Csempe (geometria)

Parkettázás vagy csempézés - sík felosztása sokszögekre vagy tér poliéderekre hézagok és rétegek nélkül.

Az euklideszi síkon lévő parketták mellett a matematikában a "parkettákat" a gömb , a hiperbolikus síkon , háromdimenziós és többdimenziós térben tekintik.

Terminológia

Burkolatok, mozaikok, parketták, válaszfalak

A parkettákat más néven csempézés , mozaik ( angolul  tessellation, tiling ), sík válaszfala ( angol  partíció ), parketták . A háromdimenziós terek és a nagyobb méretű terek burkolását gyakran méhsejtnek nevezik .

Grünbaum és Shepard Tilings and Patterns (1987) 2] 16. oldalán a következő megjegyzés található:

A matematikai irodalomban a mozaik , a paving , a mozaik és a parkettázás szavakat felcserélhetően vagy hasonló jelentéssel használják. A mozaik német szavai a Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung és Zerlegung ; francia szavak - page , carrelage és dallag ; Orosz szavak - parketta , válaszfalak és csempézés .

Eredeti szöveg  (angol)[ showelrejt] A matematikai irodalomban a mozaik , a paving , a mozaik és a parkettázás szavakat szinonimaként vagy hasonló jelentéssel használják. A csempézés német szavai a Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung és Zerlegung . A francia szavak page , carrelage és dallage . Az orosz szavak a parketta , a válaszfalak és a csempézés .

A tetszőleges alakú területekkel (csempével) rendelkező parkettákat néha térképnek is nevezik (lásd például a négyszínű tételt ).

Bevonatok és csomagolások

Ha több ábra uniója tartalmaz egy adott Φ ábrát , akkor ezekről az ábrákról azt mondjuk, hogy a Φ ábrát fedik . Ebben az esetben a fedő figurák átfedhetik egymást, de hézagmentesen takarják az F ábrát.

A pakolás több olyan figura elhelyezése egy adott figurán belül, amelyeknek nincs közös pontja, kivéve talán a határt (azaz átfedés nélkül) .

A tesszelláció egy figura részekre osztása. A burkolólap egyben burkolat és tömítés is [2] [3] .

Protopiles

A parketta prototilei ( angol  prototiles , prototípusok is [4] ) a parkettába foglalt csempék (formák). Minden parkettalap egybevágó a prototilok egyikével [5] .

Tehát a hatszögletű parketta egyetlen prototilja egy szabályos hatszög; a szabályos gömb alakú ötszögletű parketta prototile egy ötszög ; a rombotrihexagonális parketta protopillái egy egyenlő oldalú háromszögből, egy négyzetből és egy hatszögből állnak .

Egy parkettát k -hedralnak nevezünk, ha a prototiljainak halmaza ( protoset ) k lapkából áll [2] [4] .

A parkettalapokat homlokzatnak is nevezik , a sokszögletű lapok oldalait pedig éleknek , a poliéder terminológiával [6] analóg módon .

Csúcs és arc konfigurációk

A rombotrihexagonális parketta háromféle lapból áll: egyenlő oldalú háromszögből, négyzetből és hatszögből . Ezek a lapkák az egyes csúcsok körül a következő sorrendben vannak elrendezve: háromszög, négyzet, hatszög, négyzet. Ezt a sorrendet parkettalap konfigurációnak nevezzük , és a 3.4.6.4 formában írjuk le. Ha ebben a sorozatban két vagy több szám van egy sorban, akkor egy rövidített jelölést használunk: egy háromszög alakú parkettát 3.3.3.3.3.3-ként vagy 3 6 -ként jelölhetünk. Ebben az esetben az olyan bejegyzések, amelyek csak a számok ciklikus permutációjában vagy a bejegyzés sorrendjének ellentétes változásában különböznek (például 3.3.4.3.4 és 4.3.3.4.3), ugyanazt a csúcskonfigurációt jelölik; ugyanakkor a 3.4.4.6 nem egyenértékű a 3.4.6.4-gyel [4] [7] [8] [9] [10] .

A heterogén parkettákban különböző konfigurációjú csúcsok fordulhatnak elő.

Egy lap konfigurációja ennek a lapnak a csúcsainak fokszám- sorozata , amikor egy irányban megkerüljük. Az arckonfigurációt szögletes zárójelben [2] lévő számsorként vagy V előtaggal írjuk.

Ha egy parketta minden csúcsa azonos konfigurációjú a 1 .a 2 ....a k jelöléssel , akkor a kettős parkettája minden lapja azonos konfigurációjú Va 1 .a 2 .... a jelöléssel. k . Például a 3.4.6.4 rombusz alakú háromhatszögű parkettával kettős parketta homlokzati konfigurációi V3.4.6.4-ként  vannak felírva.

A parketta típusai

Sok esetben elfogadják azt a feltételt, hogy minden parketta prototil egy topológiai lemezzel egyenértékű ; más szóval, a csempe nem állhat több részből ( kvázi-poliomino [11] ), nem tartalmazhat "lyukakat", nem lehet végtelen csík stb. [2] [4] .

Lapos parketták

Korrekt parketták

Az azonos szabályos sokszögekből álló parkettákat szabályos parkettának ( eng.  regular tilings ) nevezzük . A sík három szabályos burkolása van: háromszög parketta , négyzet parketta és hatszögletű parketta [9] [12] [13] .

A normál parkettákat platóni parkettának is nevezik [14] .

A szabályos parkettán elhelyezkedő poliformokat poliamondoknak , poliominónak és polihexeknek nevezzük .

A { p , q } Schläfli-szimbólum egy szabályos p -szögekből álló parkettát jelöl, amelyek minden csúcs körül q -ban vannak elrendezve. A három szabályos csempe Schläfli szimbólumai a következők: {3,6}, {4,4} és {6,3} [6] .

Félig normál parketták

Azokat a parkettákat, amelyek két vagy több típusú szabályos sokszögekből állnak úgy, hogy a parketta bármely két csúcsára szimmetria-transzformáció (önkoincidencia) van, amely az egyiket a másikká alakítja, félszabályos csempéknek vagy arkhimédeszi parkettáknak nevezzük [9] [ 15 ] [16] [17] .  

8 félig normál parketta van [7] [10] [12] [16] [17] . A nyolc félig szabályos parketta ( snub-orr trihexagonal parkett ) egyike királis , azaz nem esik egybe a saját tükörképével [4] [7] [16] [17] .

Két definíció vezet ugyanahhoz a 8 félig szabályos parkettához a síkon.

Az első, „helyi” definíció az, hogy az összes csúcs csúcskonfigurációjának meg kell egyeznie. Más szóval, a parketta bármely két csúcsa körüli lapok sorozatának azonosnak kell lennie: ugyanazoknak a sokszögeknek ugyanabban (vagy ellentétes) sorrendben kell haladniuk.

A második, „globális” definíció megköveteli, hogy a parketta bármely két csúcsánál létezzen szimmetriatranszformáció (a parketta önkombinációja), amely az egyiket a másikba fordítja át.

Grünbaum és Shepard az "Archimedean parquet" ( angol  Archimedean tiling ) és a " homogén parketta " ( angol  uniform tiling ) kifejezéseket osztják: az első csoportba a "helyi" definíciónak megfelelő parketták, a másodikba pedig a "globális" kifejezések tartoznak. Bár ez a két halmaz egybeesik az euklideszi síkon , más terekben vannak olyan arkhimédeszi parketták, amelyek nem homogének [2] .

A matematikai irodalomban az "Archimédeszi parketta", a "félig szabályos parketta" és a "homogén parketta" kifejezések jelentése változó.

Kvázi normál parketták

Kvázi szabályos parketta (vagy poliéder) ( angol  quasiregular tiling ) - homogén parketta (vagy poliéder), amely kétféle lapból áll, amelyek mindegyik csúcsa körül váltakoznak; más szóval minden arcot más típusú lapok vesznek körül [18] [19] [20] .

Csak egy kvázi szabályos parketta van az euklideszi síkon – egy háromszögletű parketta csúcskonfigurációval 3.6.3.6. A gömbön két kvázi szabályos parketta ( gömb alakú poliéder ) található - a kuboktaéder és az ikozidodekaéder .

A Lobacsevszkij-síkon végtelen halmaz van olyan kvázi szabályos parkettából ,

Heterogén parketták

Végtelen sok a szabályos sokszögekből álló nem egységes ( angolul  non-uniform ) parketta.

  • Nem homogén parketták szabályos sokszögekből

  • 3 2 .6 2 , 3 6

  • 3 2 .6 2 , 3.6.3.6

  • 3 2 .4.12, 3 6

  • 3.4 2.6 , 3.6.3.6

A periodikus inhomogén parkettákat a csúcsok, élek és lapok pályáinak száma szerint osztályozhatjuk . Ha a csúcspályák száma egyenlő n -nel , akkor a parkettát n -uniformnak ( angolul  n-uniform ) vagy n -izogonálisnak nevezzük; ha az élpályák száma n - n - izotoxális ( eng.  n -izotoxális ). A fenti példák négy húsz 2-homogén parkettából [2] [9] [21] .


Nem időszakos parketták és időszakos csempekészletek

Egy T partíciót periodikusnak nevezünk, ha T szimmetriái között két párhuzamos, nem párhuzamos irányú transzláció található. Ebben az esetben a mozaik egy kis töredék ismétlődéseiből áll, amelyeket valamilyen rács csomópontjain lévő elemekből raktak ki. A prototípusok (protoset) P halmazát aperiodikusnak nevezzük, ha a sík egyes partícióiban megvalósul, de egyik partíció sem periodikus [4] .

Az aperiodikus csempekészlet első példáját Robert Berger találta meg 1966-ban, és 20 426 Wang lapkát tartalmazott [2] [24] . Wang lapjai azonos méretű négyzetek festett oldalukkal; mozaik építésénél csak egyszínű oldalú csempék kombinálása megengedett, és tilos a lapokat megfordítani.

Később aperiodikus protohalmazokat találtak kevesebb csempével. Roger Penrose felfedezett két lapkából álló aperiodikus protohalmazokat [2] [23] [25] .

2010-ben Joshua Socolar és John Taylor egy aperiodikus halmazt javasolt, amely egyetlen lapkából áll , amely egy szabályos hatszög, amely színes vonalakkal van megjelölve, és további korlátozásokkal a nem érintkező lapok egymáshoz viszonyított helyzetével kapcsolatban [26] . Létezik olyan módosítás, amely nem használ ilyen korlátozásokat, hanem leválasztott csempét használ, azaz olyan csempét, amely nem topológiai lemez . Továbbra is nyitott probléma marad egyetlen összekapcsolt csempe megléte további jelölések és korlátozások nélkül, amely csak időszakosan képes lefedni a síkot [26] [27] .

Gömbös poliéder

A gömb parketta vagy egy gömb alakú poliéder egy gömb gömb alakú sokszögekre való felosztása nagykörívekkel [28] .

Az 5 platóni szilárd anyag mindegyike egy szabályos gömb alakú parkettának felel meg. Formálisan legyen S olyan gömb, amelynek O középpontja egybeesik a P poliéder középpontjával . Az O - ból húzott, a P poliéder csúcsain átmenő sugarak az S gömböt olyan pontokon metszik , amelyek a megfelelő gömbparkett csúcsai; a P poliéder élei az S -en lévő nagykörök íveinek felelnek meg .

Az öt „platoni test” gömb alakú analógjain kívül a szabályos gömb alakú poliédereknek két családja van, amelyeknek nincs megfelelője a lapos felületű poliéderek között: ozoéderek – poliéderek, amelyeknek két csúcsa a gömb pólusain helyezkedik el, és amelyek lapjai egybevágó digonok és dihedra - dihedra kettős oszoéderrel, amelyek csúcsai a gömb egyenlítőjén vannak.

Hiperbolikus parketták

Euklidész párhuzamossági axiómája (pontosabban az egyik ekvivalens állítása) kimondja:

Egy olyan ponton keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, legfeljebb egy olyan egyenes halad át, amely az adott egyenessel egy síkban fekszik, és nem metszi azt.

A Lobacsevszkij-geometriában a következő axiómát fogadják el helyette:

Egy nem adott egyenesen fekvő ponton legalább két olyan egyenes haladjon át, amelyek az adott egyenessel ugyanabban a síkban vannak, és nem metszik azt.

A hiperbolikus sík ábrázolására a meglévő modellek egyikét használják - a Beltrami-Klein modellt , a Poincaré konformális korongot , a Poincaré modellt félsíkon [29] .

Az euklideszi síkon csak három szabályos parketta és 8 félnormál parketta van. A hiperbolikus síkon végtelen számú páros szabályos parketta található, beleértve a hét vagy több egyenlő oldalú háromszöget egy csúcs körül, öt vagy több négyzetet, négy vagy több szabályos ötszöget (egy csúcs körül három ötszögű parketta gömb alakú dodekaéder ) , négy vagy több szabályos hatszög, valamint három vagy több egyenlő szabályos sokszög 6-nál több oldallal.

Problémák a parkettákkal

Számos feladat és rejtvény kapcsolódik a téglalapok (vagy más összefüggő formák) csempékre való felosztásához egy adott prototilkészletből. Ebben az esetben maguk a prototilok egy normál parketta celláinak kombinációihoz köthetők .

Konkrétan van egy problémaosztály m  ×  n téglalap dominólapkákkal történő tesszellációjával kapcsolatban oly módon, hogy az eredményül kapott partícióban nincs olyan egyenes, amely a téglalapot az éltől a szélig metszi, és nem metszi a dominólapkákat; az ilyen téglalapokat "erősnek" nevezik [4] [11] [30] .

Más feladatoknál további korlát van beállítva a burkoláshoz használt egyes típusok csempéinek számára. A pentominókkal kapcsolatos feladatoknál 12 figurával le kell fedni egy négyzet parketta adott részhalmazát, amely 60 cellából áll (3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10 téglalapok, sakktábla négyzetes tetraminóval középen kivágva stb.) ; azonban minden lapkát pontosan egyszer kell használni [11] [30] .

A parketták felsorolása

Az adott típusú konvex sokszögekből álló parketták számának meghatározását csak részben sikerült megoldani:

  • Bármely háromszög vagy négyszög csempézheti a síkot [4] [31] [32] .
  • 15 ötszög ismert, amely képes síkot burkolni; nem ismert, hogy ez a lista teljes-e [1] . Az ötszögletű parketták számbavételének problémája gazdag múltra tekint vissza [4] , és talán már megoldódott [33] [34] .
  • A sík burkolására alkalmas hatszögeknek 3 típusa ismert [4] [35] .
  • Nem lehet olyan síkot csempézni, amelyen egyforma konvex sokszög több vagy egyenlő hét oldallal [4] [36] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Pentagon csempézés  a Wolfram MathWorld webhelyén .
  2. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B. Grünbaum , G. C. Shephard. Burkolatok és minták . – New York: W.H. Freeman & Co., 1987. – ISBN 0-7167-1193-1 .
  3. ↑ A nem szabványos feladatok megoldása / Szerk. V. O. Bugaenko. - M. : MTSNMO , 2008. - S. 49. - 96 p. - ISBN 978-5-94057-331-9 .
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 David A. Klarner . Matematikai virágoskert.
  5. ↑ Prototil . Matematikai Enciklopédia. Letöltve: 2013. augusztus 12. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 2..
  6. ↑ 1 2 Coxeter, Bevezetés a geometriába, 1966, 6. §, p. 100-104.
  7. ↑ 1 2 3 Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett. Matematikai  modellek . - 2. kiadás - Oxford University Press, 1961. - P. 59-65.
  8. ↑ Paul Burke. Egységes poliéder . Letöltve: 2013. augusztus 12. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 2..
  9. ↑ 1 2 3 4 Chavey, D. Szabályos sokszögek burkolása – II: Burkolatok katalógusa  (határozatlan)  // Számítógépek és matematika alkalmazásokkal . - 1989. - T. 17 . - S. 147-165 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
  10. ↑ 1 2 Mi az a szövetkép? . Matek fórum. Letöltve: 2013. augusztus 12. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 2..
  11. ↑ 1 2 3 Golomb S.V. Polyomino \u003d Polyominoes / Per. angolról. V. Firsova. Előszó és szerk. I. Yagloma. - M . : Mir, 1975. - 207 p.
  12. ↑ 1 2 Enciklopédia gyerekeknek. T. 11. Matematika / Fejezet. szerk. M. D. Aksenova; módszer. és ill. szerk. V. A. VOLODIN - M . : Avanta + , 2003. - S. 297-300. — 688 p. — ISBN 5-94623-072-7 .
  13. ↑ Weisstein, Eric W. Rendszeres tessellation  a Wolfram MathWorld weboldalán .
  14. ↑ Steven Gillispie. A platóni síkburkolatok . Az eredetiből archiválva : 2008. október 26.
  15. ↑ Weisstein, Eric W. Semiregular Tessellation  (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
  16. ↑ 1 2 3 Steven Dutch. Arkhimédeszi csempék (1999. július 2.). Az eredetiből archiválva: 2013. január 20.
  17. ↑ 1 2 3 John Baez. Arkhimédeszi burkolólapok és egyiptomi frakciók . Azimut (2012. február 5.). Letöltve: 2013. augusztus 12. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 2..
  18. ↑ M. Weninger. Polyhedra Models = Polyhedron Models / Angolból fordította V. V. Firsov, szerkesztette és utószóval I. M. Yaglom. — M .: Mir, 1974. — 236 p.
  19. ↑ George Hart. Kvázi szabályos poliéder . Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Letöltve: 2013. augusztus 19. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 2..
  20. ↑ HSM Coxeter. Rendszeres  politópok . - 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
  21. ↑ Steven Dutch. Egyenruhás burkolólapok (1999. július 2.). Az eredetiből archiválva: 2013. január 20.
  22. ↑ Penrose R. (1979/80), Pentaplexity , Math. Intel. Vol. 2: 32–37 , < http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html > Archiválva 2011. június 7-én a Wayback Machine -nél (archiválva:) 
  23. ↑ 12 David Austin . » Videó » Letöltés Kutató Penrose Tiles Talk Across Miles Kedvencekhez Funkcióoszlop az AMS-től. Letöltve: 2013. augusztus 18. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 2..
  24. ↑ Burger, R. A dominóprobléma eldönthetetlensége  //  Emlékiratok az Amerikai Matematikai Társaságról. - 1966. - 1. évf. 66 . - 1-72 . o .
  25. ↑ R. Penrose (a link nem érhető el) . Burkolólapok Enciklopédia. Letöltve: 2013. augusztus 13. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 2.. 
  26. ↑ 1 2 Socolar J. Egy aperiodikus hatszögletű csempe  (határozatlan) . - . - arXiv : 1003.4279 .
  27. ↑ Socolar és Taylor aperiodikus lapkája . Maxwell démona. Letöltve: 2013. augusztus 18. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 2..
  28. ↑ Weisstein, Eric W. Spherical Polyhedron  a Wolfram MathWorld webhelyen .
  29. ↑ Coxeter, Bevezetés a geometriába, 1966, ch. 16. o. 415-440.
  30. ↑ 1 2 Martin Gardner . Matematikai rejtvények és szórakozás = Mathematical Puzzles and Diversions / Per. Yu. A. Danilova , szerk. Ya. A. Smorodinsky . - 2. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  31. ↑ Weisstein, Eric W. Háromszög csempézés  a Wolfram MathWorld webhelyén .
  32. ↑ Weisstein, Eric W. Négyszögletű csempézés  a Wolfram MathWorld webhelyén .
  33. ↑ Michael Rao . Kimerítő keresés a síkot burkoló domború ötszögek között Archiválva : 2017. augusztus 2. a Wayback Machine -nél
  34. ↑ A matematikus megtalálta az összes parketta sokszöget
  35. ↑ Weisstein, Eric W. HexagonTiling  a Wolfram MathWorld webhelyén .
  36. ↑ Weisstein, Eric W. Mozaik  a Wolfram MathWorld webhelyén .

Irodalom

Linkek