Gauss-Osztrogradszkij képlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. július 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzésekhez 10 szerkesztés szükséges .

A Gauss-Ostrogradsky képlet egy folytonosan differenciálható vektormező zárt felületen keresztüli áramlását köti össze , és e tér divergenciájának integrálját a felület által határolt térfogat felett.

A képlet arra szolgál, hogy a térfogati integrált egy zárt felületen lévő integrállá alakítsa át, és fordítva.

Megfogalmazás

A zárt felületen áthaladó vektoráramlás egyenlő a felület által határolt térfogat átvett integráljával [1] $\mathbf {a}$ $S$ $\operatorname {div} \mathbf {a}$ $V$ $S$

\iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operátornév {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v }

A koordinátajelölésben az Ostrogradsky-Gauss képlet a következőképpen alakul:

\iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{ V}\left({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z }}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz

{\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z))

- vektor vetületek

\mathbf {a}

Az Ostrogradsky-Gauss tétel következményei: 1) a szolenoid mezőben ( ) a vektoráram bármely zárt felületen nullával egyenlő.

\operatorname {div} \mathbf {a} =0

\mathbf {a}

2) ha egy zárt felületen belül van forrás vagy nyelő , akkor ezen a felületen áthaladó vektorfluxus nem függ az alakjától.

S

\mathbf {a}

Jegyzetek

Ostrogradsky munkájában a képlet a következő formában van írva:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,

ahol és a térfogat- és felületi különbségek, ill. olyan függvények, amelyek elsőrendű parciális deriváltjaikkal együtt folytonosak a tér zárt tartományában, amelyet egy zárt sima felület határol [2] . $d\omega$ $ds$ $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$

A képlet modern jelölése:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,

hol és . _ Modern jelöléssel - térfogatelem, - felület eleme [2] . ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz))$ ${\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dz}{dx))$ ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy))$ $\omega =d\Omega$ $s=dS$

Az Ostrogradsky- formula általánosítása a Stokes-képlet a határos sokaságokra .

Történelem

A tételt először Lagrange állapította meg 1762-ben [3] .

A hármas integrál felületi integrállá alakításának általános módszerét először Carl Friedrich Gauss ( 1813 , 1830 ) mutatta be az elektrodinamikai problémák példáján [4] .

1826- ban M. V. Ostrogradsky általános formában származtatta a formulát, és tételként mutatta be ( 1831 -ben jelent meg ). M. V. Ostrogradsky 1834 -ben publikálta a képlet többdimenziós általánosítását [4] . Ennek a képletnek a segítségével Ostrogradsky kifejezést talált a deriváltra a -szoros integrál változó határú paraméterére vonatkozóan, és kapott egy képletet a -szoros integrál variációjára. $n$ $n$

Külföldön a képletet általában "divergenciatételnek" ( angol divergencia tételnek ) nevezik, néha - Gauss-formulának vagy "Gauss-Ostrogradsky-képletnek (tétel)."

Lásd még

Jegyzetek

↑ "A felsőoktatás matematikai szótára" V. G. Vodnev, A. F. Naumovics, N. F. Naumovics. MPI kiadó. cikk "Osztrogradszkij tétele" 437. oldal.
↑ 1 2 Iljin V. A. et al. Matematikai elemzés. A tanfolyam folytatása / V. A. Iljin, V. A. Sadovnichy, Bl. X. Sendov. Szerk. A. N. Tikhonova. - M .: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1987. - 358 p.
↑ Egy 1762-es hangelméleti művében Lagrange a tétel egy speciális esetét vizsgálja: Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Új tanulmányok a hang természetéről és terjedéséről), Miscellanea Taurinensia ( Mélanges de Turin ), 2 : 11 - 172. Reprint kiadás: "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" Archiválva : 2016. május 15., a Wayback Machine in JA Serret, szerk., Oeuvres de Lagrange , (Párizs) , Franciaország: Gauthier -Villars, 1867), vol. 1, 151-316. oldal; oldalakon: 263-265. Archiválva : 2016. május 13., a Wayback Machine -nél A Lagrange a hármas integrálokat kettős integrálokká alakítja át részenkénti integráció segítségével .
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Matematikai kifejezések (Referenciakönyv). Moszkva: Felsőiskola, 1978, 150-151.

Irodalom

Ostrogradsky M. V. Note sur les integrales definies. //Mem. l'Acad. (VI), 1, 117-122., 29/X 1828 (1831).
Ostrogradsky M. V. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. //Mem. L'Acad., 1, pp. 35-58, 24/1 1834 (1838).

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)