Prizma (geometria)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Sok egységes prizma

Hatszögletű prizma

Típusú

Egységes poliéder

Tulajdonságok

csúcstranzitív
konvex poliéder

Kombinatorika

Elemek

3 n él
2 n csúcs

Szempontok

Összesen – 2+ n
2 {n}
n {4}

4.4.n

Osztályozás

{n}×{} vagy t {2, n }

Dynkin diagram

Szimmetria csoport

D n h , [ n ,2], (* n 22), 4. n sorrend

Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A prizma ( a másik görög πρίσμα szóból "valami lefűrészelt") egy poliéder, amelynek két lapja egybevágó (egyenlő) sokszög , amelyek párhuzamos síkban helyezkednek el, a fennmaradó lapok pedig paralelogrammák , amelyeknek közös oldala van ezekkel a sokszögekkel. Ezeket a paralelogrammákat a prizma oldallapjainak , a fennmaradó két sokszöget pedig alapjainak nevezzük .

Az alapon fekvő sokszög határozza meg a prizma nevét: háromszög - háromszög prizma , négyszög - négyszög; ötszög - ötszögletű ( pentaprizma ) stb.

A prizma az általános értelemben vett (nem kör alakú) henger speciális esete .

Prizmaelemek

Név	Meghatározás	Megnevezések a rajzon	Rajz
Alapok	Két lap, amelyek egybevágó sokszögek, amelyek egymással párhuzamos síkban helyezkednek el.	$ABCDE$ , $KLMNP$
Oldalsó arcok	Minden arc, kivéve az alapokat. Mindegyik oldalfelület szükségszerűen paralelogramma.	$ABLK$ , , , , $BCML$ $CDNM$ $DEPN$ $EAKP$
Oldalsó felület	Oldallapok egyesítése.
Teljes felület	Az alapok és az oldalsó felület egyesítése.
Oldalsó bordák	Az oldallapok közös oldalai.	$AK$ , , , , $BL$ $CM$ $DN$ $EP$
Magasság	Egy szakasz, amely összeköti azokat a síkokat, amelyekben a prizma alapjai vannak, és merőleges ezekre a síkokra.	$KR$
Átlós	A prizma két olyan csúcsát összekötő szakasz, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.	$BP$
Átlós sík	A prizma oldalélén és az alap átlóján átmenő sík .	$EBP$
Átlós szakasz	A prizma és az átlós sík metszéspontja. A metszetben egy paralelogramma keletkezik, beleértve annak speciális eseteit - rombusz, téglalap, négyzet.	$EBLP$
Merőleges (merőleges) metszet	A prizma és az oldalélére merőleges sík metszéspontja.

Prism Properties

A prizma alapjai egyenlő sokszögek.
A prizma oldallapjai paralelogrammák.
A prizma oldalélei párhuzamosak és egyenlőek.
A prizma térfogata egyenlő magasságának és alapterületének szorzatával:

V=S\cdot h

A szabályos n -szögű alappal rendelkező prizma térfogata az

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}

(itt s a sokszög oldalának hossza).

A prizma teljes felülete egyenlő az oldalfelületének és az alapterületének kétszeresének összegével.
Egy tetszőleges prizma oldalfelületének területe , ahol a merőleges szakasz kerülete , az oldalél hossza. $S=P\cdot l$ $P$ $l$
Az egyenes prizma oldalfelületének területe , ahol a prizma alapjának kerülete, a prizma magassága. $S=P\cdot h$ $P$ $h$
A szabályos n -szögű alappal rendelkező egyenes prizma oldalfelületének területe egyenlő

A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.

A merőleges metszet merőleges a prizma összes oldalélére.
Egy merőleges metszet szögei a megfelelő oldaléleken lévő diéderszögek lineáris szögei.
A merőleges metszet minden oldalfelületre merőleges.
Az egyenes prizma kettős poliédere a bipiramis .

A prizmák típusai

Azt a prizmát, amelynek alapja paralelogramma , paralelcsőnek nevezzük .

Az egyenes prizma olyan prizma, amelynek oldalélei merőlegesek az alap síkjára, ami azt jelenti, hogy minden oldallap téglalap [1] .

A derékszögű téglalap alakú prizmát téglatestnek is nevezik . Az ilyen prizma Schläfli-szimbóluma { }×{ }×{ }.

A szabályos prizma olyan egyenes prizma, amelynek alapja egy szabályos sokszög . A szabályos prizma oldallapjai egyenlő téglalapok .

Az a szabályos prizma, amelynek oldallapjai négyzetek (amelynek magassága megegyezik az alap oldalával), egy félszabályos poliéder . Egy ilyen prizma Schläfli-szimbóluma t{2,p}. A szabályos bázisú és azonos élhosszúságú közvetlen prizmák a félig szabályos poliéderek két végtelen sorozatának egyikét alkotják ( a másik sorozatot az antiprizmák alkotják ).

A ferde prizmákat prizmáknak nevezzük, amelyek élei nem merőlegesek az alap síkjára.

A csonka prizma olyan poliéder, amelyet az alappal nem párhuzamos sík vág le a prizmáról [2] . A csonka prizma önmagában nem prizma.

Schlegel diagramok

háromszögű prizma	4 szögű prizma	5 szögű prizma	hatszögletű prizma	7 szögű prizma	nyolcszögletű prizma

Szimmetria

A szabályos bázisú derékszögű , n -szögű prizma szimmetriacsoportja a 4 n rendű D n h csoport , kivéve a kockát, amelynek a 48-as rendű O h szimmetriacsoportja, és a D 4h három változatát tartalmazza. alcsoportokként . _ forgatási csoport D n 2 n rendű , kivéve egy kocka esetében, amelynél a forgatási csoport O 24-es rendű, amelynek D 4 három változata van alcsoportként.

A D n h szimmetriacsoport akkor és csak akkor tartalmazza a központi szimmetriát , ha n páros.

Általánosítások

Prizmás poliéder

A prizmatikus poliéder egy prizma általánosítása 4-es vagy nagyobb dimenziójú terekben. A következő dimenzióba áthelyezett két ( n − 1 ) dimenziós poliéderből egy n -dimenziós prizmatikus poliédert szerkesztünk .

A prizmatikus n -dimenziós politóp elemeit megduplázzuk az ( n − 1 )-dimenziós politóp elemeiből, majd a következő szint új elemei jönnek létre.

Vegyünk egy n - dimenziós poliédert ( i -dimenziós lap , i = 0, …, n ). Egy prizmatikus ( )-dimenziós poliédernek i dimenziójú elemei lesznek (for , ). $f_{i}$ $n+1$ ${\displaystyle 2f_{i}+f_{-1))$ $f_{-1}=0$ $f_{n}=1$

Méretek szerint:

Vegyünk egy n csúcsú és n oldalú sokszöget . 2 n csúcsú, 3 n élű és lapú prizmát kapunk . $2+n$
Vegyünk egy poliédert v csúcsokkal , e élekkel és f lapokkal. Kapunk egy (4 dimenziós) prizmát 2 v csúcsokkal, élekkel, lapokkal és cellákkal. $2e+v$ $2f+e$ $2+f$
Vegyünk egy 4 dimenziós poliédert v csúcsokkal, e élekkel, f lapokkal és c cellákkal. Kapunk egy (5 dimenziós) prizmát 2 v csúcsokkal, élekkel, (2 dimenziós) lapokkal, cellákkal és hipercellákkal. $2e+v$ $2f+e$ $2c+f$ $2+c$

Egységes prizmás poliéder

A { p , q , ..., t } Schläfli-szimbólum által képviselt szabályos n -politóp egy ( n +1 ) dimenziójú, egységes prizmatikus politópot alkothat, amelyet két Schläfli-szimbólum közvetlen szorzata képvisel : { p , q ,. .., t } ×{}.

Méretek szerint:

A 0-dimenziós poliéder prizma egy olyan szakasz , amelyet az üres Schläfli-szimbólum {} jelképez.
Az 1-dimenziós poliéder prizma két szegmensből nyert téglalap . Ezt a prizmát a Schläfli-szimbólumok {}×{} szorzataként ábrázoljuk. Ha a prizma négyzet , akkor a jelölést le lehet rövidíteni: {}×{} = {4}.
- Példa: Négyzet, {}×{}, két párhuzamos szegmens, amelyeket két másik szegmens köt össze, oldalak .
A sokszögű prizma egy háromdimenziós prizma, amely két sokszögből áll (az egyik a másik párhuzamos fordításával keletkezik), amelyeket téglalapok kötnek össze. Egy szabályos sokszögből { p } homogén n -szögű prizmát kaphatunk, amelyet a { p }×{} szorzat képvisel. Ha p = 4 , a prizma kocka lesz : {4}×{} = {4, 3}.
- Példa: Ötszögű prizma , {5}×{}, két párhuzamos ötszög , amelyeket öt derékszögű oldal köt össze .
Két poliéderből (az egyik a másik párhuzamos transzlációjával kapott) kapott 4-dimenziós prizma, összekötő 3-dimenziós prizmacellákkal. A { p , q } szabályos poliéderből homogén 4 dimenziós prizmát kaphatunk, amelyet a { p , q }×{} szorzat képvisel. Ha a poliéder egy kocka, és a prizma oldalai is kockák, akkor a prizma tesserakttá válik : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Példa: dodekaéder prizma , {5, 3}×{}, két párhuzamos dodekaéder , amelyeket 12 ötszögletű prizma ( oldalak ) köt össze.
…

A magasabb dimenziós prizmás poliéderek is léteznek bármely két poliéder közvetlen termékeként . A prizmás poliéder mérete megegyezik a szorzat elemei méreteinek szorzatával. Az ilyen szorzat első példája 4-dimenziós térben létezik, és duoprizmáknak hívják , amelyeket két sokszög szorzásával kapunk. A szabályos duoprizmákat a { p }×{ q } szimbólum jelöli.

Szabályos prizmák családja

Konfiguráció	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Poligon
Mozaik

Csavart prizma és antiprizma

A csavart prizma egy nem konvex prizmás poliéder, amelyet egyenletes q -szögből kapunk úgy, hogy az oldallapokat egy átlóval elosztjuk, és a felső alapot általában radiános ( fokos) szögben elforgatjuk olyan irányba, amelyben az oldalak homorúak lesznek. [3] [4] . ${\frac {\pi }{q}}$ ${\frac {180}{q))$

A csavart prizmát nem lehet tetraéderre törni anélkül, hogy új csúcsokat ne hoznánk létre. A legegyszerűbb példát háromszög alapokkal Schoenhardt poliédernek nevezik .

A csavart prizma topológiailag azonos egy antiprizmával , de szimmetriáinak fele van : D n , [ n ,2] + , 2 n rendű . Ezt a prizmát konvex antiprizmának tekinthetjük, amelyben a tetraéderek a háromszögpárok között vannak eltávolítva.

háromszög alakú	négyszögű		12 oldalas
Schoenhardt poliéder	Csavart négyzet alakú antiprizma	Négyzet alakú antiprizma	Csavart kétszögletű antiprizma

Kapcsolódó poliéderek és burkolólapok

Szabályos prizmák családja

Konfiguráció	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Poligon
Mozaik

Domború kupolák családja

n	2	3	négy	5	6
Név	{2} \|\| t{2}	{3} \|\| t{3}	{4} \|\| t{4}	{5} \|\| t{5}	{6} \|\| t{6}
kupola	Átlós kupola	Három lejtős kupola	Négyszögű kupola	öt lejtős kupola	Hatszögletű kupola (lapos)
Rokon egységes poliéderek	háromszög prizma	Cuboctahedron	Rombicubo- oktaéder	Rhombicos dodekaéder	Rhombotry – hatszögletű mozaik

Szimmetriák

A prizmák topológiailag részei a (3.2n.2n) és [n,3] csúcskonfigurációjú , egyenletes csonka poliéderek sorozatának.

Szimmetriai lehetőségek * n 32 csonka csempe: 3,2 n .2 n
Szimmetria * n 32 [n,3]	gömbölyű				euklideszi	Kompakt hiperbolikus.		Parakompakt _	Nem kompakt hiperbolikus.
Szimmetria * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Csonka alakok
Konfiguráció	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14	3.16.16	3.∞.∞	3.24i.24i	3.18i.18i	3.12i.12i
Osztott figurák
Konfiguráció	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

A prizmák topológiailag részei egy ferde poliéder sorozatának csúcsalakokkal (3.4.n.4) és a hiperbolikus síkon lévő csempézettekkel . Ezeknek a csúcstranzitív figuráknak (*n32) tükörszimmetriája [ .

Szimmetriai lehetőségek * n 42 kiterjesztett burkolólap: 3.4. n.4 _
Szimmetria * n 32 [n,3]	gömbölyű				euklideszi	Kompakt hiperbolikus		Parakompakt
Szimmetria * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Ábra
Konfiguráció	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Összetett poliéder

A háromszög alakú prizmák 4 egységes vegyülete létezik:

Négy háromszögprizma összekapcsolása , nyolc háromszögprizma összekapcsolása , tíz háromszögprizma összekapcsolása , tizenkét háromszögprizma összekapcsolása . Honeycombs

9 egységes méhsejt létezik , beleértve a háromszög alakú prizma alakú sejteket:

giroszkóposan megnyúlt váltakozó köbös lépek ,
hosszúkás váltakozó köbös lépek ,
elforgatott háromszög alakú prizmás lépek ,
snub square prizmatikus méhsejt ,
háromszög alakú prizmás lépek ,
háromszög-hatszög alakú prizmás lépek ,
csonka hatszögletű prizmás lépek ,
rombotrihexagonális prizmás méhsejt ,
hatszögletű prizmás lépek ,
hosszúkás háromszög hasáb alakú lépek .

Kapcsolódó politópok

A háromszögprizma az első poliéder a félig szabályos poliéderek sorozatában . Minden következő egyenletes poliéder tartalmazza az előző poliédert csúcsalakként . Thorold Gosset 1900-ban azonosította ezt a sorozatot, mint amely tartalmazza a szabályos többdimenziós poliéderek összes oldalát , minden egyszerűséget és ortoplexet ( háromszög alakú prizmák esetében szabályos háromszögeket és négyzeteket ). A Coxeter - jelölésben egy háromszög alakú prizmát a −1 21 szimbólum ad meg .

k 21 n méretű térben
Tér	végső						euklideszi	Hiperbolikus
E n	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz
Coxeter csoport	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E₆	E₇	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈ +	E 10 = T 8 = E 8 ++
Coxeter diagram
Szimmetria	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Rendelés	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Grafikon							-	-
Kijelölés	−1 21	0 21	1 21	221 [ hu	3 21	4 21_	5 21_	6 21

Négydimenziós tér

A háromszög alakú prizma cellaként szolgál egy 4-dimenziós egységes 4-dimenziós poliéderek halmazában , beleértve:

tetraéder prizma	oktaéder prizma	kockaéder prizma	ikozaéder prizma	ikozidodekaéder prizma	csonka dodekaéder prizma

rombikoszi – dodekaéder prizma	rombkocka - oktaéder prizma	csonka köbös prizma	snub dodekaéder prizma	n-szögű antiprizmatikus prizma

ferde 5 cellás	ferde csonka 5 cellás	gyalult 5 cellás	eke csonka 5 cellás	ferde tesseract	ferde-csonkított tesseract	gyalult tesseract	szántás csonka tesserakt

ferde 24 cellás	ferde csonka 24 cellás	gyalult 24 cellás	szántás csonka 24 cellás	ferde 120 cellás	ferde csonka 120 cellás	gyalult 120 cellás	szántás csonka 120 cellás

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kern, Bland, 1938 , p. 28.
↑ Csonka prizma // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
↑ Gorini, 2003 , p. 172.
↑ Csavart prizmák rajzai . Letöltve: 2019. január 28. Az eredetiből archiválva : 2019. január 29. (határozatlan)

Irodalom

William F. Kern, James R. Bland. Szilárd mérés igazolásokkal . – 1938.
Catherine A. Gorini. Az aktában lévő tények: Geometriai kézikönyv. - New York: Infobase Publishing, 2003. - (Tények az aktában). - ISBN 0-8160-4875-4 .
Anthony Pugh. 2. fejezet: Arkhimédeszi poliéderek, prizmák és antiprizmák // Poliéder: vizuális megközelítés. - Kalifornia: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Prism (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
George Olshevsky . " Prizmás politóp ". Szószedet a hipertérhez.
Nem domború prizmák és antiprizmák (lefelé irányuló kapcsolat 2018-03-12 óta [1696 nap])
Felületi terület MATHguide
kötet MATHguide
Prizmák és antiprizmák papírmodellei
Prizmák és antiprizmák papírmodellei Stella [ .
Stella: Polyhedron Navigator : Az ezen az oldalon látható 3D és 4D képek készítésére szolgáló programok.

Poliéder

Helyes

Háromdimenziós (platonikus szilárd testek)	szabályos tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder ikozaéder
4D	Ötcellás tesserakt Hexadecimális sejt huszonnégy cella 120 cella Hatszáz sejt
Nagyobb méret (zárójelben jelölve)	Szabályos szimplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoktaéder

Szabályos
, nem domború

Háromdimenziós az
arcok számával (zárójelben jelölve)

Monoéder (1)
Diéder (2)
Triéder (3)
Tetraéder (4)
Pentaéder (5)
Hexaéder (6)
Heptaéder (7)
Oktaéder (8)
Enneaéder (9)
Dekaéder (10)
Endekaéder (11)
Dodekaéder (12)
Tridekaéder (13)
Tetradekaéder (14)
Pentadekaéder (15)
Hexadekaéder (16)
Heptadekaéder (17)
Oktadekaéder (18)
Enneadekaéder (19)
Ikozaéder (20)
Ikozotetraéder (24)
Triakontaéder (30)
Hexacontahedron (60)
Enneakontaéder (90)
Hektotriadioéder (132)
Apeiroéder (∞)

konvex

Arkhimédeszi szilárd testek

Katalán testek

Prizmák
háromszög prizma négyszögű prizma Ötszögletű prizma Hatszögletű prizma Hétszögű prizma Nyolcszögletű prizma Kilencszögű prizma Tízszögű prizma Tizenegy szögű prizma Dodecagonal prizma

Johnson poliéder

Képletek ,
tételek ,
elméletek

Egyéb