Hiperbola (matematika)

A hiperbola ( más görögül ὑπερβολή , ὑπερ - "felül" + βαλειν - "dobás") az euklideszi sík M pontjainak helye , amelyre a távolságok és a távolságok különbségének abszolút értéke (az M - től a kiválasztott pontig ) állandó. Pontosabban, $F_{1}$ $F_{2}$

{\bigl |}|F_{1}M|-|F_{2}M|{\bigr |}=2a,

és

|F_{1}F_{2}|>2a>0.

Az ellipszissel és a parabolával együtt a hiperbola egy kúpszelet és egy négyzet . A hiperbola egynél nagyobb excentricitású kúpszelvényként definiálható .

Történelem

A „hiperbola” kifejezést ( görögül ὑπερβολή – többlet) Pergai Apollóniosz vezette be (i. e. 262 körül – ie 190 körül ), mivel a hiperbola pontjának megalkotásának problémája a felesleggel való alkalmazás problémájára redukálódik.

Definíciók

A hiperbola többféleképpen definiálható.

Kúpszelet

A hiperbola olyan pontok halmazaként definiálható, amelyek egy körkúp metszetének eredményeképpen alakulnak ki egy olyan síkkal , amely a kúp mindkét részét levágja. A kúp sík általi vágásának további eredménye a parabola , az ellipszis és az olyan degenerált esetek, mint például a metsző és egybeeső egyenesek és egy pont, amelyek akkor keletkeznek, amikor a vágási sík áthalad a kúp csúcsán. Különösen az egymást metsző vonalak tekinthetők degenerált hiperbolának, amely egybeesik aszimptotáival.

A pontok helyeként

Trükkökön keresztül

A hiperbola úgy definiálható, mint a pontok lokusza , a távolságok különbségének abszolút értéke, amelytől két adott ponthoz, úgynevezett góchoz vezet, állandó.

Összehasonlításképpen: bármely pontjától a fókuszpontokig tartó távolságok állandó összegének görbéje ellipszis , állandó aránya Apollonius köre , állandó szorzata a Cassini ovális .

Az igazgatónőn és a fókuszon keresztül

Hiperbolának nevezzük azoknak a pontoknak a helyét, amelyeknél a távolságnak a fókuszhoz és egy adott egyeneshez viszonyított aránya, úgynevezett direktrix , állandó és nagyobb egynél. Az adott állandót a hiperbola excentricitásának nevezzük . $\varepsilon >1$

Kapcsolódó definíciók

A hiperbola két különálló görbéből áll, amelyeket ágaknak nevezünk .
A hiperbola két egymáshoz legközelebb eső ágának pontjait csúcsnak nevezzük .
A hiperbola két ága közötti legrövidebb távolságot a hiperbola nagytengelyének nevezzük .
A nagytengely közepét a hiperbola középpontjának nevezzük.
A hiperbola középpontjától az egyik csúcsig terjedő távolságot a hiperbola félnagytengelyének nevezzük .
- Általában a jelöléssel .
A hiperbola középpontja és az egyik góc távolságát gyújtótávolságnak nevezzük .
- Általában c -vel jelölik .
A hiperbola mindkét góca a nagy tengely folytatásán fekszik, azonos távolságra a hiperbola középpontjától. A hiperbola főtengelyét tartalmazó egyenest a hiperbola valós vagy keresztirányú tengelyének nevezzük.
A valós tengelyre merőleges és annak középpontján átmenő egyenest a hiperbola képzeletbeli vagy konjugált tengelyének nevezzük.
A hiperbola fókuszpontja és a hiperbola közötti, a valós tengelyére merőleges szakaszt fókuszparaméternek nevezzük .
A fókusz és a hiperbola aszimptota közötti távolságát ütközési paraméternek nevezzük .
- Általában b -vel jelölik .
A testek hiperbolikus pályákon való mozgásával kapcsolatos problémáknál a fókusz és a hiperbola legközelebbi csúcsa közötti távolságot pericentrikus távolságnak nevezzük.
- Általában jelölik . $r_{p}$

Arányok

A hiperbola fent definiált jellemzőire a következő összefüggések vannak

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2))$ .
$\varepsilon=c/a$ .
$b^{2}=a^{2}\left(\varepsilon ^{2}-1\right)$ .
$r_{p}=a\left(\varepsilon -1\right)$ .
$a={\frac {p}{\varepsilon ^{2}-1))$ .
${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-1))))$ .
$c={\frac {p\varepsilon }{\varepsilon ^{2}-1}}$ .
$p={\frac {b^{2}}{a}}$ .

Equosceles hiperbola

Egy hiperbolát, amelyben , egyenlő szárúnak vagy egyenlő oldalúnak nevezzük . Egy egyenlő szárú hiperbolát valamilyen téglalap alakú koordinátarendszerben ír le az egyenlet $a=b$

xy=a^{2}/2,

ebben az esetben a hiperbola fókuszai az ( a , a ) és a (− a , − a ) pontokban helyezkednek el. Az egyenlő oldalú hiperbola a képlet által megadott fordított arányosság grafikonja

y={\frac {k}{x)),\quad k\neq 0.

Az ilyen hiperbola excentricitása . ${\sqrt {2}}$

Cypert hiperbolája

Egy egyenlő oldalú hiperbola, mint Kiepert-hiperbola háromszögek segítségével határozható meg trilineáris koordinátákkal [1] , mint pontok lokusza (lásd az ábrát): $N$

Ha három háromszög , amelyek a háromszög oldalaira épülnek , hasonlóak , egyenlő szárúak , az eredeti háromszög oldalain lévő alapokkal, és azonos elhelyezkedésű (vagyis mind kívülről vagy belülről épül fel), akkor a vonalak , és egy pontban metszik egymást .

XBC

YCA

ZAB

ABC

AX

BY

CZ

N

Ha az alapnál a közös szög , akkor a három háromszög csúcsai a következő trilineáris koordinátákkal rendelkeznek: $\theta$

X{\big (}-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ){\big )},

Y{\big (}\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ){\big )},

Z{\big (}\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta {\big )}.

Egyenletek

Derékszögű koordináták

A hiperbolát egy másodfokú egyenlet derékszögű koordinátákkal ( x , y ) ad meg a síkon:

A_{{xx}}x^{{2}}+2A_{{xy}}xy+A_{{yy}}y^{{2}}+2B_{{x}}x+2B_{{y}} y+C\,=\,0

ahol az A xx , A xy , A yy , B x , B y és C együtthatók kielégítik a következő összefüggést

D={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0

és

\Delta :={\begin{vmátrix}A_{{xx}}&A_{{xy}}&B_{{x}}\\A_{{xy}}&A_{{yy}}&B_{{y}}\\ B_{{x}}&B_{{y}}&C\end{vmatrix}}\not =0.

Kanonikus forma

A hiperbola középpontjának az origóba való mozgatásával és a középpont körüli elforgatásával a hiperbola egyenlete a kanonikus alakra redukálható:

{\frac {{x}^{{2}}}{a^{{2}}}}-{\frac {{y}^{{2}}}{b^{{2}}}}= egy

hol van a hiperbola valós féltengelye; - a hiperbola képzeletbeli féltengelye [2] . Ebben az esetben az excentricitás az $a$ $b$

\varepsilon ={\frac {c}{a}}={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.

Poláris koordináták

Ha a pólus a hiperbola fókuszában van, és a hiperbola csúcsa a poláris tengely folytatásán fekszik, akkor

r={\frac {p}{1-\varepsilon \cos \varphi }}

Ha a pólus a hiperbola fókuszában van, és a poláris tengely párhuzamos az egyik aszimptotával, akkor

{\frac {1}{r}}={\frac {a}{b^{2}}}\left(1-\cos \theta \right)+{\frac {1}{b}}\sin \theta

Egyenletek parametrikus formában

Ahogyan egy ellipszist ábrázolhatunk trigonometrikus függvényeket tartalmazó parametrikus egyenletekkel, egy olyan téglalap alakú koordinátarendszerben lévő hiperbolát, amelynek középpontja megegyezik a középpontjával, és az x tengely áthalad a fókuszokon, hiperbolikus függvényeket tartalmazó parametrikus egyenletekkel ábrázolhatjuk [3 ] .

${\begin{cases}x=\pm a\operatorname {ch} t,\\y=b\operatorname {sh} t,\end{cases}}\quad -\infty <t<+\infty .$

Az első egyenletben a "+" jel a hiperbola jobb oldali ágának, a "-" - pedig a bal ágának felel meg.

Tulajdonságok

optikai tulajdonság. A hiperbola egyik gócában elhelyezkedő forrásból származó fényt a hiperbola második ága veri vissza úgy, hogy a visszavert sugarak folytatásai a második fókuszban metszik egymást.
- Más szóval, ha a és a hiperbola fókuszai, akkor a hiperbola bármely pontjában lévő érintő a szög felezője . $F_{1}$ $F_{2}$ $x$ $\angle F_{1}XF_{2}$
A hiperbolán elhelyezkedő bármely pontnál az ettől a ponttól a fókusztól mért távolságok és az ugyanazon pont és a direktrix közötti távolság aránya állandó érték.
A hiperbolának tükörszimmetriája van a valós és a képzeletbeli tengely körül, valamint forgásszimmetriája van, ha 180°-os szögben elforgatjuk a hiperbola közepe körül.
Minden hiperbolának van egy konjugált hiperbolája , amelynél a valós és a képzeletbeli tengely felcserélődik, de az aszimptoták ugyanazok maradnak. A konjugált hiperbola nem a kezdeti hiperbola 90°-os elforgatásának eredménye; a hiperbolák alakjukban különböznek egymástól . $a \neq b$
A hiperbola két aszimptota közé zárt érintőszakaszát a hiperbola minden pontjában kettéosztjuk az érintőponttal, és a két aszimptotából egy állandó területű háromszöget vágunk le.

Aszimptoták

Aszimptota egyenletek kanonikus formában adott hiperbolára

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

az alábbiak szerint kerülnek kiadásra. Hadd . Tételezzük fel, hogy az aszimptota létezik, és alakja . Akkor $x,y>0$ $y=kx+l$

k=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac ({\frac {b }{a}}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\ left({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\left({ \sqrt {{\frac {a^{2}}{x^{2}}}+1}}\right)={\frac {b}{a}}),

l=\lim _{x\to +\infty }\left(f(x)-kx\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a)) \left({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\cdot { \frac {a^{2}}{{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+x}}=0.

Így a két aszimptota egyenlete :

$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

vagy

{\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0.

Átmérők és akkordok

A hiperbola átmérője, mint bármely kúpszeletének, egy egyenes, amely párhuzamos húrok felezőpontjain halad át. A párhuzamos húrok minden irányának megvan a maga konjugált átmérője. A hiperbola minden átmérője áthalad a középpontján. A képzeletbeli tengellyel párhuzamos húroknak megfelelő átmérő a valós tengely; a valós tengellyel párhuzamos húroknak megfelelő átmérő a képzeletbeli tengely.

A párhuzamos húrok meredeksége és a megfelelő átmérő meredeksége összefügg az összefüggéssel $k$ $k_{1}$

k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1={\frac {b^{2}}{a^{2}}}.

Ha az a átmérő felezi a b átmérővel párhuzamos húrokat , akkor a b átmérő felosztja az a átmérővel párhuzamos húrokat . Az ilyen átmérőket kölcsönösen konjugáltnak nevezzük . A fő átmérőket kölcsönösen konjugált és egymásra merőleges átmérőknek nevezzük. A hiperbolának csak egy fő átmérőpárja van, a valós és a képzeletbeli tengely.

Érintő és normál

Mivel a hiperbola sima görbe, minden pontjában ( x 0 , y 0 ) rajzolhatunk egy érintőt és egy normált . A kanonikus egyenlet által adott hiperbola érintőjének egyenlete:

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1

vagy ami ugyanaz,

y=y_{0}+{\frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}\left(x-x_{0}\right)

Az érintőegyenlet levezetése
Egy tetszőleges lapos egyenes érintőegyenlete a következő alakkal rendelkezik $y-y_{0}=y'\left(x_{0},y_{0}\right)\cdot \left(x-x_{0}\right)$ A hiperbola kanonikus egyenlete függvénypárként ábrázolható $y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Ekkor ezeknek a függvényeknek a származéka alakja $y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}$ . Ezt az egyenletet behelyettesítve az általános érintőegyenletbe, megkapjuk $y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\left(x-x_{0} \jobb)$ ${\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}={\frac {x_{0}^{2}}{ a^{2}}}-{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$

Az érintőegyenlet levezetése

Egy tetszőleges lapos egyenes érintőegyenlete a következő alakkal rendelkezik

y-y_{0}=y'\left(x_{0},y_{0}\right)\cdot \left(x-x_{0}\right)

A hiperbola kanonikus egyenlete függvénypárként ábrázolható

y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}

Ekkor ezeknek a függvényeknek a származéka alakja

y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}

Ezt az egyenletet behelyettesítve az általános érintőegyenletbe, megkapjuk

y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\left(x-x_{0} \jobb)

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}={\frac {x_{0}^{2}}{ a^{2}}}-{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1

A normál és a hiperbola egyenlete a következőképpen alakul:

y=y_{0}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0} \jobb)

A normálegyenlet levezetése
Egy tetszőleges sík egyenes normálisának egyenlete a következő formában van $y-y_{0}={\frac {1}{y'\left(x_{0},y_{0}\right)}}\left(x_{0}-x\right)$ . A hiperbola kanonikus egyenlete függvénypárként ábrázolható $y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Ekkor ezeknek a függvényeknek a származéka alakja $y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}$ . Ha ezt az egyenletet behelyettesítjük a normál általános egyenletébe, azt kapjuk $y-y_{0}=-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0 }\jobb)$ .

A normálegyenlet levezetése

Egy tetszőleges sík egyenes normálisának egyenlete a következő formában van

y-y_{0}={\frac {1}{y'\left(x_{0},y_{0}\right)}}\left(x_{0}-x\right)

A hiperbola kanonikus egyenlete függvénypárként ábrázolható

y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}

Ekkor ezeknek a függvényeknek a származéka alakja

y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}

Ha ezt az egyenletet behelyettesítjük a normál általános egyenletébe, azt kapjuk

y-y_{0}=-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0 }\jobb)

Görbület és evolúció

A hiperbola görbületét minden pontjában ( x , y ) a következő kifejezés határozza meg:

K={\frac {ab}{\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{\frac {b^{2}}{a^{ 2}}}x^{2}\jobbra)^{{3/2}}}}

Ennek megfelelően a görbületi sugár alakja:

R={\frac 1K}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{\frac {b^{2}}{ a^{2}}}x^{2}\jobbra)^{{3/2}}}{ab}}

Különösen az ( a , 0 ) pontban a görbületi sugár az

R\left(a,0\right)={\frac {b^{2}}{a}}=p

A görbületi sugár képletének levezetése
A lapos vonal görbületi sugarának paraméteresen megadott képlete a következő: $R_{c}={\frac {\left(x'^{2}\ +y'^{2}\right)^{{3/2))}{\left\|x'y''-x' 'i'\jobbra\|}}$ . A hiperbola parametrikus ábrázolását használjuk: ${\begin{cases}x=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)\\y=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)\end{cases}}$ Ekkor x és y t -re vonatkozó első deriváltja alakja ${\begin{cases}x'=a\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)={\frac {a}{b}}y\\y'=b\cdot {\mathrm {ch} }\,(t)={\frac {b}{a}}x\end{cases}}$ , a második származék pedig az ${\begin{cases}x''=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)=x\\y''=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)=y \end{cases}}$ Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a görbületi képletbe, a következőket kapjuk: $R_{c}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b^{2}}{a^ {2}}}x^{2}\jobbra)^{{3/2}}}{\left\|a{\frac {y^{2}}{b}}-b{\frac {x^{ 2}}{a}}\right\|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b ^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab\left\|{\frac {y^{2}}{b}}- {\frac {x^{2}}{a}}\right\|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} \ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\jobbra)^{{3/2}}}{ab}}$ .

A görbületi sugár képletének levezetése

A lapos vonal görbületi sugarának paraméteresen megadott képlete a következő:

R_{c}={\frac {\left(x'^{2}\ +y'^{2}\right)^{{3/2))}{\left|x'y''-x' 'i'\jobbra|}}

A hiperbola parametrikus ábrázolását használjuk:

{\begin{cases}x=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)\\y=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)\end{cases}}

Ekkor x és y t -re vonatkozó első deriváltja alakja

{\begin{cases}x'=a\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)={\frac {a}{b}}y\\y'=b\cdot {\mathrm {ch} }\,(t)={\frac {b}{a}}x\end{cases}}

a második származék pedig az

{\begin{cases}x''=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)=x\\y''=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)=y \end{cases}}

Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a görbületi képletbe, a következőket kapjuk:

R_{c}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b^{2}}{a^ {2}}}x^{2}\jobbra)^{{3/2}}}{\left|a{\frac {y^{2}}{b}}-b{\frac {x^{ 2}}{a}}\right|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b ^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab\left|{\frac {y^{2}}{b}}- {\frac {x^{2}}{a}}\right|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} \ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\jobbra)^{{3/2}}}{ab}}

A görbületi középpontok koordinátáit egy egyenletpár adja meg:

{\begin{cases}x_{c}={\frac {x^{3}}{a^{2}}}\left(1+{\frac {b^{2}}{a^{2} }}\right)\\y_{c}=-{\frac {y^{3}}{b^{2}}}\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{ 2}}}\jobbra)\end{cases}}

Az utolsó egyenletrendszerbe behelyettesítve a hiperbola parametrikus ábrázolásából származó értékeket x és y helyett, egy egyenletpárt kapunk, amely egy új görbét határoz meg, amely a hiperbola görbületi középpontjaiból áll. Ezt a görbét a hiperbola evolúciójának nevezzük .

{\begin{cases}x=\pm a\,{\mathrm {ch))^{3}\,t\left(1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}} \right)\\y=b\,{\mathrm {sh}}^{3}\,t\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\jobb) \end{cases}}

Általánosítás

A hiperbola egy szinuszos spirál a . $n=-2$

Alkalmazás

A konfokális ( konfokális ) hiperbolák családja a konfokális ellipszisek családjával együtt kétdimenziós elliptikus koordinátarendszert alkot .

Más, hiperbolák felhasználásával épített ortogonális kétdimenziós koordinátarendszerek más konformális transzformációkkal is előállíthatók. Például a w = z² transzformáció leképezi a derékszögű koordinátákat két ortogonális hiperbolacsaládra.

Ha megfordítunk egy hiperbolát, amelynek középpontja a saját középpontjában, egy fókuszban vagy egy csúcsban van, megkaphatjuk a Bernoulli-lemniszkátot , a Pascal-csigát vagy a strophoidot .

Hiperbola sok napórán látható . Az év bármely napján a Nap egy kört ír le az égi szférán , a napóra gnomon tetejére eső sugarai pedig egy fénykúpot . Ennek a kúpnak a metszésvonala a vízszintes vagy függőleges napóra síkjával egy kúpszelvény . A legnépesebb szélességi körökön és az év nagy részében ez a kúpszelvény hiperbola. A napórákon gyakran az év több napján (például a nyári és a téli napforduló napjain) a gnomon tetejéről az árnyék által leírt vonalak láthatók, így gyakran mutatnak bizonyos hiperbolákat, amelyek megjelenése eltérő. az év különböző napjaira és különböző szélességi fokokra.

Az AMS -nek, legyőzve az őt befolyásoló főtest vonzerejét, és távol repülve tőle, zavarok hiányában hiperbolikus vagy parabolikus pályán kell haladnia , mivel ebben az esetben elméletileg el lehet távolodni ettől a testtől a végtelenbe. [4] . Különösen az AMS „ Voyager-1 ” és AMS „ Voyager-2 ” röppályái hiperbolikusak a Naphoz képest, excentricitásuk 3,7 és 6,3, fél-főtengelyei pedig 480,9 millió km, illetve 601,1 millió km . ] [ 6] . Egy égitest hiperbolikus pályája a Naprendszerben jelezheti csillagközi eredetét. A 2010-es évek végén fedezték fel az első csillagközi aszteroidát és az első csillagközi üstököst [7] , pályájuk hiperbolikus. A korábban ismert , kis excentricitású hiperbolikus pályával rendelkező üstökösök azonban csak csillagközivé válnak: miután a Naprendszerben eltöltött „életük” során egy olyan bolygóról, mint a Jupiter , perturbációt tapasztaltak , csillagközi pályára esnek [8] .

Lásd még

Hiperboloid
Háromszög körül körülírt hiperbolák
Maró
Kúpos szakaszok
Másodrendű görbe
Kör
Parabola
Ellipszis
A két pont közötti távolság állandó összegének görbéje ellipszis ,
A két pont közötti állandó távolságkülönbség görbéje hiperbola,
Az állandó reláció görbéje Apollóniosz köre ,
A konstans szorzat görbéje a Cassini ovális .
Simított nyolcszög § Felépítés

Jegyzetek

↑ Eddy, RH és Fritsch, R. Ludwig Kiepert kúpjai: Átfogó lecke a háromszög geometriájából. Math. Mag. 67, pp. 188-205, 1994.
↑ Schneider V.E. Rövid kurzus a felsőbb matematikából . — Ripol Classic. — ISBN 9785458255349 .
↑ Pogorelov A.V. Geometria . - M . : Nauka , 1983. - S. 15 -16. — 288 p.
↑ Sikharulidze Yu. G. Repülőgép ballisztikája. - M . : Nauka , 1982. - S. 162-163. - 5750 példány.
↑ Voyager - Hyperbolic Orbital Elements . NASA . Letöltve: 2019. október 29. Az eredetiből archiválva : 2021. május 6.. (határozatlan)
↑ Ulivi P., Harland DM Robotic Exploration of the Solar System. I. rész: Az aranykor 1957-1982 . - Springer, Praxis, 2007. - P. 441. - ISBN 978-0-387-49326-8 . Tartalmazza a Voyager 2 pályájának a Naphoz viszonyított excentricitását a Neptunusz elrepülése után .
↑ Az új csillagközi látogató elnevezése: 2I/Borisov . MAC (2019. szeptember 24.). Letöltve: 2019. szeptember 24. Az eredetiből archiválva : 2020. április 23. (határozatlan)
↑ Carl Sagan , Ann Druyan. üstökös . - New York: Ballantine Books, 1997. - P. 104. - ISBN 0-345-41222-2 .

Irodalom

Bronstein I. Hiperbola // Kvant . - 1975. - 3. sz .
Grave D. A. Hyperbolas // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Matematikai enciklopédia (5 kötetben). M.: Szovjet Enciklopédia , 1982.
Markushevich AI Figyelemre méltó görbék // Népszerű előadások a matematikáról . - Gostekhizdat, 1952. - Szám . 4 . Az eredetiből archiválva : 2008. szeptember 14.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy Szovjet (1 kiadás) Brockhaus és Efron Britannica (11.) Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4161034-9 NKC : ph973163

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg

Kúpos szakaszok
Főbb típusok	Ellipszis Hiperbola Parabola
Elfajzott	Pont Egyenes Egyenes vonalpár
Az ellipszis speciális esete	Kör
Geometriai konstrukció	kúpos szakasz Dandelin golyók Steiner tervezése
Lásd még	Kúpos állandó
Matematika • Geometria