Vektorpotenciál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A vektoranalízisben a vektorpotenciál olyan vektormező, amelynek rotorja megegyezik egy adott vektormezővel. Ez analóg a skaláris potenciállal , amelyet olyan skaláris mezőként definiálunk, amelynek gradiense egyenlő egy adott vektormezővel.

Formálisan, ha vektormező, akkor a vektorpotenciál olyan vektormező , amelyre $\mathbf{v}$ $\mathbf {A}$

{\mathbf {v}}=\nabla \times {\mathbf {A}}.

Ha a mező vektorpotenciálja , akkor az azonosságból $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$

\nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {A}})=0

( a rotor divergenciája nulla) következik

\nabla \cdot {\mathbf {v}}=\nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {A}})=0,

azaz szolenoid vektormezőnek kell lennie . $\mathbf{v}$

Bármely szolenoid vektormezőre, amely megfelel bizonyos feltételeknek, létezik vektorpotenciál. Léte különösen attól függ, hogy a mező melyik tartományban van meghatározva – többszörösen kapcsolt tartomány esetén az örvénytérpotenciál általában nem létezik.

Tétel

Hadd

{\mathbf {v}):{\mathbb R}^{3}\to {\mathbb R}^{3}

egy kétszer folyamatosan differenciálható szolenoid vektormező . Tegyük fel, hogy ez elég gyorsan csökken . Határozzuk meg $\mathbf {v} \left(\mathbf {x} \right)$ $\|\mathbf {x} \|\rightarrow \infty$

\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y}.

Ekkor van egy vektorpotenciál , azaz $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$

\nabla \times {\mathbf {A}}={\mathbf {v}}.

Ennek a tételnek egy általánosítása a Helmholtz - dekompozíció , amely szerint bármely vektormező ábrázolható egy szolenoid vektormező és egy irrotációs vektormező összegeként .

Kétértelműség a potenciál kiválasztásában

A szolenoid vektormező vektorpotenciálja kétértelműen definiált. Ha vektorpotenciál , akkor az $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$

\mathbf {A} +\nabla m,

ahol bármely folytonosan differenciálható skalárfüggvény. Ez annak a ténynek a következménye, hogy a gradiens curl nulla. $m$

Az elektrodinamikában ez kétértelművé teszi az elektromágneses mező potenciáljainak meghatározását, és egy további kalibrációs feltétellel oldható meg a potenciálon .

Vektorpotenciál a fizikában

Maxwell-egyenletek

A Maxwell -egyenletek felírásának egyik módja a vektor- és skalárpotenciálok megfogalmazása. A vektorpotenciált úgy vezetjük be, hogy ${\mathbf A}$

\mu _{0}{\mathbf H}={\mathbf B}=\operátornév {rot}{\mathbf A}

( SI rendszerben ).

Ebben az esetben az egyenlet automatikusan teljesül. $\operátornév {div}{\mathbf B}=0$

In kifejezés helyettesítése ${\mathbf A}$

\operátornév {rot}{\mathbf E}=-{\frac {\partial {\mathbf B}}{\partial t}}

egyenlethez vezet

\operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=0,

amely szerint az elektrosztatikához hasonlóan skaláris potenciált vezetnek be. Most azonban mind a skaláris, mind a vektorpotenciál hozzájárul: $\mathbf {E}$

\mathbf {E} =-\operátornév {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Az egyenletből következik $\operátornév {rot}{\mathbf H}={\mathbf j}+{\frac {\partial {\mathbf D)){\partial t))$

\operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\ partial }{\partial t))\left(-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right).

Az egyenlőség segítségével a vektor- és skalárpotenciálok egyenletei így írhatók fel $\operátornév {rot}\;\operátornév {rot}{\mathbf A}=\operátornév {grad}\;\operátornév {div}{\mathbf A}-\nabla ^{2}{\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} -\operátornév {grad} \left(\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \varphi }{\partial t))\right)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2 }}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0))}.

A vektorpotenciál fizikai jelentése

A klasszikus elektrodinamikában a vektorpotenciált meglehetősen gyakran olyan mennyiségként értelmezték, amelynek nincs közvetlen fizikai jelentése, formálisan csak a számítások kényelmét szolgálja, bár már a klasszikus elektrodinamikára vonatkozó cselekvési struktúrában a vektorpotenciál olyan direkt módon lép be, hogy ez alapvető természetére utal.

A kvantumelméletben ennek átlátszó fizikai jelentése van a vektorpotenciál közvetlen hatásának a mágneses térben mozgó részecske hullámfüggvényének fázisára. Sőt, lehetőség nyílt olyan kvantumkísérletek elvégzésére, amelyek kimutatták, hogy a vektorpotenciál egy bizonyos értelemben meglehetősen közvetlen méréshez hozzáférhető (legalábbis arról beszélünk, hogy a vektorpotenciál megfigyelhető mérhető módon képes befolyásolni a kvantumrészecskét még akkor is, ha a mágneses térerősség a részecske számára elérhető területeken mindenhol nulla, vagyis a mágneses tér nem hathat a részecskére az intenzitáson keresztül, hanem csak közvetlenül a vektorpotenciálon keresztül; lásd Aharonov-Bohm effektus ).