Szabályos többdimenziós poliéder

A szabályos n - dimenziós politóp egy n - dimenziós euklideszi térpolitóp , amely bizonyos értelemben a legszimmetrikusabb. A szabályos háromdimenziós poliédereket platonikus testeknek is nevezik .

Történelem

A szabályos többdimenziós poliéderek osztályozását Ludwig Schläfli készítette . [egy]

Definíció

Egy n - dimenziós politóp zászlaja a lapjainak halmaza , ahol a P politóp -dimenziós lapja, és -re . $P$ $F=(F_{0},F_{1},\pontok ,F_{{n-1}})$ $F_{i}$ $én$ $F_{i}\subseteq F_{{n-1}}$ $i=1,2,\pontok ,n-1$

A szabályos n -dimenziós poliéder egy konvex n - dimenziós poliéder , amelynek bármely két jelzőjére és van egy mozgás , amely -ig tart . $P$ $F$ $F'$ $P$ $F$ $F'$

Osztályozás

4. dimenzió

6 szabályos négydimenziós poliéder (többsejt) létezik:

Név	Schläfli szimbólum	Sejt	A cellák száma	Az arcok száma	Élek száma	Csúcsok száma
Ötcellás	{3,3,3}	szabályos tetraéder	5	tíz	tíz	5
tesserakt	{4,3,3}	kocka	nyolc	24	32	16
Hexadecimális sejt	{3,3,4}	szabályos tetraéder	16	32	24	nyolc
huszonnégy cella	{3,4,3}	oktaéder	24	96	96	24
120 cella	{5,3,3}	dodekaéder	120	720	1200	600
Hatszáz sejt	{3,3,5}	szabályos tetraéder	600	1200	720	120

Méretek 5 és nagyobb

Mindegyik magasabb dimenzióban 3 szabályos poliéder ( politóp ) található:

Név	Schläfli szimbólum
n - dimenziós szabályos szimplex	{3;3;...;3;3}
n -dimenziós hiperkocka	{4;3;...;3;3}
n -dimenziós hiperoktaéder	{3;3;...;3;4}

Geometriai tulajdonságok

Szögek

A szabályos n-dimenziós politóp (n-1)-dimenziós szomszédos lapjai közötti diéderszöget a Schläfli-szimbólum adja meg a [2] [3] [4] képlettel : $\{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{{N-3}},p_{{N-2}},p_{{N-1}}\}$

\sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-1))))}{1-{\frac {\cos ^{2 }{\frac {\pi }{p_{{n-2))))}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-3))} )){{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3)))){1-{\frac {\cos ^{2 }{\frac {\pi }{p_{2)))){1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1))))))))))))))) )))) }

ahol egy szabályos n-dimenziós poliéder (n-1)-dimenziós szomszédos lapjai közötti szög fele $\beta$

Radii, volumes

Egy beírt N-dimenziós gömb sugara:

r_{N}=r_{N-1}\operátornév {tg} {\beta },

ahol a lap beírt (N-1)-dimenziós gömbjének sugara. $r_{{N-1}}$

Egy N-dimenziós poliéder térfogata:

V_{N}={\frac {1}{N}}V_{{N-1}}A_{{N-1}}r_{N},

ahol egy (N-1)-dimenziós lap térfogata, az ( N-1)-dimenziós lapok száma. $V_{{N-1}}$ $A_{{N-1}}$

Burkolatok

n = 4 méretben

Tesseact
méhsejt
Huszonnégy

n méretben ≥ 5

Hiperkubikus méhsejt

Lásd még

Jegyzetek

↑ Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38:1–237.
↑ Sommerville DMY Bevezetés az n méret geometriájába . - London, 1929. - S. 189. - 196 p.
↑ Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes . - London, 1948. - S. 134. - 321 p. Archiválva : 2016. május 5. a Wayback Machine -nél
↑ Rosenfeld B.A. Többdimenziós terek . - Tudomány, 1966. - S. 193.

Linkek

Vizuális példa a YouTube-on

Szabályos politópok (platonikus szilárd anyagok) 4D-ben (nem elérhető link) (2003). Hozzáférés dátuma: 2011. január 30. Az eredetiből archiválva : 2012. május 4. (határozatlan)

E. Yu. Szmirnov. Reflexiós csoportok és szabályos poliéderek . - M. : MTSNMO, 2009. - 48 p. - ISBN 978-5-94057-525-2 .

E. B. Vinberg, O. V. Shvartsman. Állandó görbületű terek diszkrét mozgáscsoportjai // Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. irányokat. - 1988. - T. 29 . – S. 147–259 .

Poliéder

Helyes

Háromdimenziós (platonikus szilárd testek)	szabályos tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder ikozaéder
4D	Ötcellás tesserakt Hexadecimális sejt huszonnégy cella 120 cella Hatszáz sejt
Nagyobb méret (zárójelben jelölve)	Szabályos szimplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoktaéder

Szabályos
, nem domború

Háromdimenziós az
arcok számával (zárójelben jelölve)

Monoéder (1)
Diéder (2)
Triéder (3)
Tetraéder (4)
Pentaéder (5)
Hexaéder (6)
Heptaéder (7)
Oktaéder (8)
Enneaéder (9)
Dekaéder (10)
Endekaéder (11)
Dodekaéder (12)
Tridekaéder (13)
Tetradekaéder (14)
Pentadekaéder (15)
Hexadekaéder (16)
Heptadekaéder (17)
Oktadekaéder (18)
Enneadekaéder (19)
Ikozaéder (20)
Ikozotetraéder (24)
Triakontaéder (30)
Hexacontahedron (60)
Enneakontaéder (90)
Hektotriadioéder (132)
Apeiroéder (∞)

konvex

Arkhimédeszi szilárd testek

Katalán testek

Prizmák
háromszög prizma négyszögű prizma Ötszögletű prizma Hatszögletű prizma Hétszögű prizma Nyolcszögletű prizma Kilencszögű prizma Tízszögű prizma Tizenegy szögű prizma Dodecagonal prizma

Johnson poliéder

Képletek ,
tételek ,
elméletek

Egyéb

Alapvető konvex szabályos és homogén politópok 2-10 méretben
Család	A n	B n	I₂(p) / D n	E₆ / E₇ / E₈ / F4 / G2	H4
szabályos sokszög	derékszögű háromszög	Négyzet	Szabályos p-gon	Szabályos hatszög	szabályos ötszög
Egységes poliéder	szabályos tetraéder	Szabályos oktaéder • Kocka	fél kocka		Szabályos dodekaéder • Szabályos ikozaéder
Egységes többcellás	Ötcellás	16 cellás • Tesseact	Semitesseract	24 cellás	120 cellás • 600 cellás
Homogén 5-politóp	Normál 5 szimplex	5-ortoplex • 5-hiperkocka	5-félhiperkocka
Homogén 6-politóp	Normál 6 szimplex	6-ortoplex • 6-hiperkocka	6-os félhiperkocka	1 22 • 2 21
Homogén 7-politóp	Normál 7 szimplex	7-ortoplex • 7-hiperkocka	7-es félhiperkocka	1 32 • 2 31 • 3 21
Homogén 8-politóp	Normál 8 szimplex	8-ortoplex • 8-hiperkocka	8-fél-hiperkocka	1 42 • 2 41 • 4 21
Homogén 9-politóp	Normál 9 szimplex	9-ortoplex • 9-hiperkocka	9-es félhiperkocka
Homogén 10-politóp	Normál 10 szimplex	10-ortoplex • 10-hiperkocka	10-fél-hiperkocka
Egységes n - politóp	Szabályos n - szimplex	n - ortoplex • n - hiperkocka	n - félig hiperkocka	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - ötszögletű poliéder
Témák: Politópok családjai • Szabályos politópok • Szabályos politópok és vegyületeik listája