Star Hodge

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Hodge-csillag fontos lineáris operátor a q - vektorok terétől az ( n - q ) - alakok teréig . A metrikus tenzor kanonikus izomorfizmust határoz meg a q - formák és a q -vektorok terei között , így általában a Hodge-csillag egy operátor a q dimenzió differenciálformáinak teréből az n − q dimenziójú alakok terébe.

*\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\–\Lambda ^{{nq}}(T^{*}M)

Ezt az operátort William Hodge vezette be .

Definíció

Segéddefiníciók

Határozza meg a térfogat alakját!

\Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{{n-1}}

\Omega _{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f(X)\varepszilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}

ahol egy nem negatív skalár a sokaságon , és egy teljesen antiszimmetrikus szimbóluma . . Ha metrika hiányában is meg lehet határozni a térfogatalak kontravariáns összetevőit. $f(X):M\to {\mathbb {R}}$ $M$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{0\ldots n-1}}=+1$ $f(X)>0$

{\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X))){\frac {\partial }{\partial {X^{0))))\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{X^{{n-1))))}

{\check {\Omega }}^{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f^{{-1}}(X)\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n} }}

itt az antiszimmetrikus szimbólum megegyezik . $\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$

Emelt indexű metrika jelenlétében előjellel eltérhet : . Itt és tovább $\Omega$ ${\check {\Omega ))$ $\Omega =\sigma {\check {\Omega ))$ $\sigma =\operátornév{sgn} \det(g_{{mk}})$

Bemutatjuk az antiszimmetria működését :

A_{{[m_{1}\ldots m_{q}]}}={\frac {1}{q!}}\sum _{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))) ) (-1)^{{\operátornév{sgn}(m_{1}\ldots m_{q))}}A_{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))))

. Az összegzés a szögletes zárójelben lévő indexek összes permutációján történik, figyelembe véve azok paritását . Hasonlóan definiáljuk a felső indexek antiszimmetrizációját; az antiszimmetrizálás csak azonos típusú indexek csoportján lehetséges. Példák: ; .

\sigma (m_{1}\ldots m_{q})

\operátornév{sgn}(\sigma )

A_{{k[lm]}}={\frac {1}{2!}}(A_{{klm}}-A_{{kml}})

A_{k}^{{[l}}B_{p}^{{m]}}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m }-A_{k}^{m}B_{p}^{l})

Foglalkozzunk most a konvolúciós művelettel. Az antiszimmetrikus indexek összecsukásakor célszerű bevezetni a következő jelölést:

A^{{A\lpontok \lpadló K_{1}\lpontok K_{k}\rpadló B\lpontok }}{}_{{C\ldots \lpadló K_{1}\lpontok K_{k}\rpadló ldots }}={\frac {1}{k!}}A^{{A\lponts K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }}{}_{{C\ldots K_{1}\ lpontok K_{k}D\lpontok }}

Ha a tenzor mind a felső, mind az alsó összecsukó indexben antiszimmetrikus, akkor a zárójelben lévő indexeket csak rendezett halmazokra lehet összegezni, -vel való osztás nélkül , ez abból adódik, hogy a különböző indexhalmazok csak a sorrendben térnek el egymástól. az indexek ugyanakkora hozzájárulást adnak az összeghez. $\lfloor\;\rfloor$ $k!$ $K_{1}\ldots K_{k}$

Most definiáljuk a tenzorokat:

(A,B)_{{M_{{k+1}}\lpont M_{q}}}^{{(k)}}{}^{{N_{{k+1}}\lpont N_{p }}}=A_{{\lpadló K_{1}\lpont K_{k}\rpadló M_{{k+1}}\lpont M_{q}}}B^{{\lpadló K_{1}\lpont K_ {k}\rfloor N_{{k+1}}\lpontok N_{p}}}

(A,B)_{{M_{1}\lpontok M_{{qk))))^{{\aláhúzás {(k)}}}{}^{{N_{1}\lpontok N_{{pk} }}}=A_{{M_{1}\lpont M_{{qk}}\lpadló K_{1}\lpont K_{k}\rfloor }}B^{{N_{1}\lpont N_{{pk} }\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}

A (k) index azon indexek számát jelzi, amelyeken a konvolúciót végrehajtották. Ahol ez nem vezethet kétértelműséghez, a (k) kihagyásra kerül. A fenti tenzorok csak előjelben térhetnek el (vagy nem térhetnek el).

A Hodge csillag általános meghatározása

A térfogatforma és a polivektor segítségével bevezethetünk egy műveletet , amely egy fokszámú polivektort egy fok differenciális alakjává alakít , és egy inverz műveletet , amely egy fokos alakot egy fokú polivektorrá alakít át . $\Omega$ ${\check {\Omega ))$ $*$ $B$ $p$ $*B$ $np$ $*^{{-1}}$ $A$ $q$ $*^{{-1}}A$ $nq$

*B=(\Omega ,B)^{{(p)}}

*^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{\aláhúzás {(q)))}

Ezt a műveletet Hodge csillagnak vagy Hodge kettősségnek nevezik . Összetevőkben ez így néz ki:

(*B)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{{m_{1}\ldots m_{ q}}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Mivel és óta egy az egyhez megfeleltetést hoztunk létre a q fokú differenciálformák és az nq fokú polivektorok között $*^{{-1}}*B=B$ $**^{{-1}}A=A$

Az és operátorokon kívül bevezetünk egy operátorpárt: és , amelyek előjelben különböznek tőlük. $*$ $*^{{-1}}$ ${\jelölje be {*}}$ ${\check {*}}^{{-1}}$

{\check {*}}B=(\Omega ,B)^{{\aláhúzás {(p)))}

{\check {*}}^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{(q)))

Hodge csillaga a metrika jelenlétében

Adjunk meg egy metrikát az n dimenziós sokaságunkon . Jelöljük . $g_{{mk}}$ $g=\det(g_{{mk}})$

A metrika által generált $g_{{mk}}$ térfogatelem vagy térfogatforma az In összetevők formája : $\Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}$

\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

\Omega ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\frac ({\sqrt {|g|}}}{g}}\varepszilon ^{{m_{1}\ldots m_{n }}}={\frac {\operatorname{sgn}(g)}{{\sqrt {|g|}}}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Mivel van metrikánk, kanonikus izomorfizmust készíthetünk a polivektorok és a differenciálformák között:

A_{{m_{1}\ldots m_{n}}}=A^{{l_{1}\ldots l_{n}}}g_{{m_{1}l_{1}}}\cdots g_{{ m_{n}l_{n}}}

Ezért egy-egy megfeleltetést tudunk megállapítani a q-formák és az (nq)-formák között. $(*A)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n} }}A_{{l_{1}\ldots l_{q}}}g^{{m_{1}l_{1}}}\cdots g^{{m_{q}l_{q}}}$

További operátorok

A polivektorokon bevezetheti a divergenciát vevő operátort , amely 1-gyel csökkenti a polivektor mértékét:

\delta =*^{{-1}}d*

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))={\frac {1}{f(X)}}\partial _{{M_{q}}}( f(X)A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

Metrika jelenlétében a divergencia operátort a kovariáns derivált operátorban fejezzük ki , amelyet a metrikával összhangban lévő szimmetrikus kapcsolat segítségével határozunk meg : $\delta$ $\nabla$

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))=(\nabla ,A)^{{\aláhúzás {(1)}M_{1}\ldots M_{{ q-1}}}}=\nabla _{{M_{q}}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}}={\frac {1}{{\sqrt {|g| }}}}\részleges _{{M_{q}}}({\sqrt {|g|}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

Néha a műveletet ( külső derivált ) differenciálformák gradiensének , a műveletet pedig divergenciának nevezik. 1-es alak esetén a művelet a szokásos divergenciát határozza meg (metrika jelenlétében a differenciálformákat és a polivektort a kanonikus izomorfizmus segítségével azonosítjuk ) $d$ $\delta$ $\delta$

A -forma laplaciát a következő adja: $\Delta$ $q$ $A$

\Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A

A skalár (0-forma) esetén a laplaci a Laplace-Beltrami operátor :

\Delta \varphi =\nabla _{M}\nabla ^{M}\varphi ={\frac {1}({\sqrt {|g|)))}\partial _{M}{\sqrt {|g |}}g^{{MN}}\partial _{N}\varphi

Skalárhoz . Ha , akkor egy tetszőleges metrikára vonatkozó Bochner-képlet szerint -ben további tagok jelennek meg, amelyek görbületében lineárisak. Tehát abban az esetben $\Delta =\nabla _{M}\nabla ^{M}$ $q>0$ $\Delta$ $q=1$

(\Delta A)_{K}=\nabla _{M}\nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}

ahol a metrikával konzisztens szimmetrikus kapcsolatból összeállított Ricci-tenzor . $R_{K}{}^{M}$

Források

M. G. Ivanov előadásai a "Geometriai módszerek a klasszikus térelméletben" kurzusról. http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html