Euler-Lagrange egyenlet

Az Euler-Lagrange egyenletek (a fizikában a Lagrange-Euler egyenletek , vagy a Lagrange egyenletek is) a variációszámítás alapképletei , amelyek segítségével a funkcionális stacionárius pontokat és szélsőségeket keresik . Ezeket az egyenleteket különösen széles körben használják optimalizálási feladatokban, és a cselekvési stacionaritás elvével együtt a mechanikában a pályák kiszámítására használják. Az elméleti fizikában általában ezek a (klasszikus) mozgásegyenletek abban az összefüggésben, hogy a cselekvés egy kifejezetten írott kifejezéséből származtatják őket ( a Lagrange -féle ).

Az Euler-Lagrange egyenletek használata egy függvény szélsőértékének megtalálására bizonyos értelemben hasonló a differenciálszámítás tételéhez, amely azt állítja, hogy csak azon a ponton lehet sima függvény, ahol a függvény első deriváltja eltűnik. extrémum (vektor argumentum esetén a függvény gradiense nullával egyenlő, azaz derivált a vektor argumentumhoz képest). Pontosabban, ez a megfelelő képlet közvetlen általánosítása a funkcionálisok esetére – egy végtelen dimenziós argumentum függvényei.

Az egyenleteket Leonhard Euler és Joseph-Louis Lagrange vezette le az 1750 -es években .

Megfogalmazás

Legyen a funkcionális

J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx

a sima függvények terén , ahol az első deriváltot jelöli a függvényhez képest . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $f'$ $f$ $x$

Tegyük fel, hogy a , integrandusnak vannak folytonos első parciális deriváltjai . A függvényt Lagrange-függvénynek vagy Lagrange -függvénynek nevezik . $F(x,f(x),f'(x))$ $F$

Ha a függvény valamilyen függvényen végpontot ér el , akkor a közönséges differenciálegyenletnek teljesülnie kell rá $J$ $f$

{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F}{\partial f'))=0,

amelyet Euler-Lagrange egyenletnek neveznek .

Példák

Tekintsünk egy szabványos példát: keressük meg a legrövidebb utat egy síkon két pont között. A válasz nyilvánvalóan az ezeket a pontokat összekötő szakasz. Próbáljuk meg megszerezni az Euler-Lagrange egyenlet segítségével, feltételezve, hogy a legrövidebb út létezik, és egy sima görbe .

Legyen az összekapcsolandó pontok koordinátái és . Ekkor a pontokat összekötő út hosszát a következőképpen írhatjuk fel: ${\megjelenítési stílus (a,c)}$ ${\megjelenítési stílus (b,d)}$ $y(x)$

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.

Ennek a függvénynek az Euler-Lagrange egyenlete a következő:

{\frac d{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}} =0,

honnan kapjuk azt

{\frac {dy}{dx}}=C\Rightarrow y=Cx+D.

Így kapunk egy egyenest. Tekintettel arra, hogy , , azaz áthalad az eredeti pontokon, a helyes választ kapjuk: a pontokat összekötő egyenes szakasz. $y(a)=c$ ${\megjelenítési stílus y(b)=d}$

Többdimenziós variációk

Az Euler-Lagrange egyenleteknek számos többdimenziós változata is létezik.

Ha egy út a -dimenziós térben, akkor szélsőséget ad a funkcionálisnak $q(t)$ $n$

J=\int \limits _{{t1}}^{{t2}}L(t,q(t),q'(t))\,dt

csak ha megfelel a feltételnek

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0

\forall k=1,2,\dots n

Fizikai alkalmazásokban mikor van egy Lagrange -féle (vagyis valamilyen fizikai rendszer Lagrange-ja; vagyis ha J egy cselekvés az adott rendszerre), ezek az egyenletek egy ilyen rendszer (klasszikus) mozgásegyenletei. Ez az állítás közvetlenül általánosítható a végtelen dimenziós q esetére . $L$

Egy másik többváltozós általánosítást a változók függvényének figyelembevételével kapunk. Ha van valamilyen (jelen esetben n - dimenziós) felület, akkor $n$ $\Omega$

J=\int \limits _{{\Omega }}L(f,x_{1},\pontok ,x_{n},f_{{x_{1}}},\pontok ,f_{{x_{n} }})\,d\Omega ,

hol vannak független koordináták, , , $x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\pontok ,x_{n}$ $f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\pontok ,x_{n})$ $f_{{x_{i))}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i))}$

csak akkor ad extrémumot, ha az teljesíti a parciális differenciálegyenletet $f$

{\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{{i=1}}^{{n}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{{x_{i))))}=0.

Ha és az energia funkcionális, akkor ezt a problémát "a szappanfilm felületének minimalizálásának" nevezik. $n=2$ $L$

A fent leírt két eset kézenfekvő kombinációját használjuk az elosztott rendszerek mozgásegyenleteihez, mint például a fizikai mezők, rezgő húrok vagy membránok stb.

Konkrétan, az előző bekezdésben példaként megadott szappanfilm statikus egyensúlyegyenlete helyett ebben az esetben egy ilyen film dinamikus mozgásegyenlete van (ha természetesen sikerült kezdetben felírnunk az érte való cselekvés, vagyis a kinetikus és potenciális energia).

Történelem

Az Euler-Lagrange egyenletet az 1750 -es években kapták meg Euler és Lagrange az izokrón feladat megoldása során. Ez annak a görbének a meghatározásának problémája, amelyet egy nehéz részecske meghatározott idő alatt egy fix pontra visz, függetlenül a kezdőponttól.

Lagrange 1755 -ben megoldotta ezt a problémát, és elküldte Eulernek. A később kifejlesztett Lagrange-módszer és annak mechanikai alkalmazása vezetett a Lagrange-féle mechanika megfogalmazásához . A tudósok levelezése vezetett a variációszámítás megalkotásához (a kifejezést Euler javasolta 1766 -ban ).

Bizonyítás

Az egydimenziós Euler-Lagrange egyenlet levezetése a matematika egyik klasszikus bizonyítása. A variációszámítás fő lemmáján alapul .

Olyan függvényt akarunk találni, amely kielégíti a peremfeltételeket , és egy extrémumot szállít a függvénynek $f$ $f(a)=c$ $f(b)=d$

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.

Tegyük fel, hogy ennek folytonos első deriváltjai vannak. Gyengébb feltételek is elegendőek, de az általános eset bizonyítása bonyolultabb. $F$

Ha extrémumot ad a funkcionálisnak és teljesíti a peremfeltételeket, akkor minden gyenge perturbációnak , amely megőrzi a peremfeltételeket, növelnie kell az értéket (ha minimalizálja), vagy csökkentenie (ha maximalizálja). $f$ $f$ $J$ $f$ $J$ $f$

Legyen bármilyen differenciálható függvény, amely kielégíti a feltételt . Határozzuk meg $\eta (x)$ $\eta (a)=\eta (b)=0$

J(\varepsilon )=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x)) \,dx.

ahol egy tetszőleges paraméter. $\varepsilon$

Mivel extrémumot ad , akkor , azaz $f$ $J(0)$ $J'(0)=0$

J'(0)=\int \limits _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f))+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\,dx=0.

A második tagot részenként integrálva azt találjuk

0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F} {\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{ b}.

A peremfeltételek felhasználásával megkapjuk $\eta$

0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F} {\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.

Innen, mivel - bármelyik, az Euler-Lagrange egyenlet következik: $\eta (x)$

{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0.

Ha nem vezetünk be peremfeltételeket a -n, akkor a transzverzális feltételek is szükségesek: $f(x)$

{\frac {\partial F}{\partial f'}}(a,f(a),f'(a))=0

{\frac {\partial F}{\partial f'}}(b,f(b),f'(b))=0

Általánosítás a magasabb származékok esetére

A Lagrange függhet az elsőnél magasabb rendű származékoktól is. $f$

Adjuk meg azt a funkcionálist, amelynek szélsőértéke megtalálható a következő formában:

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x),f''(x),...,f^{{(n)}}( x))\,dx.

Ha peremfeltételeket szabunk a deriváltjaira és a származékaira a sorrendet bezárólag, és azt is feltételezzük, hogy [1] sorrendű folytonos parciális deriváltjai vannak , akkor a részenkénti integráció többszöri alkalmazásával levezethetjük az Euler analógját. - Lagrange egyenlet erre az esetre is: $f$ $n-1$ $F$ $2n$

{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F}{\partial f'))+{\frac {d^{2} }{dx^{2))}{\frac {\partial F}{\partial f''}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^ {n}}}{\frac {\partial F}{\partial f^{{(n))))))=0.

Ezt az egyenletet gyakran Euler-Poisson egyenletnek nevezik .

Két, egy teljes deriválttal eltérő Lagrangián ugyanazt a differenciálegyenletet adja, de ezekben a lagrangiekben a deriváltak maximális sorrendje eltérő lehet. Például, . Az extrémum differenciálegyenletének meghatározásához elegendő a „közönséges” Euler-Lagrange egyenletet alkalmazni a -ra, és -re , mivel ez a második deriválttól függ, az Euler-Poisson egyenletet kell használni a megfelelő taggal: $L_{1}=(f^{\prím }(x))^{2}~,~L_{2}=-f(x)f^{{\prím \prím }}(x)~,~L_ {1}-L_{2}={\frac {d}{dx}}(f(x)f^{\prím }(x))$ $L_{1}$ $L_{2}$

{\frac {\partial L_{1}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{1}}{\partial f'}}=-2f^ {{\prime \prime ))(x),

{\frac {\partial L_{2}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f^({\prime \prime }}}}=-2f^{{\prime \ prím}}(x),

és mindkét esetben ugyanazt a differenciálegyenletet kapjuk . $-2f^{{\prime \prime }}(x)=0$

Jegyzetek

↑ A. M. Denisov, A. V. Razgulin. Közönséges differenciálegyenletek (orosz) ? . Letöltve: 2021. június 11. Az eredetiből archiválva : 2021. június 11. (határozatlan)

Irodalom

Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Optimális szabályozás. - M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria: Módszerek és alkalmazások. - M.: Nauka, 1979
Elsgol'ts LE differenciálegyenletek és a variációszámítás. — M.: Nauka, 1969.
Zelikin M. I. Homogén terek és a Riccati-egyenlet a variációszámításban, - Factorial, Moszkva, 1998.
Zelikin M. I. Optimális szabályozás és variációszámítás, - URSS, Moszkva, 2004.

Linkek

Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Calculus of Variations (angolul) a PlanetMath weboldalon .
Összegzés néhány történelmi információval
Példák - problémák a variációszámításból.