A legenda átalakulása

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 30-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Legendre-transzformáció egy adott függvényre egy függvény felépítése, amely a Young duál. Ha az eredeti függvény egy vektortéren volt definiálva, akkor annak Legendre transzformációja a duális térben definiált függvény lesz , azaz a téren lévő lineáris funkcionálisok terén . $f(x)$ $f^{*}(p)$ $V$ $V^*$ $V$

Motiváció

A lehetséges motiváció kevésbé általános definícióként is kifejezhető. A Legendre transzformáció egy függvény és egy változó behelyettesítése, amelyben a régi deriváltot veszik új változónak, és a régi változót veszik új deriváltnak.

Kifejezés a differenciálhoz

df(x)=f'(x)\,dx

amiatt, hogy , alakba írható $d(xf')=f'\,dx+x\,df'$

d(xf'-f)=x\,df'.

Ha most ezt elfogadjuk

F=xf'-f,\quad y=f'(x),

ami tehát a Legendre transzformáció ${\megjelenítési stílus (f,x)\to (F,y)}$

dF(y)=F'(y)\,dy,\quad x=F'(y).

Ebben az esetben az új változó egyenlő a régi deriválttal, a régi változó pedig az új deriválttal: $y$ $x$

y=f'(x),\quad x=F'(y).

A definíciók előjelben eltérhetnek . Ha egynél több forrásváltozó van, a Legendre-transzformáció bármelyik részhalmazon végrehajtható. $F$ $x$

Definíció

Analitikai meghatározás

Egy vektortér részhalmazán definiált függvény Legendre transzformációja a duális tér egy részhalmazán a képlettel definiált függvény $f$ $M$ $V$ $f^{*}$ $M^*$ $V^*$

f^{*}(p)=\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )},\quad p\in M ^{*}=\left\{p:\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )}<\infty \right\},

ahol a lineáris függvény értéke a vektoron . Hilbert tér esetén a szokásos skalárszorzat . -ban definiált differenciálható függvény speciális esetben az adjunkt függvényre való áttérés a képletek szerint történik. $\langle p,x\rangle$ $p$ $x$ $\langle p,x\rangle$ ${\mathcal R}^{n}$

f^{*}(p)=\langle p,x\rangle -f(x),\quad p={\frac {\partial f}{\partial x))=\operátornév {grad} f ,

és a második egyenletből ki kell fejezni . $x$ $p$

Geometriai érzék

Egy konvex függvény epigráfja egy konvex zárt halmaz , amelynek határa a függvény grafikonja . A függvény epigráfjának támasztóhipersíkjainak halmaza a definíció természetes tartománya a Legendre-transzformációjával , ha az epigráf támasztó hipersíkja (esetünkben érintője), akkor a tengelyt egyetlen pontban metszi. Mínusz előjellel vett -koordinátája a függvény értéke . $f(x)$ $\operátornév {epi} f=\{(x,y)\mid y\geqslant f(x)\}$ $f(x)$ $f(x)$ $f^{*}(p).$ $p$ $y$ $y$ $f^{*}(p)$

A megfeleltetés abban a tartományban van egyedileg definiálva, ahol a függvény differenciálható . Ekkor a gráf érintősíkja a pontban . Az inverz megfeleltetés akkor és csak akkor van egyértelműen definiálva, ha a függvény szigorúan konvex. Ebben az esetben a referencia hipersík egyetlen érintkezési pontja a függvény grafikonjával $x\to p$ $f(x)$ $p$ $f(x)$ $x$ $p\to x$ $f(x)$ $x$ $p$ $f(x).$

Ha a függvény differenciálható és szigorúan konvex, akkor egy megfeleltetést definiálunk, amely a függvény differenciálját a pontban lévő hipersíkhoz rendeli . Ez a megfeleltetés egy az egyhez, és lehetővé teszi, hogy a függvény definíciós tartományát átvigyük a kovektorok terébe, amelyek a függvény differenciáljai . $f(x)$ $p(x)\leftrightarrow df(x),$ $p$ $f(x)$ $x$ $f^{*}(p)$ $V^{*},$ $f(x)$

Egy tetszőleges nem konvex függvény általános esetben a Legendre-transzformáció geometriai jelentése megmarad. A támaszelv értelmében az epigráf konvex héja az összes támaszhipersík által meghatározott félterek metszéspontja , így a Legendre-transzformációhoz csak az epigráf konvex burka lényeges . Így egy tetszőleges függvény esete könnyen redukálódik egy konvex esetére. A függvénynek nem is kell differenciálhatónak vagy folytonosnak lennie, a Legendre transzformációja továbbra is konvex alsó félfolyamatos függvény lesz. $\varphi$ $\varphi$

Tulajdonságok

Fenchel-Moro tétel : egy reflexív téren definiált megfelelő konvex alsó félfolyamatos f függvényhez a Legendre-transzformáció involúciós , azaz . Könnyen belátható, hogy ha az f függvény konvex lezárása a g függvény , akkor f * = g *. Ez azt jelenti, hogy egy nem konvex függvény esetében, amelynek konvex zárása sajátfüggvény, $f^{{**}}(x)=f(x)$ $f^{**}(x)=\operátornév {\overline {co)) f(x)$ , ahol az f függvény konvex lezárása . $\operatorname {\overline {co}} f$
A Young-Fenchel egyenlőtlenség közvetlenül következik az analitikai definícióból : $f(x)+f^{*}(p)\geqslant \langle p,x\rangle$ , és az egyenlőség csak akkor érhető el, ha p = F ́( x ). (Gyakran Young-egyenlőtlenség egy speciális esete ennek az egyenlőtlenségnek egy függvényre , a > 1.) $F(x)=x^{a}/a$
A variációszámításban (és az arra épülő Lagrange-mechanikában ) a Legendre-transzformációt általában változóban alkalmazzák a cselekvés Lagrangianusaira . A Lagrange-kép a H ( t , x , p ) cselekvés Hamilton -képévé válik , és az optimális pályákra vonatkozó Euler-Lagrange-egyenletek Hamilton-egyenletekké alakulnak . $L(t,x,{\pont {x)))$ ${\pont {x}}$
Azzal a ténnyel , hogy könnyen kimutatható . $p=\nabla _{x}f$ $\nabla _{p}f^{*}(p)=-x$

Példák

Power függvény

Tekintsük a -n definiált ( , ) függvény Legendre-transzformációját . Páros n esetén figyelembe vehetjük . $f(x)=x^{n}$ $n>0$ $n\neq 1$ $\mathbb {R^{+}}$ $\mathbb {R}$

p(x)={\frac {df}{dx}}=n\cdot x^{n-1}.

Innen kifejezzük , kapjuk $x=x(p)$

x(p)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {1}{n-1}}.

Összességében megkapjuk a Legendre transzformációt a hatványfüggvényhez :

f^{*}(p)=px-f(x)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {n}{n-1}}\cdot (n-1).

Könnyen ellenőrizhető, hogy az ismételt Legendre-transzformáció adja az eredeti funkciót . $f(x)$

Sok változó függvénye

Tekintsünk sok változó függvényét, amely a következő alak terében van definiálva: $\mathbb {R} ^{n}$

f(x)=\langle x,Ax\rangle +c.

$A$ valós, pozitív határozott mátrix, konstans. Először is győződjünk meg arról, hogy az a kettős tér, amelyen a Legendre transzformációt definiáljuk, egybeesik a -val . Ehhez meg kell győződnünk arról, hogy a függvény szélsőértéke létezik . $c$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\phi =\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c$

\nabla _{x}\phi =p-2Ax,

\nabla _{x}\nabla _{x}\phi =-2A.

A mátrix pozitív meghatározottsága miatt azt kapjuk, hogy a szélsőpont a maximum. Így mindegyikhez van egy felsőbbség . A Legendre transzformáció kiszámítása közvetlenül történik: $A$ $p$

f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.

Alkalmazások

Hamiltoni mechanika

A Lagrange-féle mechanikában a rendszert a Lagrange függvény írja le. Egy tipikus probléma esetén a Lagrange függvény így néz ki:

L(q,u)={\frac {1}{2}}\langle u,Mu\rangle -V(q),

${\displaystyle (q,u)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n))$ , a szabványos euklideszi ponttermékkel. A mátrixot valósnak, pozitív határozottnak tekintjük. Abban az esetben, ha a Lagrange nem degenerált sebességben, azaz $M$

p=\nabla _{u}L(q,u)\neq 0,

elvégezheti a Legendre-transzformációt sebességek alapján, és kaphat egy új Hamilton-függvényt:

H(p,q)=pq'-L={\frac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).

Termodinamika

A termodinamikában nagyon gyakran sokféle termodinamikai függvény létezik , amelyek különbsége a legáltalánosabb esetben így néz ki.

dL=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz+\ldots

Például a belső energia különbsége így néz ki:

dE=T\,dS-P\,dV.

Az energiát itt a változók függvényében mutatjuk be . Az ilyen változókat természetesnek nevezzük. Például a szabad energiát a belső energia Legendre transzformációjaként kapjuk: $S,V$

F=E-TS,

dF=-S\,dT-P\,dV.

Általában, ha függvényről függvényre akarunk menni , akkor a Legendre transzformációt kell végrehajtanunk: $L=L(x,y,z,\ldots )$ $L=L(X,y,z,\ldots )$

L(X,y,z,\ldots )=L-xX,

dL(X,y,z,\ldots )=-x\,dX+Y\,dy+Z\,dz+\ldots

Mezőelmélet. Legendre funkcionális transzformáció

A kvantumtérelméletben nagyon gyakran használják a Legendre-féle funkcionális transzformációt. A kezdeti objektum a csatlakoztatott Green függvényei, melyeket jelöl , ahol néhány külső mező található. A következő függvényt Legendre transzformációnak nevezzük az A mezőn [1] : $W(A)$ $A$

\Gamma (\alpha )=W{\big (}A(\alpha ){\big )}-\int dx\cdot \alpha A.

Az integrációs jelet általában nem írják le. a következő kifejezés határozza meg [1] : $\alpha$

\alpha (x)={\frac {\delta {W}}{\delta {A(x)))},

$\delta$ variációs deriváltját jelenti . A variációs derivált tulajdonságát felhasználva könnyen származtatható a következő és összekötő összefüggés . Igazán: $W$ $\Gamma$

\delta (xy)={\frac {\delta A(x)}{\delta A(y)))=\int dz\,{\frac {\delta A(x)}{\delta \ alfa (z))){\frac {\delta \alpha (z)}{\delta A(y)))=-\int dz\,{\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}{\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y))).

Más szóval, a funkcionálisok és az előjelig inverzek egymással. Szimbolikusan ez a következőképpen van leírva: $W_{2}={\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)))$ $\Gamma _{2}={\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)))$

W_{2}\cdot \Gamma _{2}=-1.

Jegyzetek

↑ 1 2 Vasziljev A. N. Funkcionális módszerek a kvantumtérelméletben és a statisztikában. - Leningrád, 1976. - S. 81. - 295 p.

Irodalom

Polovinkin E. S. , Balashov M. V. A konvex és erősen konvex elemzés elemei Archivált 2022. április 1-én a Wayback Machine -nél . — M.: FIZMATLIT, 2004. — 416 p. — ISBN 5-9221-0499-3 .
Vasziljev A. N. A kvantumtérelmélet és -statisztika funkcionális módszerei. - 1976. - 295 p.