az elektromos térerősség a koordinátáktól és az időtől függ a következő kombinációk formájában , akkor a vektor -edik komponensének a -edik koordinátára és időre vonatkozó deriváltjára írhatjuk: $u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $j\$ $\mathbf {E}$ $én\$

$\nabla _{i}E_{j}={\frac {\partial E_{j}}{\partial r_{i}}}={\frac {dE_{j}}{du}}\,{\frac {\partial u}{\partial r_{i}}}=n_{i}E_{j},~~~~~~~~~~~~~~~~{\frac {\partial E_{j} } {\partial t}}=-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}{\frac {dE_{j}}{du}},$

és hasonlóan a mágneses indukcióhoz. Ezért a Maxwell-egyenletek töltések és áramok hiányában a következő alakot öltik ( SI rendszer ):

${\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {E} )}{du}}=0,~~~~~~~{\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {B} ) } {du}}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]-{\frac { c }{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\mathbf {B} {\bigr )}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[ \ mathbf {n} \times \mathbf {B} ]+{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\mathbf {E} {\bigr )}=0.$

Ezeket a kapcsolatokat integrálva és kihagyva a konstans mezőknek megfelelő integrációs állandókat, a következőt kapjuk: $u$

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~\mathbf {B} = { \frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ],~~~~~~~~~\mathbf {E} =- { \frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {B} ].$

Ha a negyedik egyenletet behelyettesítjük a harmadikba, azt kapjuk, hogy . $\mathbf {n} ^{2}=1$

A megoldás fizikai jelentése síkhullám formájában a következő. A derékszögű koordinátarendszer tengelyét úgy választjuk meg, hogy a vektor annak mentén irányuljon. Ekkor a hullám elektromos és mágneses tere a következőképpen függ a koordinátától és az időtől : $z\$ $\mathbf {n}$ $z\$ $t\$

$\mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},~~~ ~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (z,t)=\mathbf {B} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu } }}t{\Bigr )},$

Tegyük fel, hogy a kezdeti időpontban a térerősség tetszőleges vektorfüggvény . Idővel ez a funkció a térben a tengely mentén sebességgel eltolódik . $t=0\$ $z\$ $z\$ $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$

Elektromágneses hullámban általános esetben a térerősség tetszőleges nem periodikus függvény lehet . Például egy síkhullámú megoldás leírhat egy elektromágneses impulzust, amely a mozgás iránya mentén lokalizálódik. A -ra merőleges síkban az elektromágneses mezők nem változnak, ami azt jelenti, hogy ebben a síkban a síkhullám nem korlátozott, és lapos fázisfrontja van (ezért a hullámot síknak nevezzük ). Mivel a síkhullám terjedése során az elektromos és mágneses mezők mindvégig merőlegesek a vektorra , az ilyen hullámokat "transzverzálisnak" vagy "transzverzálisnak" nevezik. A vektorok és a keresztszorzat tulajdonságaiból adódóan is merőlegesek egymásra. $u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

$\golyó$ Az elektromos és a mágneses mező energiasűrűsége egy síkhullámban egyenlő egymással:

GHS	SI
$w_{E}=w_{H}={\frac {\varepszilon }{8\pi }}\,\mathbf {E} ^{2}$	$w_{E}=w_{H}={\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{2}}\,\mathbf {E} ^{2}$

A Poynting-vektor (energiaáram-sűrűség) az egységrendszertől függetlenül a következőképpen kapcsolódik a teljes energiasűrűséghez:

$\mathbf {S} ={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\,\mathbf {n} \,(w_{E}+w_{H}).$

Ez az összefüggés megfelel a relativisztikus elméletben a tömeg nélküli részecske lendületének és energiájának egyenletének . Azonban a sebesség a közegben kisebb, mint a fény sebessége vákuumban . $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $c$

A sík és a keresztirányú hullámok matematikai absztrakciók. A diffrakció hatása miatt a véges apertúrájú valós hullámok csak bizonyos közelítésben tekinthetők síknak és keresztirányúnak.

$\golyó$ A síkhullám megoldásának fontos speciális esete akkor merül fel, ha a térerősségek harmonikus periodikus függvények. Kiválasztjuk a koordináta tengelyét a hullámvektor mentén . Ekkor az elektromos tér (valamint a mágneses tér) vektora a síkban fog feküdni , azaz . Ha ebben a síkban minden vetületnél az elektromos tér periodikusan oszcillál, akkor egy ilyen hullámot monokromatikus síkhullámnak nevezünk: $z$ $\mathbf {k}$ $(x,y)$ $\mathbf {E} =(E_{x},E_{y},0)$

$E_{x}=a\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi _{1}),~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~E_{y}=b\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi _{2}).$

Az általános síkhullám megoldással való összehasonlítás a következő összefüggéshez vezet egy vektor és egy állandó között, amelyet diszperziós egyenletnek nevezünk : $\mathbf {k}$ $\omega$

$\mathbf {k} =\mathbf {n} \,{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,\omega ,~~~~~~~~~~~~\mathbf { k} ^{2}={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,\omega ^{2}.$

Ebben az esetben a vektort hullámvektornak és a monokromatikus elektromágneses hullám körfrekvenciájának nevezzük . A hullámvektor-modulus és a körfrekvencia a következőképpen kapcsolódik a hullámhosszhoz és a frekvenciához : $\mathbf {k}$ $\omega$ $\lambda$ $\nu$

$k={\frac {2\pi }{\lambda )),~~~~~~~~~\omega =2\pi \nu ,~~~~~~~~~~~\lambda \nu = {\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}.$

A és konstansok fáziseltolódások, és és az oszcillációs amplitúdók az egyes tengelyek mentén. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$ $a$ $b$

A tér egy fix pontjában ( ) az elektromos térvektor általános esetben egy ellipszist ír le a síkban, ezért az ilyen hullámokat elliptikusan polarizáltnak nevezzük . Különleges esetük a körben polarizált hullámok. Az egyenessé degenerált ellipszis a térerősség oszcillációinak felel meg a síkban egy egyenes mentén . Az ilyen hullámokat lineárisan polarizáltnak nevezzük. Hasonló a helyzet a mágneses indukciós vektorral is, amely mindig merőleges az elektromos térerősségre. $\mathbf {k} \mathbf {r} =\mathrm {const}$ $(x,y)\$ $(x,y)\$

Kapcsolat más elméletekkel

A Maxwell-egyenletek teljes mértékben kompatibilisek a speciális relativitáselmélet elveivel . Alkalmazhatók az anyag mikroszkópos leírására is, amikor a töltött részecskék engedelmeskednek a kvantummechanika elveinek , és az elektromágneses tér klasszikus marad (nem kvantum). Ebben az esetben a kvantumobjektumokat (például elektronokat ) a Schrödinger- egyenlet vagy a Dirac-egyenlet írja le , azonban az elektromágneses kölcsönhatási potenciálokat ezekben az egyenletekben a klasszikus Maxwell-egyenletek határozzák meg.

Mindazonáltal vannak olyan jelenségek, amelyek megkövetelik a Faraday-Maxwell térszemlélet és a kvantummechanika elveinek következetesebb egyesítése. Ezt a kvantumtérelmélet kvantumelektrodinamikai módszereivel hajtják végre . Ebben az esetben a Maxwell-egyenletek alakja (Lagrange-féle) változatlan marad, azonban a mezők operátorokká , a Maxwell-egyenletek pedig Heisenberg-operátoregyenletekké válnak . Az ilyen egyenletek megoldása olyan új hatások megjelenéséhez vezet, amelyek hiányoznak a klasszikus térelméletből. Ezek a hatások különösen a következő fizikai helyzetekben jelentősek:

Szupererős mezők ( ≈1,32×10 18 V/m, ahol az elektron tömege, töltése , Planck - állandó ) - egy ilyen mező munkája az elektron Compton-hullámhosszán nagyságrendileg egyenlő az elektron nyugalmi energiájára, ami vákuumból elektron-pozitron gőz spontán keletkezéséhez vezet ( Schwinger-effektus ) [71] . Ennek eredményeként a fotonok hatékony kölcsönhatása jön létre, amely a klasszikus elektrodinamikában hiányzik, ami a Lagrange-mező hatékony változásához vezet (például az alacsony energiájú határnál a mezőt a Heisenberg-Euler Lagrange írja le [72] ] ). $E\sim m_{e}^{2}c^{3}/e\hbar$ $nekem}\$ $e\$ $\hbar$
Szupergyenge mezők energiával , ahol a térfrekvencia (lásd Planck képletét ). Ebben az esetben az elektromágneses mező egyedi kvantumai – fotonok – válnak észrevehetővé . $\sim \hbar \omega$ $\omega \$
Az atomok és molekulák általi fényelnyelés és -emisszió hatásainak leírása.
Nem klasszikus, például tömörített mezőállapotok leírására [73] .
Kis távolságokon, egy ≈ 3,86 × 10 -13 m-es elektron Compton-hullámhosszához hasonlítható , amikor például a Coulomb-törvény vákuumhatások következtében módosul . $\lambda _{e}=\hbar /m_{e}c$

Axiomatikus megközelítés

Történelmileg a Maxwell-egyenletek különféle kísérleti felfedezések általánosításának eredményeként jöttek létre. Axiomatikus szempontból azonban ezek a következő lépések sorozatával érhetők el [74] :

Feltételezett:
- Coulomb-törvény (az állótöltetből a próbatöltetre kényszerítve ); $\mathbf {F}$ $q$ $K$
- töltésinvariancia különböző inerciális vonatkoztatási rendszerekben;
- szuperpozíció elve .
Lorentz-transzformációk segítségével megkapjuk a próbatöltésre ható erővektor értékét a töltés egyenletesen sebességgel mozgó oldaláról , amely egybeesik a Lorentz-erővel . $\mathbf {F}$ $\mathbf {u}$ $K$
Az erő elektromos ( ) és mágneses ( ) összetevőiből számított divergencia és göndörödés adja a Maxwell-egyenleteket egy ponttöltésre. A szuperpozíció elve alapján a töltések és áramok tetszőleges eloszlására íródnak. Összefoglalva, ezeknek az egyenleteknek a töltések gyorsított mozgására való alkalmazhatósága feltételezhető. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

A második megközelítés a lagrangi formalizmuson alapul [75] . Ugyanakkor feltételezik, hogy az elektromágneses teret a négydimenziós potenciál lineáris kölcsönhatása írja le a négy vektoros elektromos árammal , és a szabad Lagrange arányos az elektromágneses tér tenzorának négyzetének invariáns konvolúciójával. . ${\displaystyle A^{\alpha ))$ ${\displaystyle j^{\alpha ))$ ${\displaystyle F^{\alpha \beta ))$

Mind az első, mind a második megközelítésben feltételezzük, hogy a relativitáselmélet alapelvei megalapozottak . Bár történetileg a Maxwell-egyenletek és Einstein második posztulátuma alapján keletkezett, létezik egy axiomatikus módszer az SRT felépítésére, amely Ignatovsky [76] , Frank és Rothe [77] munkáira nyúlik vissza, és nem használja az invariancia posztulátumát. a fénysebesség és a Maxwell-egyenletek.

Mindkét axiomatikus megközelítésben a Maxwell-egyenleteket vákuumban, szabad töltések jelenlétében kapjuk meg. Ezen egyenletek kiterjesztése a folytonos közegek elektrodinamikájára az anyag szerkezetére vonatkozó különféle modellelgondolások további bevonását igényli.

A Maxwell-egyenletek megoldásainak egyedisége

A Maxwell-egyenletek parciális differenciálegyenletek . Ezért ezek megoldásához be kell állítani a kezdeti és peremfeltételeket . A nemstacionárius mezők töltéssűrűségének és áramerősségének rögzített függvényei esetében a kapott megoldás egyedi. Ezt a tényt tételként fogalmazzuk meg [78] [79] [80] :

Ha az elektromos és mágneses mező erősségeit a kezdeti időpillanatban adjuk meg egy adott térrégió minden pontjában , és az egész idő alatt az elektromos vagy mágneses térerősség tangenciális (tangenciális) összetevőit ennek határán. régió adott , akkor van egy egyedi megoldás a Maxwell-egyenletekre. $t=0$ $v$ $t\geq 0$ $s$

Bizonyíték

Az elektromos és mágneses indukciót a következő konstitutív egyenletekkel kössük össze a térerősségekkel:

$\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\varepsilon }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),~~~ ~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mu }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {H } (\mathbf {r} ,t),$

ahol és pozitív határozott, szimmetrikus, stacionárius mátrixok. Ha adott kezdeti és peremfeltételek mellett két különböző megoldás létezik, akkor a következő mennyiségek nullától eltérőek: ${\kalap {\varepszilon ))(\mathbf {r})$ ${\hat {\mu ))(\mathbf {r})$

$\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} ,t)-\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r}, t),~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {H} _{2}(\mathbf {r}, t)-\mathbf {H} _{1}(\mathbf {r} ,t),$

ahol az index a megoldás számát jelöli. Mivel a kezdeti és a peremfeltétel adott (mindkét lehetséges megoldásnál ugyanaz), akkor:

$\mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0,~~~~~~~~~~~~~~[\mathbf { e} _{\tau }(\mathbf {r} ,t)\cup \mathbf {h} _{\tau }(\mathbf {r} ,t)]{\Big |}_{s}=0 .$

Az első reláció a kezdeti feltételeknek, a második pedig a felület peremfeltételeinek felel meg , ahol . (Az index a felület normál komponense, és az érintője. Hasonlóan ) Ha a függvényeket és a Maxwell-egyenleteket behelyettesítjük a rotorokra, a következő egyenletekhez vezetünk: $s$ $\mathbf {e} =\mathbf {e} _{n}+\mathbf {e} _{\tau }$ $n$ $\tau$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)$ $\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)$

$k\,\nabla \times \mathbf {e} =-{\frac {\partial ({\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\partial t)),~~~~~ ~~~~~~~~~~~~k\,\nabla \times \mathbf {h} ={\frac {\partial ({\hat {\varepszilon }}\cdot \mathbf {e} )}{ \partial-t}},$

ahol az együttható egyenlő a CGS rendszerben és egység az SI rendszerben . Ha az egyik különbségmező vagy egyenlő nullával, akkor a nulla kezdeti feltételek miatt az első, illetve a második egyenletből az következik, hogy a határozatlan különbségmező rendre nulla, vagy , és ezekben a speciális esetekben az egyediség bebizonyosodik. $k$ $c$ $\mathbf {e}$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {e}$

Tegyük fel, hogy mindkét különbségmező nem egyenlő nullával. Ha az első egyenletet megszorozzuk -vel , a másodikat pedig -vel, és kivonjuk egymástól, akkor a következő kifejezést kapjuk: $\mathbf {h}$ $\mathbf {e}$

-2k\,\nabla \cdot (\mathbf {e} \times \mathbf {h} )={\frac {\partial (\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepszilon ))\cdot \mathbf { e} )}{\partial t}}+{\frac {\partial (\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\partial t}}).

Ez a kifejezés térfogaton keresztül integrálható , és alkalmazhatjuk a Gauss-tételt : $v$

-2k\oint \limits _{s}[\mathbf {e} \times \mathbf {h} ]\,d\mathbf {s} ={\frac {d}{dt))\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv.

A felületet érintő (tangenciális) vektorok összetevői bármely (peremfeltétel) esetén nullával egyenlők , ezért a felület feletti integrál is nulla. Következésképpen: $s$ $\mathbf {e} _{\tau }$ $\mathbf {h} _{\tau}$ $t\geq 0$

{\frac {d}{dt}}\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv=0.

Az így kapott reláció idővel integrálódik. Mivel a függvény kezdeti időpontjában az integrációs állandó nulla, és bármely : $t=0$ $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0$ $t$

\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepszilon ))\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu )) \cdot \mathbf {h} )\,dv=0.

Az integrandus pozitív határozott (mindig nullánál nagyobb vagy egyenlő). Egy ilyen függvény integrálja csak akkor nulla, ha az integrandus azonos nulla. Ezért bármikor a köteten belül és . Tehát a megoldások ugyanazok. $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=0$ $\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=0$

A Maxwell-egyenletek megoldásának egyedisége érdekében a mező érintőleges összetevőinek megadása helyett megkövetelhetjük, hogy az impedanciatípus feltétele teljesüljön a határon.

\left(\mathbf {E} _{\tau }-Z[\mathbf {n} \times \mathbf {H} ]\jobbra){\Big |}_{s}=0,

ahol az impedanciát úgy választják meg, hogy kizárják a kívülről beáramló energia. Ez a feltétel lehetővé teszi, hogy korlátlan esetben is megfogalmazzuk az egyediségi tételt, és az impedancia feltétel a végtelenben Sommerfeld sugárzási feltétellé alakul át. $Z$

Az időben harmonikus folyamatok esetében a probléma kezdeti feltételek nélküli megoldásának egyediségét a térfogaton belüli energia tetszőlegesen kicsi elnyelése vagy a felületen való átszivárgása (kivéve a valós rezonanciafrekvenciákon előforduló természetes rezgéseket ) biztosítja. $v$ $s$

Az elektrosztatika és a magnetosztatika stacionárius problémáiban az állandósult mezők egyetlen megoldását csak a peremfeltételek határozzák meg.

Maxwell-egyenletek numerikus megoldása

A számítástechnika fejlődésével lehetővé vált számos elektrodinamikai probléma megoldása numerikus módszerekkel [81] , amelyek lehetővé teszik az elektromágneses tér eloszlásának meghatározását adott kezdeti és peremfeltételek mellett, a Maxwell-egyenleten alapuló algoritmusok segítségével.

A fő módszerek a vetítési módszerek, amelyekben a megoldást valamilyen kényelmes funkcionális alapra vetítik, és a diszkretizálási módszerek, amelyek során egy térrégiót sok kis véges régióra osztanak fel.

A Bubnov–Galyorkin projekciós módszerben [82] egy határérték-probléma megoldását közelítő véges bővítésnek tekintik a bázisfüggvények szempontjából. Miután a bővítést behelyettesítettük az eredeti egyenletekbe, figyelembe véve azt a követelményt, hogy a kapott eltérés ortogonális legyen a választott bázisfüggvényekre, egy lineáris egyenletrendszert kapunk a bővítési együtthatókra.

A számítógépes számításokhoz gyakrabban használnak univerzális diszkretizálási módszereket:

Végeselem-módszer (FEM), amelyet a parciális differenciálegyenletekre redukáló problémák széles osztályának megoldására használnak. Az elektromágnesesség elméletében gyakrabban használják elektrosztatika, magnetosztatika, hullámterjedés és kvázi-stacionárius jelenségek problémáinak kiszámítására [83] [84] . A végeselemes módszerben a térnek azt a területét, amelyben megoldást keresünk, nagyszámú egyszerű diszkrét elemre osztjuk, általában, de nem feltétlenül, háromszög alakúra (kétdimenziós esetben) vagy tetraéderre (a háromdimenziós esetben). dimenziós eset). Az elemek alakja és sűrűsége a feladat követelményeihez igazodik. Az egyes elemek viselkedését a partíciórács szomszédos csomópontjainak lineáris kölcsönhatásaként tekintjük külső erők hatására, és mátrixegyenletekkel írjuk le. A feladat megoldása így a nagyszámú lineáris mátrixegyenlet ritka rendszereinek megoldására redukálódik. A módszert számos kereskedelmi és ingyenes szoftvercsomag implementálja (lásd a Véges elem módszer című cikket ).

Kifejezetten a Maxwell-egyenletek megoldására fejlesztették ki az idő- és spektrális függőségek megállapítására szolgáló idő-domain véges különbség módszert (FDTD) [85] [86] , amelyben az elektromos és a mágneses tér időbeni változása a mágneses tér változásától függ. és elektromos mezők a térben, ill. Ennek a módszernek a keretében egy térrégiót és egy időintervallumot egységes diszkretizálásnak vetünk alá a kezdeti feltételek hozzárendelésével. A Maxwell-egyenletekből kapott véges-differenciális egyenleteket az időrács minden további pillanatában megoldjuk, amíg a teljes szükséges időintervallumban meg nem kapjuk a feladat megoldását.

Források

↑ Oersted H.K. „Elektromos konfliktus mágnestűn történő fellépésével kapcsolatos kísérletek”, a könyvben. Amper A. M. Elektrodinamika. - M. : AN SSSR, 1954. - S. 433-439. — 492 p. - 5000 példány.
↑ J.-B. Biot és F. Savart , Note sur le Magnétisme de la pile de Volta Archiválva : 2009. november 2., a Wayback Machine -nél . Annales Chim. Phys. - vol. 15.-pp. 222-223 (1820)
↑ Mario Gliozzi. A fizika története. - M . : Mir, 1970. - S. 253-257. — 464 p.
↑ Maxwell J.K. Válogatott munkák az elektromágneses tér elméletéről. - M. : GITTL, 1952. - S. 349. - 687 p.
↑ Maxwell J.K. Válogatott munkák az elektromágneses tér elméletéről. - M. : GITTL, 1952. - S. 632. - 687 p.
↑ Maxwell J.K. Faraday erővonalairól a könyvben. Maxwell JK Selected az elektromágneses tér elméletével foglalkozik. - M. : GITTL, 1952. - S. 11-88. — 687 p.
↑ Maxwell JC Faraday erővonalairól // A Cambridge Philosophical Society tranzakciói. - 1856. - T. 10 , 1. sz . - S. 155-229 . Az eredetiből archiválva : 2008. december 17.
↑ 1 2 3 Shapiro I. S. A Maxwell-egyenletek felfedezésének történetéről // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Orosz Tudományos Akadémia , 1972. - T. 108 , 2. sz . - S. 319-333 . Archiválva az eredetiből 2013. május 22-én. (Orosz)
↑ Maxwell J.K. A fizikai erővonalakról a könyvben. Maxwell JK Selected az elektromágneses tér elméletével foglalkozik. - M. : GITTL, 1952. - S. 107-177. — 687 p.
↑ Maxwell JC a fizikai erővonalakról // Philosophical Magazine : Ser. 4. - 1861.1862. - T. 11.13 . - S. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95 . Archiválva az eredetiből 2009. június 12-én.
↑ Maxwell J. K. Az elektromágneses mező dinamikus elmélete a könyvben. Maxwell JK Selected az elektromágneses tér elméletével foglalkozik. - M. : GITTL, 1952. - S. 251-316. — 687 p.
↑ Maxwell JC Az elektromágneses mező dinamikus elmélete // A Londoni Királyi Társaság filozófiai tranzakciói : folyóirat. - 1865. - Kt. 155 . - P. 459-512 . Archiválva az eredetiből 2011. július 28-án.
↑ Maxwell JC . Értekezés az elektromosságról és mágnesességről, 1873
↑ Paul J. Nahin. Oliver Heaviside: a viktoriánus kor elektromos géniuszának élete, munkája és ideje (angolul) . — JHU Press, 2002. - P. 108-112. — ISBN 9780801869099 . Archiválva : 2014. október 1. a Wayback Machine -nél
↑ Aharonov, Y; Bohm, D. Az elektromágneses potenciálok jelentősége a kvantumelméletben (angol) // Physical Review : Journal. - 1959. - 1. évf. 115 . - P. 485-491 . - doi : 10.1103/PhysRev.115.485 .
↑ Nahin PJ Oliver Heaviside: a viktoriánus kor elektromos zsenijének élete, munkája és ideje Archivált 2014. szeptember 25. a Wayback Machine -nél . — JHU Press. - pp. 108-112. — ISBN 978-0-8018-6909-9
↑ 1 2 Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ann Phys. 1905. Bd 17. S. 891 _ _ _ _ - M . : Nauka, 1965. - T. 1. - S. 7-35. — 700 s. - 32.000 példány.
↑ Myron Evans. Modern nemlineáris optika (neopr.) . - John Wiley and Sons , 2001. - P. 240. - ISBN 9780471389316 . Archivált : 2014. szeptember 29. a Wayback Machine -nál
↑ Larmor J. Éter és anyag. – Cambridge. - 1900. - p. 162-193. Fordítás: Larmor J. Az éter és az anyag a könyvben. A relativitás elve. Munkagyűjtemény a speciális relativitáselméletről / Összeállította: A. A. Tyapkin. - M .: Atomizdat , 1973. - S. 47-64. — 332 p.
↑ Lorentz H. A. Elektromágneses jelenségek a fényénél kisebb sebességgel mozgó rendszerben. — Amst. Proc. - V. 6. - P. 809; 1904. - V. 12. - P. 986. Fordítás: Lorentz G. A. Elektromágneses jelenségek a fénysebességnél kisebb sebességgel mozgó rendszerben a könyvben. A relativitás elve. Munkagyűjtemény a speciális relativitáselméletről / Összeállította: A. A. Tyapkin. — M .: Atomizdat , 1973. — S. 67-86. — 332 p.
↑ Poincare H. Sur la dynainique de l'electron. — Comptes Rendues, Acad. sci. — Párizs. - 1905. - V. 140. - P. 1504. Fordítás: Poincare A. Az elektron dinamikájáról a könyvben. A relativitás elve. Munkagyűjtemény a speciális relativitáselméletről / Összeállította: A. A. Tyapkin. - M . : Atomizdat , 1973. - S. 90-93. — 332 p.
↑ Pauli W. Relativitáselmélet. - M . : Tudomány. - S. 13-17.
↑ Beresztetszkij V. B. , Lifshits E. M. , Pitajevszkij L. P. Kvantumelektrodinamika. - 4. kiadás, átdolgozott. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 p. - (" Elméleti fizika ", IV. kötet). — ISBN 5-9221-0058-0 .
↑ L. B. Okun . I. függelék // Elemi részecskék fizikája. - M .: Nauka, 1984.
↑ D. V. Sivukhin . A fizikai mennyiségek nemzetközi rendszeréről // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Orosz Tudományos Akadémia , 1979. - T. 129 , 10. sz . - S. 335 . Az eredetiből archiválva : 2010. április 14. (Orosz)
↑ S. G. Karshenboim. Alapvető fizikai állandók: szerep a fizikában és a metrológiában, valamint az ajánlott értékek // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Orosz Tudományos Akadémia , 2005. - T. 175 , 3. sz . - S. 271 . Az eredetiből archiválva : 2010. március 28. (Orosz)
↑ Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . - M . : Nauka, 1985. - S. 43-44. — 260 p. Archiválva : 2022. március 14. a Wayback Machine -nél
↑ O. Haviside, "On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a dilectric" Archiválva : 2012. január 20., a Wayback Machine , Phil.Mag. S.5 27 , p. 324, 1889.
↑ Kartsev V.P. "Nagy egyenletek kalandjai", M.: Tudás, 1986.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Mennyiségek mértékegységei. Szótári hivatkozás. - M . : Szabványok Kiadója, 1990. - S. 213. - 240 p. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). Az alapvető fizikai állandók CODATA ajánlott értékei: 2006. Rev. Mod. Phys. 80, 633-730. doi : 10.1103/RevModPhys.80.633 .
↑ Fizikai állandók értékei . Letöltve: 2007. március 30. Az eredetiből archiválva : 2014. augusztus 31.. (határozatlan)
↑ Sena L. A. Fizikai mennyiségek mértékegységei és méreteik. — M.: Nauka. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1988. - 432 p., ill. ISBN 5-02-013848-7 , 7.5. §.
↑ Például Fizikai mennyiségek táblázatai / akad. I. K. Kikoin . — M .: Atomizdat , 1976.
↑ Törésmutató adatbázis . Letöltve: 2010. április 17. Az eredetiből archiválva : 2017. december 22.. (határozatlan)
↑ Stratton J.A. Az elektromágnesesség elmélete. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 42-45. — 539 p. - 8000 példányban.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — S. 112-113. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — S. 69-76,95-96. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stratton J.A. Az elektromágnesesség elmélete. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 34-35. — 539 p. - 8000 példányban.
↑ 1 2 Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — S. 215-218. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Ginzburg V. L. Elméleti fizika és asztrofizika. - M. : Nauka, 1981. - S. 12. - 503 p.
↑ Stratton J.A. Az elektromágnesesség elmélete. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 37-40. — 539 p. - 8000 példányban.
↑ Essex EA Az elektromágneses elmélet Hertz vektorpotenciáljai. — American Journal of Physics . - 45. - 1977. - 1099-1101.
↑ A. Nisbet, "Hertzi elektromágneses potenciálok és a kapcsolódó mérőtranszformációk", Proc. a Royal Soc. Londonból. Ser. A., 231, #1185, 250-263, 1955.
↑ P. Debye. Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material (német) // Annalen der Physik . - 1909. - Bd. 30 . - S. 57-136 .
↑ Stratton J.A. Az elektromágnesesség elmélete. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 345-348. — 539 p. - 8000 példányban.
↑ R. Janaswamy. Megjegyzés az elektromágneses mezők {TE/TM} felbontásáról háromdimenziós homogén térben // IEEE Transactions on Antennas and Propagation . - 2004. - 20. évf. 52 . - P. 2474-2476 .
↑ L. Silberstein. Electromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung (német) // Annalen der Physik . - 1907. - Bd. 22 . — S. 579 .
↑ 1 2 I. Bialynicky-Birula. Fotonhullám függvény // Progress in Optics . - 1996. - 1. évf. 36 . - P. 245-294 .
↑ Stratton J.A. Az elektromágnesesség elmélete. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 40-42. — 539 p. - 8000 példányban.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — S. 88-90. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodinamika: Bevezetés, beleértve a kvantumeffektusokat. - Szingapúr: World Scientific, 2004. - P. 398,399. — 522 p. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodinamika: Bevezetés, beleértve a kvantumeffektusokat. - Szingapúr: World Scientific, 2004. - P. 399. - 522 p. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — S. 90-91. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodinamika: Bevezetés, beleértve a kvantumeffektusokat. - Szingapúr: World Scientific, 2004. - P. 403. - 522 p. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — S. 70-73. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ 1 2 Müller-Kirsten HJW Elektrodinamika: Bevezetés a kvantumeffektusokkal együtt. - Szingapúr: World Scientific, 2004. - P. 428. - 522 p. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. - M .: Nauka , 1988. - S. 102. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Fedosin SG A legkisebb cselekvés elve a gravitáció kovariáns elméletében. Archiválva : 2017. március 12., a Wayback Machine Hadronic Journal, 2012. évf. 35, sz. 1, 35-70. cikk oroszul: A legkisebb cselekvés elve a gravitáció kovariáns elméletében. Archiválva : 2017. március 12. a Wayback Machine -nál
↑ Bolibrukh A. A. Maxwell egyenletek és differenciálformák archív példánya , 2019. február 1-i keltezése a Wayback Machine -nél, MTsNMO, 2002.
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravity . - M . : Mir, 1977. - T. 1. - S. 195,196. — 474 p.
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravity . - M . : Mir, 1977. - T. 1. - S. 153-155. — 474 p.
↑ Dirac P.A.M. Általános relativitáselmélet. - M . : Atomizdat, 1978. - 64 p.
↑ Van der Werden B. L. Csoportelmélet módszere a kvantummechanikában, M., Editorial URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Rumer Yu. B. Spinor elemzés, M., NKTP, 104 oldal.
↑ Saveliev, 1970 , § 109. Hullámegyenlet.
↑ Mignani, R., Recami, E., Baldo, M. , About a Dirac-like Equation for the Photon, Ettore Majorana, Lett. Nuovo Cimento 11:568-572 (1974)
↑ A. I. Akhiezer , V. B. Beresztetszkij Kvantumelektrodinamika. - M., Nauka, 1981. - p. 80
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. - M . : Nauka , 1988. - S. 128-130. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Berkeley fizikatanfolyam. 2. kötet Purcell E. Elektromosság és mágnesesség. — M.: Nauka, 1971.
↑ Schwinger J. A szelvény invarianciájáról és a vákuumpolarizációról // Phys . Fordulat. Lett. . - 1951. - 1. évf. 82 . — 664. o .
↑ Heisenberg W. , Euler H. Folgerungen aus der Dlracschen Theorie des Positrons (német) // Z. Phys. . - 1936. - Bd. 98 . - S. 714 .
↑ A. V. Belinsky, A. S. Chirkin Tömörített állapot – cikk a Physical Encyclopedia -ból
↑ Purcell E. Berkeley fizikatanfolyam. - M . : Tudomány. - T. II. elektromosság és mágnesesség. - S. 149-181.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ von W. v. Ignatowsky "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip" Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 ( orosz fordítás archiválva 2017. július 2-án a Wayback Machine -nél )
↑ Philipp Frank és Hermann Rothe "Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme" Ann. der Physic, Ser. 4, Vol. 34, sz. 5, 1911, pp. 825-855 ( orosz fordítás archiválva 2014. augusztus 29-én a Wayback Machine -nél )
↑ Stratton J.A. Az elektromágnesesség elmélete. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 429-430. — 539 p. - 8000 példányban.
↑ Nikolsky V.V., Nikolskaya T.I. Elektrodinamika és rádióhullámok terjedése. M.: Nauka, 1989. - C. 128-130
↑ XL Zhou "A függetlenségről, a Maxwell-egyenletek teljességéről és az elektromágneses egyediségtételekről" Progress In Electromagnetics Research, PIER 64, 117-134, 2006 pdf Archivált 2010. június 2. a Wayback Machine -nél
↑ Chew WC, Jin J., Michielssen E., Song J. Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics . — Artech ház, 2001. - ISBN 1-58053-152-0 .
↑ Nikolsky V.V., Nikolskaya T.I. Elektrodinamika és rádióhullámok terjedése. M.: Nauka, 1989. - C. 416-436
↑ Sylvester P. és Ferrari R. Végeselem módszer rádió- és villamosmérnökök számára. — M .: Mir, 1986. — 336 p.
↑ Monk, P. Végeselem-módszerek Maxwell- egyenletekhez . – Oxford University Press , 2003.
↑ Taflove A. és Hagness SC Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method . — Artech ház, 2005.
↑ Jin, J. A végeselemes módszer az elektromágnesekben . — 2. - Wiley-IEEE Press , 2002. - ISBN 0-47143-818-9 .

Jegyzetek

↑ A kivétel Millernek a Wilson-hegyen végzett kísérletei voltak. A kísérletek utólagos megismétlése más kutatók által, pontosabb berendezéssel nem mutatta ki a hatást. Lásd a Michelson - kísérlet ismétlődéseit, archiválva 2020. január 12-én a Wayback Machine -nél
↑ Azaz olyan vektormezők, amelyek eltéréseket tartalmaznak, amelyek skalárok.
↑ Itt szimmetrikus Gauss GHS-t használunk. A Maxwell-egyenletekért a CGS más változataiban és olyan univerzális formában, amely nem függ az egységrendszer megválasztásától, lásd a CGS § A CGS kiterjesztései és az elektrodinamikai egyenletek univerzális formája című cikket .
↑ 1 2 3 4 Ha kísérleti úton szabad mágneses monopólusokat fedeznek fel, akkor ehhez be kell vezetni a Gauss-törvénybe a mágneses töltések sűrűségének és áramsűrűségének mágneses mezőjét a Faraday indukciós törvénybe.
↑ Például egy vezető általában legalább kétféle, különböző előjelű töltéshordozót tartalmaz, így a vezetőben a teljes töltéssűrűség lehet nulla, de az áram továbbra is jelen lehet (és ekkor a sűrűsége nem egyenlő nullával).
↑ Itt és alább a modern irodalomban leggyakrabban használt konvenciók (koordináták számozása, metrikus aláírás stb.) használatosak, amelyek általánosságban elmondható, hogy a szakirodalomban megtalálható, kissé eltérő módon választhatók.

Lásd még

Irodalom

Történelmi kiadványok

Amper A. M. Elektrodinamika. — M. : AN SSSR, 1954. — 492 p. - 5000 példány.
Maxwell JK Selected az elektromágneses tér elméletével foglalkozik. - M. : GITTL, 1952. - 687 p.
Maxwell J. K. cikkek és beszédek . — M .: Nauka, 1968. — 423 p.
Faraday M. Kísérleti kutatás az elektromosságról. - M. : Szovjetunió Tudományos Akadémia, 1947-1959. - I-III. köt.
Maxwell JC Az elektromágneses mező dinamikus elmélete // A Londoni Királyi Társaság filozófiai tranzakciói. - 1865. - T. 155 . - S. 459-512 .
Maxwell JC , Értekezés az elektromosságról és mágnesességről - 1. kötet - 1873 - Posner Memorial Collection - Carnegie Mellon Egyetem
Maxwell JC , Értekezés az elektromosságról és mágnesességről - 2. kötet - 1873 - Posner Memorial Collection - Carnegie Mellon Egyetem
Maxwell J.K. Értekezés az elektromosságról és a mágnesességről. - M . : Nauka, 1989. - T. 1.
Maxwell J.K. Értekezés az elektromosságról és a mágnesességről. - M . : Nauka, 1989. - T. 2.
Maxwell JC a fizikai erővonalakról // Philosophical Magazine : Ser. 4. - 1861.1862. - T. 11.13 . - S. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95 .
Maxwell JC Faraday erővonalairól // A Cambridge Philosophical Society tranzakciói. - 1856. - T. 10 , 1. sz . - S. 155-229 .

A fejlődés története

Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . — M .: Nauka , 1985. — 260 p.
Kartsev V. P. Maxwell (Finom emberek élete). - M . : Fiatal Gárda , 1976. - 336 p.
Kartsev VP Nagy egyenletek kalandjai . — M .: Tudás , 1986. — 288 p.
Shapiro I. S. A Maxwell-egyenletek felfedezésének történetéről // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Orosz Tudományos Akadémia , 1972. - T. 108 , 2. sz . - S. 319-333 . (Orosz)
Cooper L. Fizika mindenkinek. v.1 = Leon N. Cooper Bevezetés a fizika jelentésébe és szerkezetébe, 1968,1970. - M .: Mir , 1973.

Általános fizika tanfolyamok

Astakhov AV, Shirokov Yu. M. Fizika tanfolyam, II. kötet, Elektromágneses tér. — M .: Nauka , 1980. — 360 p.
Baskakov S. I. Az elektrodinamika alapjai. - M . : Szovjet rádió , 1973. - 248 p.
Kalasnyikov S. G. Elektromosság (Általános fizika kurzus, 2. kötet). - 6. kiadás — M .: Fizmatlit , 2003. — 624 p. — ISBN 5-9221-0312-1 .
Matveev A. N. Elektromosság és mágnesesség. - M .: Felsőiskola , 1983.
Nikolsky VV, Nikolskaya TI Elektrodinamika és rádióhullámok terjedése. M.: Nauka , 1989.
Penner D. I., Ugarov V. A. Elektrodinamika és speciális relativitáselmélet. M.: Felvilágosodás , 1980.
Purcell E. Elektromosság és mágnesesség. Berkeley fizikatanfolyam. 2. kötet M.: Nauka , 1971.
Saveljev I.V. Általános fizika tanfolyam, II. Elektromosság. - Tudomány, 1970.
Sivukhin DV Általános fizika tanfolyam. - Szerk. 3., rev. és további .. - M . : Nauka , 1996. - T. III. Elektromosság. — 320 s. — ISBN 5-02-014054-6 ..
Tonnela M. A. Az elektromágnesesség és a relativitáselmélet alapjai. M.: IL, 1962.
Feynman R. , Layton R., Sands M. A Feynman Fizikai előadások. 5. kötet. Elektromosság és mágnesesség. M.: Mir , 1965
Feynman R. , Layton R., Sands M. A Feynman Fizikai előadások. 6. kötet. Elektrodinamika. M.: Mir , 1966

Elméleti fizika tanfolyamok

Baranov A. M., Ovchinnikov S. G., Zolotov O. A., Paklin N. N., Titov L. S. Elméleti fizika: Elektrodinamika. Folyamatos közegek elektrodinamikája. Tankönyv az "Elektrodinamika és a kontinuumok elektrodinamikájának alapjai" kurzushoz . - Krasznojarszk: SFU , 2008. - 198 p.
Jackson J. Klasszikus elektrodinamika. - M .: Mir , 1965.
Landau L. D., Lifshits E. M. Field Theory (Elméleti fizika, II. köt.). — M .: Fizmatlit , 2003. — 536 p. — ISBN 5-9221-0056-4 .
Landau L. D., Lifshitz E. M. Folyamatos közeg elektrodinamikája (Theoretical Physics, VIII. köt.). — M .: Fizmatlit , 2005. — 656 p. — ISBN 5-9221-0123-4 .
Batygin VV, Toptygin IN Modern elektrodinamika. 1. rész Mikroszkóp elmélet. - M. : NIC "Szabályos és kaotikus dinamika", 2005. - 736 p. — ISBN 5-93972-492-2 .
Toptygin I. N. Modern elektrodinamika. 2. rész. Az anyag elektromágneses jelenségeinek elmélete. - M. : NIC "Szabályos és kaotikus dinamika", 2005. - 848 p. — ISBN 5-93972-493-0 .
Stratton J.A. Az elektromágnesesség elmélete. - M. - L. : GITTL, 1948. - 539 p. - 8000 példányban.
Tamm I. E. Az elektromosság elméletének alapjai. - M .: Nauka , 1989.
Fushchich V. I., Nikitin A. G. Maxwell-egyenletek szimmetriája. - Kijev: Naukova Dumka , 1983. - C. 200.
Bolibrukh AA Maxwell-egyenletek és differenciálformák . – MTsNMO, 2002.

Maxwell-egyenletek megoldásai

Balandin M. Yu., Shurina E. P. Vektor véges elem módszer: tankönyv . - Novoszibirszk: NSTU , 2001. - 69 p.
Vainshtein L.A. Elektromágneses hullámok. - M .: Rádió és kommunikáció , 1988.
Vonsovsky S. V. Mágnesesség. Dia-, para-, ferro-, antiferro- és ferrimágnesek mágneses tulajdonságai. - M.: Nauka , 1971.
Ginzburg VL Elektromágneses hullámok terjedése plazmában. - 2. kiadás — M.: Nauka , 1967.
Sylvester P. és Ferrari R. Végeselem módszer rádió- és villamosmérnökök számára. — M .: Mir , 1986. — 336 p.

Linkek

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Nagy Szovjet (1 kiadás) Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 12043257h GND : 4221398-8 J9U : 987007558284105171 LCCN : sh85082387 NKC : ph218895

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák