Funkcionális származéka

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. december 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A matematikában és az elméleti fizikában a funkcionális derivált az irányszármazék általánosítása . A különbség abban rejlik, hogy az utóbbinál a differenciálás valamilyen vektor irányában történik , míg az előbbinél függvényről beszélünk. Mindkét fogalom a szokásos differenciálszámítás általánosításának tekinthető .

A funkcionális deriváltoknak két fő típusa van, amelyek megfelelnek a Fréchet-származék általános definíciójának és a Banach-tér függvényének Gateaux-származékának . A gyakorlatban gyakran nem különböznek egymástól.

Definíció

Legyen valamilyen funkcionális , azaz egy bizonyos függvényhalmazon definiált függvény. A függvényen lévő függvény értékét jelöli . Gateaux-származéka (irány-származék) a kifejezés határértéke (ha létezik) . Itt van néhány függvény a definíció tartományából . Vegye figyelembe, hogy egy ilyen derivált általában a függvény választásától függ . Ebben az értelemben a helyzet nagyon hasonló a véges dimenzióhoz. Például egy függvény egy jobb és bal oldali pontban differenciálható , de ezek az egyoldalú deriváltak különböznek, és a szokásos értelemben ez a függvény 0-nál nem differenciálható. $F$ $F$ $\phi$ $F[\phi]$ $\lim _{{\varepsilon \to 0}}{\frac {F[\phi +\varepsilon \delta \phi ]-F[\phi ]}{\varepsilon }}$ $\delta \phi$ $F$ $\delta \phi$ $y=|x|$ $x=0$

Az alkalmazásokban sokkal gyakrabban merül fel a funkcionális származéka, amely hasonló a klasszikus véges dimenziós deriválthoz, és a Gateaux derivált speciális esete. Anélkül, hogy általános definíciót adnánk, tekintsünk egy tipikus példát: egy függvény szélsőértékének keresését két adott ponton áthaladó trajektóriák halmazán. Ilyen probléma merül fel a klasszikus mechanika problémáinak tanulmányozása során a legkisebb cselekvés elvét alkalmazva , egy hasonló típusú probléma, amely egy adott kerületű maximális terület alakjának megtalálását jelenti stb.

Legyen a függvénynek integrál alakja [1] $F$

F[\phi ]=\int _{a}^{b}L(\phi ,{\pont \phi },t)dt

Ennek első változatát kifejezésnek nevezzük

\delta F=F[\phi +\delta \phi ]-F[\phi ]

Ha az alakban van ábrázolva

\delta F=\int _{a}^{b}S(\phi ,{\pont \phi },t)\delta \phi (t)dt

tekintetében másodrendű értékekig , akkor a függvényt funkcionális deriváltnak [2] nevezzük , és jelöljük . A függvényt differenciálhatónak nevezzük . $\delta \phi$ $S$ $F$ $\phi$ ${\frac {\delta F}{\delta \phi ))$

Konkrétan ebben a feladatban , de általános esetben a válasz jelentősen függ a problémafelvetéstől és a peremfeltételektől. ${\frac {\delta F}{\delta \phi }}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L} {\részleges {\pont \phi ))}$

Második variáció

Ha a funkcionális differenciálható, akkor meg lehet határozni a második derivált analógját (ebben az esetben inkább a második parciális derivált mátrixához hasonlít ). A teljes variációt a második rendűre kiterjesztve és az elsőrendű mennyiségeket elvetve a függvény második variációjának nevezett kifejezést kapunk : $\delta F$ $\delta \varphi$

\delta ^{2}F=\iint {\frac {\delta ^{2}F}{\delta \varphi \delta \varphi ^{\prime ))}\delta \varphi (x)\delta \varphi ^ {\prime }(x^{\prime })dxdx^{\prime }

Tulajdonságok

A tulajdonságokra vonatkozó funkcionális derivált hasonló a szokásoshoz. Például:

Linearitás . ${\frac {\delta }{\delta \phi }}(\lambda F+\mu G)=\lambda {\frac {\delta F}{\delta \phi }}+\mu {\frac { \delta G}{\delta \phi )),\ \lambda ,\mu \in \mathbb {C}$
A Leibniz-identitás . ${\frac {\delta FG}{\delta \phi }}={\frac {\delta F}{\delta \phi }}G+F{\frac {\delta G}{\delta \phi }}$
A részleges származékok teljes változásának bővítése: $\delta F[\phi ,\psi ]={\frac {\delta F}{\delta \phi }}\delta \phi +{\frac {\delta F}{\delta \psi }}\delta \psi$
A függvény szélsőpontjában a deriváltja 0. A szélsőpont a minimum (maximum) pont, ha a második variáció pozitívan (negatívan) határozott másodfokú alak .