Mutatás tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. március 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Poynting tétele egy olyan tétel , amely leírja az energia megmaradásának törvényét elektromágneses térben . A tételt 1884 - ben John Henry Poynting bizonyította . Mindez a következő képletre csapódik le:

{\frac {\partial u}{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,

hol az energiasűrűség : ; $u$ $u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\ mu _{0}}}\jobbra)$

\varepszilon_{0}

- elektromos állandó , - mágneses állandó ;

\mu_{0}

\nabla

— nabla operátor ; S a Poynting-vektor ; J az áramsűrűség , E pedig az elektromos térerősség .

Mutatótétel integrál formában:

{\frac {\partial }{\partial t))\int _{V}u\ dV+\oint _({\partial V)){\mathbf {S))\ d{\mathbf {A))=- \int _{V}{\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}\ dV

hol van a térfogatot határoló felület . $\részleges V$ $V$

A szakirodalomban a tételt általában a következőképpen írják le ( - energiasűrűségek): $u$

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}+{\ frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf {E}}=0

ahol az elektromos tér energiasűrűsége, a mágneses tér energiasűrűsége és a Joule-veszteségek egységnyi térfogatra eső teljesítménye. $\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}$ ${\frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}$ ${\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}$

Következtetés

A tétel két Maxwell-egyenlet segítségével származtatható (az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a közeg vákuum (μ=1, ε=1); általános esetben tetszőleges közeg esetén mindegyikhez ε-t és μ -t kell rendelni ε 0 és μ 0 a képletekben) :

\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk -vel, a következőt kapjuk: $\mathbf {B}$

{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=-{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Tekintsük először a Maxwell-Ampere egyenletet:

\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu _{0}{\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\részleges t}}.

Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk -vel, a következőt kapjuk: $\mathbf {E}$

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})={\mathbf {E}}\cdot \mu _{0}{\mathbf {J}}+{\mathbf { E}}\cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}.

Az elsőt a másodikból kivonva a következőt kapjuk:

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})-{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=\mu _{ 0}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf { E}}}{\partial t}}+{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Végül:

-\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepszilon _{0}\ mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} } {\részleges t)).

Mivel a Poynting-vektor a következőképpen van definiálva: $\mathbf {S}$

{\mathbf {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}

ez egyenértékű:

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}+{\ frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf {E}}=0.

Általánosítás

A fenti tétel mechanikai energiája

{\frac {\partial }{\partial t))u_{m}({\mathbf {r)),t)+\nabla \cdot {\mathbf {S))_{m}({\mathbf {r ) )),t)={\mathbf {J}}({\mathbf {r}},t)\cdot {\mathbf {E}}({\mathbf {r}},t),

ahol u_m a sűrűség kinetikus energiája a rendszerben. Az α részecskék kinetikus energiájának összegeként írható le

u_{m}({\mathbf {r}},t)=\sum _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\pont {r}}_{ {\alpha }}^{2}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alpha }}(t)),

${\mathbf {S_{m))}$ - energiaáramlás, vagy "mechanikus Poynting-vektor":

{\mathbf {S}}_{m}({\mathbf {r}},t)=\sum _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\ pont {r}}_{{\alpha }}^{2}{\pont {{\mathbf {r}}}}_{{\alpha }}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alpha }}(t)).

Energiafolytonossági egyenlet vagy energiamegmaradási törvény

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left({\mathbf {S}}_{e}+{\ mathbf {S}}_{m}\right)=0,

Alternatív formák

A Poynting-tétel más formái is beszerezhetők. A fluxusvektor használata helyett választhatunk Ábrahám alakot, Minkowski alakot vagy mást. ${\mathbf {S}}\propto {\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}$ ${\mathbf {E}}\times {\mathbf {H}}$ ${\mathbf {D}}\times {\mathbf {B}}$