Lagrange-féle mechanika

A Lagrange -féle mechanika a klasszikus mechanika újrafogalmazása , amelyet Lagrange vezetett be 1788 -ban . A Lagrange-féle mechanikában egy objektum röppályáját úgy kapjuk meg, hogy megtaláljuk azt az utat, amely minimalizálja a cselekvést – ez a Lagrange-függvény integrálja az idő múlásával. A klasszikus mechanika Lagrange-függvényét a kinetikus energia és a potenciális energia közötti különbségként vezetik be .

Ez nagymértékben leegyszerűsíti számos fizikai problémát. Vegyünk például egy gyöngyöt a karikán. Ha a mozgást Newton második törvényével számítja ki, akkor egy összetett egyenletkészletet kell felírnia, amely figyelembe veszi a karikára ható összes erőt a gyöngy oldaláról minden pillanatban. A Lagrange-mechanika használatával ugyanezen probléma megoldása sokkal könnyebbé válik. Figyelembe kell venni a gyöngy minden lehetséges mozgását a karika mentén, és matematikailag meg kell találni azt, amely minimalizálja a műveletet. Itt kevesebb egyenlet van, mivel nem szükséges közvetlenül kiszámolni a karika gyöngyre gyakorolt hatását egy adott pillanatban. Igaz, ebben a feladatban csak egy egyenlet van, és az is levonható a mechanikai energia megmaradásának törvényéből.

A Lagrange-mechanika lényege

Lagrange és a legkisebb cselekvés elve

A mechanikai rendszert általánosított koordináták és általánosított sebességek jellemzik . A mechanikai rendszer a Lagrange-függvényhez kapcsolódik - Lagrange , az általánosított koordinátáktól és sebességektől függően, és esetleg közvetlenül az időben - . A Lagrange időintegrálját egy adott pályára akciónak nevezzük : $q$ ${\pont {q}}$ $L(q,{\pont {q}},t)$ $S$

S=\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}L(q,{\pont {q}}),t)dt

A Lagrange-féle mechanika mozgásegyenletei a legkisebb (stacionárius) cselekvés elvén alapulnak (Hamilton-elv) - a rendszer olyan pályán mozog, amely megfelel a minimális cselekvésnek (legalábbis a lehetséges pályák halmazának néhány kis szomszédságában). A stacionaritás azt jelenti, hogy a cselekvés nem változik az első kicsinységi sorrendben a pálya végtelenül csekély változásával, rögzített kezdő- és végpontokkal . Hamilton elve így írható fel $(q_{0},\;t_{0})$ $(q_{1},\;t_{1})$

\deltaS=0.

Minden ilyen pályát közvetlen útnak nevezünk két pont között. Az összes többi utat körkörösnek nevezzük .

Óvatosnak kell lennünk, és emlékeznünk kell arra, hogy a cselekvés első változatának nullával való egyenlősége csak a stacionaritást jelenti, de nem a cselekvés minimálisságát. Könnyen belátható, hogy a klasszikus mechanikában a cselekvési funkcionális nem tud maximális értéket felvenni, mivel egy részecske nagyobb sebességgel haladhatja meg ugyanazt az utat, miközben a mozgási energiája végig nagyobb lesz, és a potenciális energia nem változik. , vagyis a cselekvés nincs felülről korlátozva (ha nem szab meg sebességkorlátozást). Két pont azonban többféleképpen is összekapcsolható, amiben a cselekvés stacionárius értéket vesz fel. A legegyszerűbb példa egy pont szabad mozgása egy gömbön, amelyben végtelenül sok egyenlő módon lehet eljutni egy diametrálisan ellentétes ponthoz. Bonyolultabb esetek is lehetségesek, amikor a pontokat több közvetlen út köti össze, de a rajtuk végzett cselekvés értéke eltérő.

Egy pontot a pont konjugált kinetikai fókuszának nevezzük , ha több közvetlen út van a és -on keresztül. $M_{2}$ $M_{1}$ $M_{1}$ $M_{2}$

Szó szerinti értelemben a legkisebb cselekvés elve csak lokálisan érvényes. Mégpedig van

Bobylev -tétel [1] : a közvetlen pálya mentén végzett cselekvésnek akkor van a legkisebb értéke a körforgalomhoz képest, ha nincs konjugátum az íven lévő kinetikai fókuszhoz. $M_{1}M_{2}$ $M_{1}M_{2}$ $M_{1}$

A Hamilton-elvből a variációszámítás szerint haladva megkapjuk az Euler-Lagrange egyenleteket :

${\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0$

Ha bevezetjük a következő jelölést

$p={\frac {\partial L}{\partial {\pont {q))))$ - általánosított impulzusok

$F={\frac {\partial L}{\partial q))$ - általánosított erők

akkor az Euler-Lagrange egyenletek olyan formát öltenek

${\frac {dp}{dt}}=F$

Vagyis egy általánosított Newton második törvény formájában.

A rendszer Lagrange-át egy tetszőleges koordináta- és időfüggvény teljes időbeli deriváltjáig határozzuk meg. Egy ilyen függvény hozzáadása a Lagrange-hoz nem befolyásolja a mozgásegyenletek formáját.

Lagrange inerciális vonatkoztatási rendszerekben

A Lagrange egyik alapvetően fontos jellemzője a nem kölcsönható rendszerekre vonatkozó additívitás – a nem kölcsönható rendszerek halmazának Lagrange-ja egyenlő a Lagrangi-rendszereik összegével. A klasszikus mechanika másik fontos elve Galilei relativitáselmélete – a törvények azonossága a különböző inerciarendszerekben. Ezenkívül a tér homogenitásának és izotrópiájának, valamint az idő homogenitásának általános feltételezéseit használják. Ezek az elvek a Lagrange invarianciáját jelentik (a meghatározott bizonytalanságig) bizonyos transzformációk tekintetében.

Konkrétan egy tehetetlenségi keretben szabadon mozgó keret (anyagpont) esetében a tér és idő homogenitásának elveiből következik, hogy a Lagrange-nak csak a sebesség függvénye kell, hogy legyen. A tér izotrópiája azt jelenti, hogy a Lagrange csak a sebesség abszolút értékétől függ, és nem az iránytól, vagyis valójában . Ezután a relativitás elvét használjuk. A Lagrange-féle variáció . Ez a változás csak akkor lesz a teljes idő deriváltja, ha ebből azt kapjuk, hogy a Lagrange egyenesen arányos a sebesség négyzetével $L=L(v^{2})$ $\delta L={\frac {\partial L}{\partial v^{2))}2v\delta v$ ${\frac {\partial L}{\partial v^{2))}=konst$

$L={\frac {m}{2}}v^{2}$

A paraméter a mozgásegyenletekből kitűnik a részecske tömege, a Lagrange lényegében egyenlő a mozgási energiával. $m$

A mozgásegyenletekből tehát az következik, hogy a Lagrange-féle derivált a sebességre vonatkozóan állandó. De ez a származék a Lagrange alakja alapján egyenlő . Ezért egy inerciarendszerben szabadon mozgó részecske sebességvektora állandó (Newton első törvénye) $mv$

A Lagrange additivitásából az következik, hogy egy nem kölcsönható részecskék rendszerében a Lagrange egyenlő lesz

$L=\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}$

Kölcsönhatásban lévő részecskék zárt rendszere esetén ezt a Lagrange-t ki kell egészíteni a koordináták (és néha a sebességek) függvényével, ami a kölcsönhatás természetétől függ.

$L=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}-U(r_{1},r_{2},...,r_{n} )$

Egy külső mezőben lévő nyílt rendszer Lagrange-ja hasonló formával rendelkezik. Ebben az esetben a mező koordinátáinak és sebességeinek függvényeit adottnak tételezzük fel, így a Lagrange-mező kinetikai részét csak az idő függvényében hagyhatjuk figyelmen kívül. Ezért egy nagy rendszer (beleértve a külső mezőt is) Lagrange-át az adott rendszer Lagrange-rendszere plusz a rendszer koordinátáinak és sebességeinek térfüggvénye írja le, esetleg idő.

Egy külső mezőben lévő részecske esetén a Lagrange egyenlő lesz

$L=mv^{2}/2-U(r,t)$

Ebből könnyen levezethetőek a mozgásegyenletek

$m{\pont v}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}=F$

Ez Newton második törvénye

Megmaradási törvények (a mozgás integráljai)

A tér és az idő homogenitása és izotrópiája a leggyakrabban használt természetvédelmi törvényekhez - az ún. additív mozgásintegrálok.

Az energia megmaradásának törvénye

Az idő homogenitásából következik, hogy a Lagrange tehát nem függ közvetlenül az időtől

${\frac {dL}{dt))=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i))}{\dot {q_{i))}+\sum _{i }{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\ddot {q_{i}}}$

Az Euler-Lagrange egyenletek felhasználásával innen kapjuk

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{i}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q} }_{i))}\jobbra){\pont {q_{i}}}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\pont {q_{i}}}}} {\ddot {q_{i))}=\sum _{i}{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\pont {q))_{ i))}{\pont {q_{i))}\jobbra)$

Innen

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot { q_{i}}}-L\jobb)=0$

Így az érték

$E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i))}{\pont {q_{i))}-L=\sum _{i}p_ {i}{\pont {q_{i}}}-L$

a rendszer energiája nem változik az idő múlásával. Ez az energiamegmaradás törvénye.

Figyelembe véve a Lagrange formáját zárt rendszerre vagy egy külső mezőben elhelyezkedő rendszerre, ez egyenlő

$L=T(q,{\pont q})-U(q)$

ahol a sebességek homogén másodfokú függvénye, akkor a homogén függvényekre vonatkozó Euler-tétel alapján megkapjuk $T(q,{\pont q})$

$E=2T-(TU)=T+U$

Így a rendszer energiája két összetevőből áll - a kinetikus energiából és a potenciálból.

A lendület megmaradásának törvénye

A tér homogenitása a Lagrange invarianciáját jelenti a párhuzamos fordításokhoz képest. Megvan a Lagrange-féle variáció

$\delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\delta \mathbf {r} _{i}=\left( \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\right)\delta \mathbf {r} =0$

Mivel önkényes, megvan $\delta {\mathbf {r}}$

$\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i)}=0$

Ez az arány, figyelembe véve az általánosított erő bevezetett fogalmát, azt jelenti, hogy az erők vektoros összege egyenlő nullával (két test esetében - a cselekvés egyenlő a reakcióval - Newton harmadik törvénye).

Ha ezt az egyenlőséget behelyettesítjük az Euler-Lagrange egyenletekbe, azt kapjuk

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\ jobb)=0$

Ezért a zárójeles kifejezés

$P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}} _{én}$

amely egy impulzusnak nevezett vektormennyiség, az időben megmarad. Ez a lendület megmaradásának törvénye.

A részecskék rendszerének lendületmaradásának törvénye úgy fogalmazható meg, mint a rendszer súlypontjának mozgásának egyenletessége és egyenessége.

A szögimpulzus megmaradásának törvénye

A tér izotrópiája egy zárt mechanikai rendszer Lagrange-rendszerének invarianciáját jelenti a forgások tekintetében. Ha az infinitezimális forgásvektort a csavarszabály szerint határozzuk meg , akkor a sugárvektor és a sebességvektor változása megegyezik a forgásvektor, illetve a sugárvektor vagy sebességvektor vektorszorzatával: $\delta {\mathbf {\phi ))$

$\delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}]$ , $\delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]$

A Lagrange változatlansága azt jelenti

$\delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\delta \mathbf {r} _{i}+ {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i))}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\ pont {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0$

Ha itt behelyettesítjük a sugárvektor és a sebességvektor változásainak kifejezéseit, a következőt kapjuk:

$\sum _{i}\left({\pont {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\pont {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \ phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0$

A forgásvektor önkényességét figyelembe véve végre írhatunk

${\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0$

Ez azt jelenti, hogy a vektormennyiség

${\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]$

meg van mentve. Ezt a mennyiséget szögimpulzusnak vagy egyszerűen nyomatéknak nevezzük .

A Lagrange-egyenletek származtatása a newtoni mechanikából

Tekintsünk egyetlen tömeg- és sugárvektorú részecskét . Feltételezzük, hogy az erőtér , amelyben és amelynek hatására mozgást végez, egy skaláris függvény - potenciális energia - gradienseként fejezhető ki (ezt a feltételt például gravitációs és elektromos mezők teljesítik, és nem mágneses mezők által): $m$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {F}$ $V({\mathbf {r)),\;t)$

{\mathbf {F}}=-\nabla V.

Egy ilyen erő nem függ a deriváltoktól , így Newton második törvénye 3 másodrendű közönséges differenciálegyenletet alkot. Egy részecske mozgása teljesen leírható három független változóval, amelyet szabadsági fokoknak nevezünk . A változók nyilvánvaló halmaza (derékszögű komponensek egy adott időpontban). $\mathbf {r}$ $\{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}$ $\mathbf {r}$

Általánosítva dolgozhatunk általánosított koordinátákkal , , és ezek deriváltjaival, általánosított sebességekkel . A sugárvektort valamilyen transzformációs egyenlettel kapcsoljuk össze az általánosított koordinátákkal: $q_{j}$ $q'_{j}$ $\mathbf {r}$

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,

ahol a rendszer szabadságfokainak száma. $N$

Például egy hosszúságú matematikai inga síkbeli mozgása esetén az általánosított koordináta logikai megválasztása a felfüggesztés függőlegesétől való eltérés szöge lesz, amelyre a transzformációs egyenletek alakja $l$ $\theta$

{\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).

Az általánosított koordináták kifejezés abból az időszakból maradt fenn, amikor a derékszögű koordináták voltak az alapértelmezett koordinátarendszer.

Tekintsünk egy tetszőleges részecskeeltolódást. Az alkalmazott erő által végzett munka egyenlő: . Newton második törvényét használva ezt írjuk: $\delta {\mathbf {r}}$ $\mathbf {F}$ $\delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}$

m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.

Írjuk át ezt az egyenletet általánosított koordinátákkal és sebességekkel. Az egyenlőség jobb oldalán,

{\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle { \partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{ i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{mátrix}}

Az egyenlőség bal oldala bonyolultabb, de néhány permutáció után a következőt kapjuk:

m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}=\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_ {i}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i},

hol van a részecske mozgási energiája. A munka egyenlete az űrlapba lesz írva $T={\frac {m}{2}}{{\pont {{\mathbf {r}}}}}^{2}$

\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\pont q}_{i}}}-{\partial {(TV)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}=0.

Ennek a kifejezésnek igaznak kell lennie minden változtatásra , tehát $\delta q_{i}$

\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot q}_{i}}}-{\partial {(TV)} \over \partial q_{i}}\ jobbra]=0

minden általánosított koordinátához . Ezt a kifejezést tovább egyszerűsíthetjük, ha megjegyezzük, hogy csak és függvénye , valamint általánosított koordináták és függvénye . Ekkor nem függ az általánosított sebességektől: $\delta q_{i}$ $V$ $\mathbf {r}$ $t$ $\mathbf {r}$ $t$ $V$

{d \over dt}{\partial {V} \over \partial {{\pont q}_{i))}=0.

Ezt beillesztve az előző egyenletbe és lecserélve Lagrange egyenleteit kapjuk : $L = TV$

{\partial {L} \over \partial q_{i}}={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {{\dot q}_{i}}}.

Csakúgy, mint a Newton-egyenletek, a Lagrange-egyenletek is másodrendű egyenletek, amint az levezetésükből következik. Minden általánosított koordinátához tartozik egy Lagrange-egyenlet . Amikor (azaz az általánosított koordináták csak derékszögű koordináták), könnyen ellenőrizhető, hogy a Lagrange-egyenletek Newton második törvényére redukálódnak. $q_{i}$ $q_{i}=r_{i}$

A fenti levezetés általánosítható részecskék rendszerére. Ezután általánosított koordináták lesznek a pozíciókoordinátákhoz transzformációs egyenletekkel társítva. Mindegyik Lagrange-egyenletben szerepel a rendszer teljes kinetikus energiája és a teljes potenciális energia. $N$ $3N$ $3N$ $3N$ $T$ $V$

A gyakorlatban gyakran könnyebb megoldani egy problémát az Euler-Lagrange egyenletekkel , nem pedig a Newton-törvényekkel, mivel a megfelelő általánosított koordináták kiválaszthatók a probléma szimmetriájának figyelembevételére. $q_{i}$

Problémapéldák

1. feladat. Tekintsünk egy pontszerű tömeggyöngyöt, amely súrlódás nélkül mozog egy rögzített függőleges gyűrű mentén. A rendszernek egy szabadságfoka van. Koordinátaként válasszuk meg a gyöngyre irányuló sugár gravitációs vektortól való eltérési szögét . A mozgási energia a formába lesz írva $m$ $\varphi$ $m{\vec {g}}$

T={\frac {mr^{2}{\dot \varphi }^{2}}{2}},

a potenciális energia pedig az

U=-mgr\cos\varphi .

Lagrange funkció ehhez a rendszerhez

L=TU={\frac {mr^{2}{\dot \varphi }^{2}}{2}}+mgr\cos \varphi .

A Lagrange-egyenletek a következő formában lesznek:

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \varphi }}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}={\frac { d}{dt))(mr^{2}{\pont \varphi })+mgr\sin \varphi =mr^{2}{\ddot \varphi }+mgr\sin \varphi =0.

Ezt az egyenletet úgy is megkaphatjuk, ha a mechanikai energia megmaradásának törvényét az idő függvényében differenciáljuk. Kis szögeknél a szög szinusza magával a szöggel egyenlő: . Ebben az esetben megkapjuk $\varphi$ $\sin \varphi \approx \varphi$

mr^{2}{\ddot \varphi }=-mgr\,\varphi

vagyis

{\ddot \varphi }=-{\frac {g}{r}}\,\varphi

Ez a differenciálegyenlet a Newton-féle mozgásegyenletekből ismert, és van megoldása

\varphi (t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t

ahol az állandók és a kezdeti feltételektől függenek, és $A$ $B$ $\omega ={\sqrt {{\frac {g}{r))))$

2. feladat Tekintsünk egy pontszerű tömeggyöngyöt, amely súrlódás nélkül mozog a függőleges tengelye körül állandó szögsebességgel forgó függőleges gyűrű mentén . A rendszernek egy szabadságfoka van. Koordinátaként válasszuk meg a gyöngyre irányuló sugár gravitációs vektortól való eltérési szögét . A mozgási energia a formába lesz írva $m$ $\omega$ $\varphi$ $m{\vec {g}}$

T={\frac {m}{2}}(r^{2}{\pont \varphi }^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\pont \theta} ^{2}),

hol a gyűrű forgásszöge. A potenciális energia az $\theta$

U=-mgr\cos\varphi .

Lagrange funkció ehhez a rendszerhez

L=TU={\frac {m}{2}}(r^{2}{\pont \varphi }^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\pont \ theta }^{2})+mgr\cos\varphi .

A Lagrange-egyenletek a következő formát öltik:

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }} ={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\pont {\varphi }})-mr^{2}\sin \varphi \cos \varphi \,{\dot {\theta }} ^{2}+mgr\sin \varphi =mr^{2}{\ddot {\varphi }}-{\frac {mr^{2}\omega ^{2}}{2}}\sin 2\varphi +mgr\sin\varphi=0,

mivel az idő adott függvénye (nem általánosított koordináta). $\theta =\theta _{0}+\omega t$

3. feladat Ha a gyűrű forgási sebességét nem adnánk meg, hanem a rendszer mozgása határozná meg (mondjuk egy súrlódás nélkül forgó fénygyűrű), akkor egy Lagrange-egyenlet helyett kettőt kapnánk (egyenletek ill . számára ): $\varphi$ $\theta$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \varphi }}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0,\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \theta }}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta }}=0,

mr^{2}{\ddot {\varphi }}-{\frac {mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}\sin 2\varphi +mgr \sin \varphi =0,\quad {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\pont {\theta }})=0.

Ezeket az egyenleteket úgy is megkaphatjuk, hogy az idő függvényében megkülönböztetjük a mechanikai energia megmaradásának törvényét és a szögimpulzus megmaradásának törvényét.

Relativisztikus Lagrange-mechanika

A relativitáselmélet alapvető posztulátuma - a fénysebesség állandósága minden inerciarendszerben egy s intervallumnak nevezett invariáns értékhez vezet , amely egy specifikus mérőszám a négydimenziós téridőben:

$s^{2}=c^{2}t^{2}-{\mathbf {x}}^{2}$

Egy tetszőlegesen (tehát nem feltétlenül egyenletesen és egyenes vonalúan) mozgó rendszer esetén végtelenül kicsiny időintervallumot vehetünk figyelembe, amely alatt a mozgás egységesnek tekinthető. Tegyen meg egy mozgó objektumot dx távolságot egy időintervallumban egy álló óra szerint. Ekkor az intervallumra megkapjuk a kifejezést $dt$

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}=c^{2}dt^{2}(1-dx^{2}/c^{2}dt^{ 2})=c^{2}dt^{2}(1-v^{2}/c^{2})$

Következésképpen,

$ds=cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Integrációt kapunk

$S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Ezért, ha egy relativisztikus részecske Lagrange-át a sebesség integrandusával arányosnak fogadjuk el, akkor a jelzett integrál cselekvésinvariáns lesz az inerciarendszerekhez képest.

A klasszikus mechanikával való egybeesés miatt kis sebességeknél egy szabad relativisztikus részecske Lagrange-ja egy inerciarendszerben végső soron egyenlő

$L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Ennek megfelelően a relativisztikus momentum egyenlő

${\mathbf {p}}={\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v ^{2}/c^{2}}}}}}$

relativisztikus energia az

$E={\mathbf {pv}}-L={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Látható, hogy a részecske nulla sebességnél is rendelkezik energiával (ellentétben a klasszikus mechanikával), amit nyugalmi energiának nevezünk.

Innen könnyű megszerezni az energia és a lendület közötti relativisztikus összefüggést

$E^2=p^2c^2+m^2c^4$

Lagrange formalizmus a mezőelméletben

A térelméletben egy mechanikai rendszer részecskéinek Lagrang-sűrűségének összegét az úgynevezett Lagrange-sűrűség egy bizonyos tértérfogatán lévő integrállal helyettesítik (a térelméletben a Lagrang-sűrűséget néha Lagrange-sűrűségnek is nevezik):

$L=\int _{V}{\mathcal {L}}d^{3}r$

Ennek megfelelően az akció az

$S=\int _{{t_{0}}}^{{t}}\int _{V}{\mathcal {L}}d^{3}rdt=\int _{X}{\mathcal {L }}d^{4}x$

ahol az utolsó képlet a négydimenziós téridő feletti integrációt feltételezi.

Feltételezzük, hogy a Lagrange-sűrűség nem függ közvetlenül a koordinátáktól, hanem a mezőfüggvénytől és annak első deriváltjaitól. Az Euler-Lagrange egyenletek ebben az esetben a következőképpen alakulnak:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u_{a}(x)))-\partial _{{\nu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L }}}{\partial (\partial _{{\nu }}u_{a}(x)))}}\right)=0$

A Lagrange-mechanika kiterjesztései

A Hamilton-féle, jelölése , a Lagrange-függvény Legendre-transzformációinak végrehajtásával érhető el . A Hamilton-féle a klasszikus mechanika egy alternatív megfogalmazásának alapja, amelyet Hamiltoni mechanikaként ismerünk . Ez a függvény különösen gyakori a kvantummechanikában (lásd Hamilton (kvantummechanika) ). $\mathbf {H}$

1948- ban Feynman feltalálta az út integrál megfogalmazását , és kiterjesztette a legkisebb cselekvés elvét a kvantummechanikára. Ebben a megfogalmazásban a részecskék minden lehetséges útvonalon haladnak a kezdeti és a végső állapotok között ; egy bizonyos végállapot valószínűségét az összes lehetséges hozzá vezető pálya összegzésével (integrálásával) számítjuk ki. Klasszikus esetben az útintegrál megfogalmazása teljesen reprodukálja Hamilton elvét.

Klasszikus művek

Lagrange J. Analitikai mechanika, 1. kötet. - M.-L.: GITTL, 1950.
Lagrange J. Analitikai mechanika, 2. kötet. - M.-L.: GITTL, 1950.
A mechanika variációs elvei. A tudomány klasszikusainak cikkgyűjteménye. Szerkesztette: Polak L. S. - M .: Fizmatgiz, 1959.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Bobylev D.K. Hamilton vagy Ostrogradsky elején és a legkisebb Lagrange-akció elején / Függelék az LXI Zap. Ak. Tudományok. - Szentpétervár. , 1889.

Irodalom

Gantmakher F. R. Előadások az analitikai mechanikáról: Tankönyv középiskoláknak / Szerk. E. S. Pjatnyickij . - 3. kiadás — M .: Fizmatlit , 2005. — 264 p. — ISBN 5-9221-0067-X .
Goldstein H. Klasszikus mechanika. — 2. kiadás. - Addison-Wesley, 1980. - pp. 16.
A Moon FC alkalmazott dinamikáját többtestű és mechatronikai rendszerekre is alkalmazza. - Wiley, 1998. - pp. 103-168.

Linkek

Rychlik, Marek. " Lagrange- és Hamiltoni mechanika – egy rövid bevezetés "
Tong, David. Klasszikus dinamika előadások a Cambridge-i Egyetemen
Aslanov V. S., Timbay I. A. Merev testmozgás az általánosított Lagrange-ügyben