Skaláris szorzat

Pontszorzat (néha belső szorzatnak is nevezik ) - két vektoron végzett művelet eredménye , amely skalár , vagyis egy olyan szám , amely nem függ a koordinátarendszer megválasztásától . A vektorok hosszának és a köztük lévő szög meghatározására szolgál.

Általában a vektorok skaláris szorzatára és a következő jelölések valamelyikére kerül sor. $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}

vagy egyszerűen

\mathbf {a} \mathbf {b}

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle

a második jelölést pedig a kvantummechanikában használják állapotvektorokra [1] .

\langle a|b\rangle ;

A legegyszerűbb esetben , nevezetesen egy véges dimenziós valós euklideszi tér esetében, néha a nullától eltérő vektorok skaláris szorzatának "geometriai" definícióját használják, és ezeknek a vektoroknak a hosszának a koszinuszával való szorzatát használják. szög közöttük [2] : $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).

Ekvivalens definíció: a skaláris szorzat az első vektor második vektorra vetített vetületének hosszának és a második vektor hosszának a szorzata (lásd az ábrát). Ha legalább az egyik vektor nulla, akkor a szorzatot nullának tekintjük [3] .

A belső szorzat fogalmának számos általánosítása is van különféle vektorterekre , azaz olyan vektorhalmazokra, amelyek skalárral való összeadás és szorzás műveletét végzik . A skaláris szorzat fenti geometriai definíciója feltételezi a vektor hossza és a közöttük lévő szög fogalmának előzetes meghatározását. A modern matematikában a fordított megközelítést alkalmazzák: axiomatikusan definiálják a skaláris szorzatot, ezen keresztül pedig a hosszúságokat és a szögeket [4] . A belső szorzat különösen összetett vektorokra , többdimenziós és végtelen dimenziós terekre van definiálva a tenzoralgebrában .

A pontszorzat és általánosításai rendkívül nagy szerepet játszanak a vektoralgebrában , a sokaságelméletben , a mechanikában és a fizikában. Például egy erő munkája a mechanikai elmozdulás során egyenlő az erővektor és az elmozdulásvektor skaláris szorzatával [5] .

Definíció és tulajdonságok

Azt fogjuk mondani, hogy egy skaláris szorzat egy valós vagy komplex vektortérben definiálható, ha a következő axiómákat kielégítő minden vektorpárhoz rendelünk egy számot abból a számmezőből . $L$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $L$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L,$

A tér bármely három elemére és bármely számra igaz az egyenlőség: (a skaláris szorzat linearitása az első argumentumhoz képest). $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b}$ $\mathbb {L}$ $\alpha ,\beta$ $(\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )$
Bármelyikre igaz az egyenlőség , ahol az oszlop összetett ragozást jelent . $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )))$
Bármelyikre van: , és csak a (a skaláris szorzat pozitív határozottsága, illetve nem-degeneráltsága). $\mathbf {a}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Vegye figyelembe, hogy a 2. axióma azt jelenti, hogy ez egy valós szám. Ezért az Axiom 3-nak van értelme a skalárszorzat összetett (általános esetben) értékei ellenére. Ha a 3. axióma nem teljesül, akkor a szorzatot határozatlannak vagy határozatlannak nevezzük . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )$

Ha nem csak -re , akkor a szorzatot kváziszkárinak [6] nevezzük . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Ezekből az axiómákból a következő tulajdonságokat kapjuk:

Kommutativitás valós vektorokra : _ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} );$
eloszlás az összeadás tekintetében :és $(\mathbf {a} +\mathbf {b},\mathbf {c})=(\mathbf {a},\mathbf {c})+(\mathbf {b},\mathbf {c})$ $(\mathbf {c} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} )+(\mathbf {c},\mathbf {b}) ;$
involúciós linearitás a második argumentumhoz képest :(valódiesetén egyszerűen linearitás a második argumentumhoz képest). $(\mathbf {a} ,(\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {b} _{2}))={\overline {\ alfa _{1))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{1})+{\overline {\alpha _{2))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _ {2});$ $L$
$(\alpha \mathbf {a} ,\beta \mathbf {b} )=\alpha {\overline {\beta ))(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ (ami ugyanaz, mint az igazi ). $\alpha \beta (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L$

Vannak olyan tulajdonságok is, amelyek nem kapcsolódnak ezekhez az axiómákhoz:

nem asszociativitás a vektorral való szorzáshoz [7] ':; $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} \neq \mathbf {a} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$
ortogonalitás : két nem nulla vektor a és b akkor és csak akkor merőleges , ha ( a , b ) = 0 (definíciók alább ).

Megjegyzés. A kvantumfizikában a skaláris szorzatot (a komplex értékű hullámfüggvények) általában lineárisnak definiáljuk a második argumentumban (és nem az elsőben), illetve az első argumentumban involúciósan lineáris lesz. Általában nincs tévedés, hiszen a kvantumfizikában a pontszorzat hagyományos jelölése is más: , azaz. Az argumentumokat vessző helyett cső választja el, és a zárójelek mindig szögletes zárójelek. $\langle \phi |\psi \rangle$

Definíció és tulajdonságok az euklideszi térben

Valódi vektorok

A dimenziós valós euklideszi térben a vektorokat koordinátáik – valós számok ortonormális alapon álló halmazai – határozzák meg . A vektorok skaláris szorzatát a következőképpen határozhatja meg [4] : $n$ $n$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\pontok +a_ {n}b_{n}.

Az ellenőrzés azt mutatja, hogy mindhárom axióma teljesül.

Például a és vektorok skaláris szorzatát a következőképpen számítjuk ki: $(1,3,-5)$ $(4,-2,-1)$

{\begin{aligned}\ (1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{igazított}}

Bizonyítható [8] , hogy ez a képlet ekvivalens a definícióval vetületekben vagy koszinuszban: $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).$

Komplex vektorok

Komplex vektorok esetén hasonlóan definiáljuk [9] : $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k))}=a_{1} {\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}.

Példa (a számára ): $n=2$ $(1+i,2)\cdot (2+i,i)=(1+i)\cdot ({\overline {2+i)))+2\cdot {\overline {i))= (1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.$

Tulajdonságok

A pontszorzat általános tulajdonságai mellett a többdimenziós euklideszi vektorokra a következők igazak:

ellentétben a közönséges skaláris szorzással, ahol ha ab = ac és a ≠ 0, akkor b egyenlő c -vel , ez nem igaz vektor skaláris szorzásra: ha a b = a c , azaz a (b − c) = 0 , akkor az általánosban az a és b − c eset csak merőleges; de a vektorb − c ' általában nem egyenlő 0 -val , azaz b ≠ c ;
szorzatszabály : a( t ) és b ( t ) differenciálható vektorfüggvényekre az ( a ( t ), b ( t )) reláció = a ′( t ) ⋅ b ( t ) + a ( t ) ⋅ b ′ ( t ) [10] ;
a vektorok közötti szög becslése: a képletben az előjelet csak a szög koszinusza határozza meg (a vektornormák mindig pozitívak). Ezért a pontszorzat nagyobb, mint 0, ha a vektorok közötti szög hegyes, és kisebb, mint 0, ha a vektorok közötti szög tompa; $(\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$
egy vektor vetülete az egységvektor által meghatározott irányra : $\mathbf {a}$ $\mathbf {e}$ $a_{e}=(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$ , mert $|\mathbf {e} |=1;$
egy paralelogramma területe, amelyet két vektor feszül, és egyenlő $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ ${\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2 }}}.$

Koszinusztétel valós térben

A koszinusztétel könnyen levezethető a pontszorzat segítségével. Legyenek a háromszög oldalai a , b és c vektorok , amelyek közül az első kettő alkotja a θ szöget , ahogy a jobb oldali képen látható. Ezután a skaláris szorzat tulajdonságait és definícióját követve koszinuszban:

${\begin{aligned}\mathbf {\color {narancs}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {kék}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf { \color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {piros } }a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}-\mathbf { \color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +|\mathbf {\color { blue}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color { kék }b} +|\mathbf {\color {blue}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}+|\mathbf {\color {kék } b} |^{2}-2|\mathbf {\color {red}a} |{\cdot }|\mathbf {\color {blue}b} |\cos \mathbf {\color {lila}\theta } .\\\end{igazított}}$

Kapcsolódó definíciók

A modern axiomatikus megközelítésben már a vektorok skaláris szorzatának koncepciója alapján a következő derivált fogalmak kerülnek bevezetésre [11] :

Egy vektor hossza , amelyet általában euklideszi normájaként értünk :

|\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )))

(A "hossz" kifejezést általában véges dimenziós vektorokra alkalmazzák, de görbe vonalú út hosszának számításakor gyakran végtelen dimenziós terek esetén használják).

Az euklideszi tér két nullától eltérő vektora(különösen az euklideszi sík) közötti szög egy olyan szám, amelynek koszinusza egyenlő ezen vektorok skaláris szorzatának és hosszuk (normáik) szorzatának arányával: $\varphi$

\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \varphi \leqslant \pi ).

Ezek a meghatározások lehetővé teszik a képlet megtartását: és általános esetben. A koszinusz képletének helyességét a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség garantálja [12] : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\varphi )$

A vektortér bármely elemére skalárszorzattal a következő egyenlőtlenség érvényes: $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$

\vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b } )

Ha a tér pszeudoeuklideszi , akkor a szög fogalma csak azokra a vektorokra vonatkozik, amelyek nem tartalmaznak izotróp vonalakat a vektorok által alkotott szektoron belül. Ebben az esetben magát a szöget olyan számként vezetjük be, amelynek hiperbolikus koszinusza megegyezik ezen vektorok skaláris szorzatának modulusának a hosszuk (normák) szorzatához viszonyított arányával:

|(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operátornév {ch} \varphi .

Az ortogonális (merőleges) vektorok, amelyek skaláris szorzata nullával egyenlő. Ez a meghatározás minden olyan térre vonatkozik, amelynek pozitív meghatározott belső szorzata van. Például az ortogonális polinomok valójában merőlegesek (e definíció értelmében) egymásra valamilyen Hilbert-térben.
A pozitív-határozott belső szorzattal rendelkező teret (valós vagy összetett) pre-Hilbert térnek nevezzük .
- Ebben az esetben a pozitív-definit skaláris szorzatú véges dimenziós valós teret euklideszi , az összetettet pedig hermitikus vagy unitárius térnek nevezzük.
Az az eset, amikor a skalárszorzat nem előjel-határozott, az ún. határozatlan metrikus szóközök . A skaláris szorzat az ilyen terekben már nem generál normát (és általában ezt is bevezetik). A határozatlan metrikával rendelkező véges dimenziós valós teret pszeudoeuklideszinek nevezzük (egy ilyen tér legfontosabb speciális esete a Minkowski-tér ). A határozatlan metrikával rendelkező végtelen dimenziós terek közül a Pontryagin -terek és a Kerin-terek fontos szerepet játszanak .

Történelem

A skaláris szorzatot W. Hamilton vezette be 1846 -ban [13] a vektorszorzattal egyidejűleg a kvaterniók kapcsán - rendre két kvaternió szorzatának skaláris és vektor részeként, amelyek skaláris része nullával egyenlő [14] ] .

Változatok és általánosítások

Valamely Ω tartományban négyzetesen integrálható, mérhető valós vagy összetett függvények terében pozitív-definit skaláris szorzat vezethető be:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }f(x){\overline {g(x)))d\Omega

Nem ortonormális bázisok használatakor a skaláris szorzatot vektorkomponensekben fejezzük ki a metrikus tenzor részvételével [15] : $g_{ij}$

{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g_{ij}a^{i}b^{j))

Ugyanakkor maga a metrika (pontosabban egy adott bázisban való ábrázolása) ily módon kapcsolódik a bázisvektorok skaláris szorzataihoz : $f_{i}\$

g_{ij}=(\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})

A skaláris szorzat hasonló konstrukciói végtelen dimenziós tereken is bevezethetők, például függvénytereken:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2 })f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega

ahol K egy pozitív-definit, az első esetben szimmetrikus az argumentumok permutációja szempontjából (komplex x - Hermitiánus) függvény (ha a szokásos szimmetrikus pozitív-definit skaláris szorzatra van szükség).

A véges dimenziós skaláris szorzat legegyszerűbb általánosítása a tenzoralgebrában az ismétlődő indexek konvolúciója .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Hall B.C. Kvantumelmélet matematikusoknak . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 p. - (Matematika érettségi szövegei. 267. köt.). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . Archivált : 2016. január 31., a Wayback Machine - 85. o.
↑ Ez a vektorok közötti legkisebb szögre vonatkozik, amely nem haladja meg $\pi.$
↑ Vektoralgebra // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1977. - T. 1. - S. 634.
↑ 1 2 Gelfand, 1971 , p. 30-31.
↑ Targ S. M. Work of force // Physical Encyclopedia / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Nagy Orosz Enciklopédia , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 p. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés. II köt. - M., Felsőiskola , 1970. - p. 316.
↑ Weisstein, Eric W. Dot termék archiválva : 2021. április 29. a Wayback Machine -nél . A MathWorldből – Wolfram webes forrás.
↑ Calculus II - Dot Product . tutorial.math.lamar.edu . Letöltve: 2021. május 9. Az eredetiből archiválva : 2021. május 9.. (határozatlan)
↑ Gelfand, 1971 , p. 86.
↑ Stewart, James (2016), Calculus (8. kiadás), Cengage , 13.2. szakasz.
↑ Gelfand, 1971 , p. 34.
↑ 9.5. Lineáris terek belső szorzattal: euklideszi és unitárius
↑ Crowe MJ A vektoranalízis története – A vektoros rendszer eszméjének fejlődése . - Courier Dover Publications, 1994. - S. 32. - 270 p. — ISBN 0486679101 . Archiválva : 2019. március 6. a Wayback Machine -nél
↑ Hamilton WR On Quaternions; vagy egy új képzeletrendszerről az algebrában // Filozófiai Magazin. 3. sorozat. - London, 1846. - T. 29 . - S. 30 .
↑ Gelfand, 1971 , p. 240.

Irodalom

Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról. - 4. kiadás — M .: Nauka, 1971. — 272 p.

Linkek

Emelin A. Vektorok skaláris szorzata . Letöltve: 2019. november 14. (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb