Beírt és körülírt ábrák egy háromszöghez

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzésekhez 10 szerkesztés szükséges .

A háromszög geometriájának fontos eleme a háromszögbe írt vagy körülötte leírt alakok és görbék elmélete - körök , ellipszisek és mások.

Egy háromszög beírt és körülírt körei

Háromszög csúcsain átmenő körök

A körülírt kör (lásd a bal oldali ábrát) egy olyan kör, amely a háromszög mindhárom csúcsán áthalad. A körülírt kör mindig egyedi, kivéve, ha a háromszög speciális módon degenerált, azaz három csúcsa közül kettő nem esik egybe.

Johnson-kör - a három kör bármelyike (lásd a jobb oldali ábrát), amely áthalad a háromszög két csúcsán és annak ortocentrumán . Mindhárom Johnson-kör sugara egyenlő. A Johnson-körök olyan Hamilton-háromszögek körülírt köreiamelyeknek egy adott hegyesszögű háromszög két csúcsa két csúcs, és az ortocentruma a harmadik csúcs .

A háromszög oldalait érintő körök vagy azok kiterjesztése

A beírt kör (lásd a jobb oldali ábrát)a háromszög mindhárom oldalát érintő kör . Ő az egyetlen. A beírt kör középpontját középpontnak nevezzük .
- A beírt kör érintőpontjait a csúcsokkal összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást, ezt Gergonne-pontnak nevezzük . A Gergonne-pont izotómiailag konjugált a Nagel-ponttal (lásd alább).
A kör (lásd a jobb oldali ábrát) a háromszög egyik oldalát érintő kör, és a másik két oldal kiterjesztése. Három ilyen kör van egy háromszögben. Radikális középpontjuk a középső háromszög beírt körének középpontja , amelyet Spieker- középpontnak vagy Spieker-pontnak neveznek .
- Azok a szakaszok, amelyek összekötik a csúcsokat a körök érintési pontjaival a csúcsokkal, egy pontban metszik egymást, ezt Nagel-pontnak nevezzük .

A Malfatti -háromszög három köre (lásd a jobb oldali ábrát). Mindegyik érinti a háromszög két oldalát és két másik Malfatti-kört .
- Ha három egyenes vonalat rajzol, amelyek minden Malfatti-kör középpontját összekötik a másik kettő érintkezési pontjával, akkor ezek egy pontban metszik egymást - Ajima-Malfatti (Ajima-Malfatti) pontban [1] .

Három félig beírt kör vagy Verrier kör (lásd a bal oldali ábrát). Mindegyik érinti a háromszög és a körülírt kör két oldalát .
- A háromszög csúcsait és a Verrier-körök megfelelő érintési pontjait a körülírt körrel összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást, ezt Verrier-pontnak nevezzük . Ez szolgál a G homotétia középpontjaként, amely a körülírt kört a beírt körre képezi le (Lásd az alábbi szürke ábrát).

Verrier-lemma [2] . A Verrier-körök (félkörök) érintési pontjaiaz oldalakkal egy egyenes vonalon helyezkednek el, amely átmegy a beírt kör középpontján ( incenter ) (lásd az alábbi szürke ábrát).

Beírt és körülírt körök sugarai

A következő képletek tartalmazzák a körülírt R és a beírt r kör sugarait:

R={\frac {abc}{{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))))={\frac {abc }{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))))

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))}={\sqrt { \frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}},

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c} }}

ahol a háromszög fél kerülete, h a stb., a megfelelő oldalakhoz húzott magasságok; [3] :70.o $p$

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[négy]

és

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

A háromszög két oldalának szorzata egyenlő a magasság és a harmadik oldal szorzata és a körülírt kör átmérője szorzata. [3] :64.o .:

ab=h_{c}(2R)

Ha a medián m , a h magasság és a belső felező t a háromszög ugyanazon csúcsából jön ki, amely körül egy R sugarú kör van körülírva , akkor [3] :p.122,#96

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

Egymást érintő körök egy háromszögben

Három Malfatti-kör páronként érinti egymást a háromszögön belül. (lásd fent)
A kilencpontos kör vagy az Euler-kör érinti abelsejében lévő beírt kört a Feuerbach-pontban .

Körök, amelyek kölcsönösen érintők a háromszögön kívül

Három Verrier-kör érinti a háromszögön kívüli körülírt kört .
A kilencpontos kör vagy Euler-kör külső módonérint három kört a háromszögön kívül ( Feuerbach-tétel , lásd az ábrát).

Apollonius köre belül három kört érint a háromszögön kívül (lásd az ábrát)

A három Johnson-kör (lásd fent) kívülről érinti az ΔABC háromszög anti- komplementer körét (piros a fenti jobb oldali ábrán, sugár 2r). A Johnson-körök középpontjai a H magasságok közös metszéspontját és e három kör érintkezési pontját az antikomplementer körrel összekötő szakaszokon (narancssárga) helyezkednek el. . Ezek az érintési pontok egy anti- komplementer vagy (ami ugyanaz) anti-komplementer háromszöget alkotnak (a fenti ábrán zöld). $\háromszög P_{A}P_{B}P_{C}$

Egyéb körök

A hat háromszög körülírt köreinek középpontjai, amelyekre a háromszöget a mediánok osztják, egy körön helyezkednek el, amelyet Lamun körének neveznek .

Ha minden csúcsból háromszögeket rakunk ki az oldalakat tartalmazó egyenesekre, a szemközti oldalakkal egyenlő hosszúságú szakaszokat, akkor a kapott hat pont egy körön található - a Conway-körön .

Háromszög oldalait metsző körök

A kilenc pontból álló kör egy olyan kör, amely átmegy a háromszög mindhárom oldalának felezőpontján és magasságának három alapján.
A Taylor-kör egy olyan kör, amely hat ponton halad át a háromszög három magassági alapjának hat vetülete formájában, amelyek mindegyik oldalát metszik a fennmaradó két oldalra.

A kúp perspektívájának meghatározása

Egy háromszögbe végtelenül sok kúp ( ellipszis , parabola vagy hiperbola ) írható.
Ha egy tetszőleges kúpot írunk egy háromszögbe , és az érintkezési pontok egymással ellentétes csúcsokkal vannak összekötve, akkor a kapott vonalak egy pontban metszik egymást, ezt a kúp perspektívájának nevezzük .
A sík bármely olyan pontjához, amely nem fekszik az egyik oldalon vagy annak meghosszabbításán, van egy perspektívával rendelkező, beírt kúp ebben a pontban [5] .

Háromszög ellipszisei

A beírt Steiner-ellipszis definíciója

Egy háromszögbe végtelen számú ellipszis írható be . Ezenkívül a beírt ellipszisek gócai izogonálisan konjugáltak.
Egyetlen ellipszis beírható egy háromszögbe, amely az oldalakat a felezőpontjukban érinti. Az ilyen ellipszist beírt Steiner-ellipszisnek nevezzük ( perspektívája a háromszög súlypontja lesz ) [6] .
"A kúp perspektívájának meghatározása " (beleértve a kúp-ellipszist is) lásd fent.

A körülírt Steiner-ellipszis definíciója

Egy háromszög körül végtelen számú ellipszist írhatunk körül .
Egy háromszög közelében egyetlen ellipszis írható le , amely érinti a csúcsokon átmenő és az oldalakkal párhuzamos egyeneseket. Az ilyen ellipszist körülírt Steiner-ellipszisnek nevezzük .
A leírt Steiner-ellipszis fókuszait Skutin-pontoknak nevezzük .
A körülírt Steiner-ellipszis gócain keresztül húzott Cevians ( Skutin-pontok ) egyenlők ( Skutin-tétel )

A Steiner-ellipszis affin transzformációja

Ha affin transzformációval ("ferdítés") egy tetszőleges léptékű háromszöget szabályos háromszöggé fordítunk , akkor a beírt és körülírt Steiner-ellipszisei a beírt és körülírt körökbe kerülnek [7] .

Brocard ellipszis

Az olyan ellipszist, amelynek fókuszai a Brocard pontjaiban vannak, Brocard ellipszisnek nevezzük . Perspektívája a Lemoine-pont [8] .

Ellipse Mandart (Mandart inellipsis)

Az ABC háromszög Mandart (vagy Mandara)ellipszis - egy háromszögbe írt ellipszis, amely az oldalait érinti a körökkel való érintkezési pontokon ( a Nagel-háromszög csúcsainál) (lásd a jobb oldali ábrát).
A T A T B T C Nagel-háromszög körül leírt kört Mandart-körnek nevezzük (a Mandart-ellipszis speciális esete ).

Johnson-ellipszis

Hat pont - a referenciaháromszög csúcsai és annak Johnson-háromszögének csúcsai - a Johnson-ellipszisen (ábra a bal oldalon) fekszik, amelynek középpontja kilenc pont közepén , a referencia X (216) pontja van. háromszög a perspektívapontja . A körülírt ellipszisnek és a körülírt körnek négy közös pontja van - a referenciaháromszög három csúcsa és az X (110) pont.

Egy háromszögbe írt tetszőleges ellipszis relációja

Ha egy tetszőleges ellipszis van beírva az ABC háromszögbe, és P és Q fókusza van , akkor a [9] összefüggés érvényes rá :

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}({\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB }}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac ({\overline {PC}}\cdot {\overline {QC }} ))}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Háromszögbe írt parabolák

Egy háromszögbe végtelen számú parabola írható fel .

A háromszögbe írt parabolák perspektívái a leírt Steiner-ellipszisre fekszenek (lásd fent) [10] . A beírt parabola fókusza a körülírt körön van , a direktrix pedig az ortocentrumon halad át [11] .

Kiepert parabolája

Az Euler-egyenes irányítószámú háromszögbe írt parabolát Kiepert- parabolának nevezzük . Perspektívája a körülírt kör és a körülírt Steiner-ellipszis negyedik metszéspontja , amelyet Steiner-pontnak neveznek .

Háromszög körül körülírt hiperbolák

Egy háromszög közelében végtelenül sok hiperbola írható le .
Ha a háromszög közelében leírt hiperbola átmegy a magasságok metszéspontján, akkor egyenlő oldalú (azaz aszimptotái merőlegesek) [12] . Egy egyenlő oldalú hiperbola aszimptotáinak metszéspontja a kilenc pontból álló körön található [12] .

Cypert hiperbolája

A Kiepert hiperbola egy körülírt hiperbola , amely egy centroidon és egy ortocentrumon halad át. Ha hasonló egyenlő szárú háromszögeket épít a háromszög oldalaira (kifelé vagy befelé), majd ezek csúcsait összekapcsolja az eredeti háromszög szemközti csúcsaival, akkor három ilyen egyenes metszi egymást egy pontban, a Kiepert-hiperbolán fekve . Ezen a hiperbolán különösen a Torricelli-pontok és a Napóleon -pontok (Cevian metszéspontok, amelyek a csúcsokat az ellentétes oldalakra épült szabályos háromszögek középpontjaival kötik össze) fekszenek [13] .

Enzhabek hiperbolája

Az Enzhabek-hiperbola egy körülírt hiperbola, amely az ortocentrumon és a Lemoine-ponton halad át . A körülírt kör középpontja rajta fekszik .

Feuerbach-hiperbola és Feuerbach-pont

A Feuerbach-hiperbola egy körülírt hiperbola, amely áthalad a beírt kör ortocentrumán és középpontján . Központja a Feuerbach pontnál található . A Feuerbach-hiperbola pontjainak Poder- és cevian-körei átmennek egy Feuerbach-ponton .
Különösen egy kör halad át a Feuerbach-ponton , amelyet a felezők alapjain húznak át . [tizennégy]

Kilencpontos kúp

A teljes négyszög kilenc pontjából álló kúpszelet egy teljes négyszög három átlós pontján és hat oldalfelező pontján áthaladó kúpszelvény. ábrán. a teljes négyszög négy pontjának Bocher - kúpja egy háromszög három csúcsaként és egy független pontként jelenik meg:

Legyen adott egy ABC háromszög és egy P pont a síkon. Kúpmetszet rajzolható a következő kilenc ponton keresztül: az ABC háromszög oldalainak felezőpontjai , a P -t a háromszög csúcsaival összekötő szakaszok felezőpontjai , azokat a pontokat, ahol ezek a P - n átmenő egyenesek és a háromszög csúcsai metszik a háromszög oldalait.

A híres kilencpontos kör a Bocher- kúp egyik példája .

Kocka

Háromszög kockák katalógusa) egy online forrás, amely több mint 1200 köbös görbéről tartalmaz részletes információkat a referenciaháromszög síkjában. Az erőforrást Bernard Gilbert tartja karban. Az erőforrásban lévő minden kockához egyedi "Knnn" azonosítószám tartozik, ahol az "nnn" három számjegyből áll. A címtár első bejegyzésének azonosító száma "K001", amely az ABC referenciaháromszög Neuberg-kockája . A katalógus többek között a következő információkat tartalmazza az alább felsorolt kockák mindegyikéről:
Baricentrikus görbe egyenlet
A görbén fekvő háromszögek középpontjainak listája
Egy görbe szinguláris pontjai, amelyek nem háromszög középpontjai
A görbe geometriai tulajdonságai
A görbe lokusz tulajdonságai
Egyéb speciális görbe tulajdonságok
A köbös görbével kapcsolatos egyéb görbék
Sok szép és rendezett figura, amely különféle tulajdonságokat illusztrál
Görbe irodalmi hivatkozások

A kocka ( köbös görbe) egy harmadrendű görbe (harmadfokú egyenlet által adott). A háromszöggel társított csodálatos kockák közül sok a következő módon épül fel: egy pont a síkban (esetleg a végtelenben) rögzített. Ekkor az a ponthalmaz , ahol az egyenes átmegy ezen a ponton, egy háromszögre körülírt kocka (itt egy ponthoz, amely izogonálisan konjugált -hoz ). Az ilyen kockák áthaladnak a beírt és a körvonalak középpontján, valamint magán a rögzített ponton és annak izogonális konjugátumán [15] . $x$ $XX'$ $X'$ $x$

A Darboux-kockát úgy kapjuk meg, hogy rögzítünk egy pontot, amely szimmetrikus az ortocentrumra a körülírt kör középpontjához képest. Áthalad a pontokon: incenter , orthocenter , a körülírt kör középpontja, Longchamps X(20) pont, egyéb pontok, valamint az A, B, C csúcsokon, a körkörök középpontjain, a csúcsok antipódusain keresztül A, B, C a körülírt körön. Áthalad a körülírt kör ortocentrumán és középpontján. A listában a Darboux-kocka Gibert-háromszögének (Bernard Gibert) síkján lévő kocka K004 -ként szerepel [16] .
Lukács kocka . Áthalad a pontokon: centroid , ortocentrum , Gergonne pont , Nagel pont , Longchamp pont , az antikomplementer háromszög csúcsain és a leírt Steiner-ellipszis fókuszain és másokon. A listában a Lucas-kocka háromszögsíkján lévő kocka K007 -ként szerepel [17] .
A McKay-kockát akkor kapjuk meg, ha a körülírt kör középpontját fix pontnak vesszük. Áthalad az ortocentrumán és a körülírt kör középpontján is.
Napóleon-Feuerbach kocka . Áthalad a pontokon: incenter , ortocentrum , a körülírt kör középpontja, Gergonne pont , Nagel pont , Longchamp pont , első és második Napóleon pont , egyéb pontokon, valamint az A, B, C csúcsokon, valamint a körkörök középpontjai, magassági vetületek, az ABC háromszög oldalaira (külső vagy belső) épített hat egyenlő oldalú háromszög középpontjai. A listában a Napóleon-Feuerbach-kocka háromszögének síkján lévő kocka K005 - ként szerepel [18] .
A Neuberg - kocka olyan pontok halmaza , amelyek az Euler-egyenes (végtelenben lévő pontja rögzített). Ezen a kockán több mint 15 figyelemreméltó pont található, különösen Torricelli, Apollonius pontjai, az ortocentruma, a körülírt kör középpontja, az oldalakra (külső vagy belső) épített szabályos háromszögek csúcsai, a körre szimmetrikus pontok. csúcsok az oldalakhoz képest, két Fermat-pont , két izodinamikai pont , az Euler-végtelen pont, valamint az összes kockán fekvő beírt és körvonalak középpontja. A listában a Neuberg-kocka háromszögsíkján lévő kocka K001 -ként szerepel [19] . $x$ $XX'\párhuzamos OH$
A Thomson-kockát úgy kapjuk meg, hogy egy súlypontot választunk fix pontként. A Thomson-kocka áthalad a súlyponton, a Lemoine-ponton, az ortocenteren, a körülírt kör középpontján, az oldalak felezőpontjain és az A, B, C csúcsok magasságának felezőpontjain, a körkörök középpontjain keresztül. A listában a Thomson-kocka háromszögsíkján lévő kocka K002 -ként szerepel [20] .
Az első Brocard kocka . Áthalad a pontokon: centroid , Lemoine pont , Steiner X(99), két izodinamikai pont , Parry pont és mások, valamint az 1. és 3. Brocard háromszög csúcsain. A háromszög síkjában lévő kockák listájában az első Brocard-kocka K017 -ként szerepel [21] .
A második Brocard kocka . Pontokon halad át: centroid , Lemoine pont , két Fermat pont , két izodinamikai pont , Parry pont és mások, valamint a 2. és 4. Brocard háromszög csúcsain. A háromszög síkján lévő kockák listájában a második Brocard-kocka K018 -ként szerepel [22] .
Az első egyenlő területű kocka (1. egyenlő területű köbös) . Pontokon halad át: incenter , Steiner X(99), első és második Brocard ponton , a háromszög köreinek középpontján. A háromszög síkjában lévő kockák listájában az első egyenlő területű kocka K021 -ként szerepel [23] .
A második egyenlő területű kocka (2. egyenlő területű köbös) . Pontokon halad át: incenter , egyéb pontok, valamint a Clark Kimberling Encyclopedia of Triangle Centers jelölése következő pontjain : X(31), X(105), X(238), X(292), X(365) , X(672), X(1453), X(1931), X(2053) és mások. A háromszög síkján lévő kocka listájában a második egyenlő területű kocka K155 -ként szerepel [24] .
A szakirodalomban két érdekes köbös görbe található , amelyek áthaladnak a tartóháromszög és annak Johnson-háromszögének csúcsain , valamint a körülírt kör középpontján , az ortocentrumán és kilenc kör középpontján :
- Az első görbe Musselmann-görbe - K026 néven ismert . Ez a görbe áthalad a Johnson-háromszög középső háromszögének és középső háromszögének csúcsain is .
- A második görbe az Euler -középgörbe – K044 néven ismert . Ez a görbe hat ponton is áthalad – a magasságok alapjain és a Johnson-háromszög magasságainak alapjain .

Adott háromszögbe írt sokszögek

Adott háromszögbe írt háromszögek

Azt a háromszöget, amelynek csúcsai egy adott ponton keresztül húzott három cevian alapjaiban vannak , az adott pont cevian háromszögének nevezzük .
Azt a háromszöget, amelynek csúcsai egy adott pont vetületei az oldalakra, ennek a pontnak a bőr alatti vagy pedálos háromszögének nevezzük .
A háromszöget, amelynek csúcsai a csúcsokon és egy adott ponton áthúzott egyenesek második metszéspontjaiban vannak, körülírt körrel, kerületi-cevian háromszögnek nevezzük . Tétel : a kerületi-cevian háromszög hasonló a szubdermálishoz [25] .
Egy adott ABC háromszög A′B′C′ mediánjainak alapjainak háromszögét , vagyis azt a háromszöget, amelynek csúcsai az ABC háromszög oldalainak felezőpontjai, további , vagy felezőpontnak nevezzük ennél a háromszögnél.
Az derékszögű háromszög olyan háromszög, amelynek csúcsai a háromszög magasságának alapjain vannak. Egy derékszögű háromszög oldalai ellentétesek az adott háromszög megfelelő oldalaival.
Az ABC háromszög excircle érintő háromszögét (ezt néha Nagel-háromszögnek is nevezik) a T A , T B és T C csúcsok határozzák meg , amelyek az ABC háromszög megfelelő oldalaival rendelkező körök érintőpontjai . Például a TA pont az A oldallal ellentétes , stb.
Az ABC háromszög Gergonne -háromszögét a T A , T B és T C csúcsok határozzák meg , amelyek a beírt kör érintőpontjai az ABC háromszög megfelelő oldalaival . A T A T B T C Gergonne-háromszög az ABC háromszög érintési háromszögeként is ismert .
Bármely ABC háromszögbe 2 olyan háromszög írható fel, amelyeknek 3 oldala párhuzamos az ABC háromszög 3 felezőpontjával . Ezeknek a háromszögeknek van egy Euler-kör típusú közös körük, azaz 6 csúcsuk 1 körön fekszik. [26]

Egy adott referenciaháromszög körül körülírt háromszögek

Az A″B″C″ háromszöget , amelynek oldalai átmennek az ABC háromszög csúcsain és párhuzamosak a szemközti oldalaival, antikomplementernek nevezzük az adott ABC háromszögre .
Ha leírunk egy kört egy adott ∆ ABC hegyesszögű háromszög körül, és a háromszög három csúcsában a kört érintő vonalakat húzunk, akkor ezeknek az egyeneseknek a metszéspontja alkotja az úgynevezett Δ A′B′C′ érintő háromszöget . az adott Δ ABC háromszögre . A Δ A′B′C′ érintőleges háromszög oldalai ellentétesek az adott háromszög megfelelő szemközti oldalaival, és párhuzamosak az ortoháromszög megfelelő oldalaival .
Ha egy adott ∆ ABC háromszögön kívül három külső felezőt húzunk a csúcsain keresztül, akkor ezek a körkörök három középpontjában metszik egymást, és egy három külső felezőből álló háromszöget alkotnak .

További háromszögek az adott referenciaháromszögön belül

Egy hegyesszögű háromszög ortocentrumát a csúcsaival összekötő három szakasz három Hamilton -háromszögre osztja, amelyeknek a körülírt körök sugara egyenlő.
Az Euler- háromszög vagy Feuerbach - háromszög olyan háromszög, amelynek csúcsai az ortocentrumot és annak csúcsait összekötő három szakasz felezőpontjai.

Adott referenciaháromszögbe írt négyzetek

Minden hegyesszögű háromszögnek három beírt négyzete van (a négyzetek úgy vannak beleírva, hogy a négyzet mind a négy csúcsa a háromszög különböző oldalán legyen, így kettő ugyanazon az oldalon, és ezért egy a négyzet oldala egybeesik az egyik háromszög egy részével, és a négyzet többi két csúcsa érinti a referenciaháromszög két fennmaradó oldalát). Egy derékszögű háromszögben ezen négyzetek közül kettő egybeesik, és két oldala van a háromszög derékszögű csúcsából, és két ilyen egybeeső négyzet negyedik csúcsa a befogó felezőpontjában található. A derékszögű háromszögbe írt négyzet másik típusának egyik oldala és két csúcsa a hipotenuszon fekszik, a négyzet fennmaradó két csúcsa pedig a derékszögű háromszög különböző szárain fekszik. Így egy derékszögű háromszögnek csak két különböző típusú beírt négyzete van. Egy tompa háromszögnek csak egy beírt négyzete van, amelynek oldala egybeesik a háromszög leghosszabb oldalának egy részével. Egy adott háromszögön belül a háromszög leghosszabb oldala teljes egészében tartalmazza a beírt négyzet egyik oldalát. Ha a beírt négyzet oldalhossza egyenlő q a -val , és az egyik oldala teljes egészében egy a hosszúságú háromszög oldalára esik ; az erre az oldalra esett magasság h a , a háromszög területe pedig S , akkor a [27] [28] szerint

q_{a}={\frac {2Sa}{a^{2}+2S}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.

Adott referenciaháromszögbe írt hatszögek

Az első (második) Lemoine hatszög egy hatszög, amely köré kör írható. Csúcspontjai egy háromszög oldalainak hat metszéspontja három olyan egyenessel, amelyek párhuzamosak (illetve: ellenpárhuzamosak) az oldalakkal és átmennek a Lemoine-pontján. Bármely háromszögben az első (második) Lemoine hatszög egy olyan háromszögön belül van, amelynek három pár csúcsa van páronként a háromszög mindkét oldalán.
Az Euler-hatszög egy olyan hatszög, amely köré kör írható ( Euler-kör ). Csúcspontja hat pont: ennek a referenciaháromszögnek a mediánjainak három alapja és három magasságának három alapja.

Lásd még

Kerülje el
Körül nem írt négyszög
Beírt kör
Beírt kúpszelet
A beírt gömb a beírt kör általánosítása.
Háromszög magasság
A planimetria szójegyzéke
Csodálatos egyenes háromszögek
A háromszög figyelemre méltó pontjai
A beírt kör középpontja vagy közepe
Kör
Behatárolt kör
Körülírt négyszög
Orthocenter
Egy pont körhöz viszonyított foka
Kúria tétele
háromágú tétel
Tebo 2. és 3. tétele
Harcourt tétele
Apollonius rámutat
Centroid
Háromszög középső
Ellipszis Mandart
Ellipszis Steiner

Jegyzetek

↑ Ajima-Malfatti-pont . Letöltve: 2016. május 22. Az eredetiből archiválva : 2015. augusztus 5.. (határozatlan)
↑ Efremov D. Háromszög új geometriája . - Odessza, 1902. - S. 130. - 334 p.
↑ 1 2 3 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ Longuet-Higgins, Michael S., "A háromszög besugárzásának és kerületi sugarának arányáról", Mathematical Gazette 87, 2003. március, 119-120.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - S. 108.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - 54. o.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - 55. o.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, kiegészítés .. - 2011. - 50. o.
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; és Yao, Haishen, "Proving a 19. század ellipszis-identitása", Mathematical Gazette 96, 2012. március, 161-165.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - 110. o.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - S. 27-28.
↑ 1 2 Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, kiegészítve .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 p. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - S. 125-126.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - S. 105.
↑ Prasolov V. V. Feladatok a planimetriában. — M. : MTsNMO , 2004.
↑ K004 Berhard Gibert kubikánál a háromszögsíkban // . Letöltve: 2016. május 22. Az eredetiből archiválva : 2008. szeptember 20.. (határozatlan)
↑ K007 Berhard Gibert kubikánál a háromszögsíkban // . Letöltve: 2016. május 22. Az eredetiből archiválva : 2008. szeptember 18.. (határozatlan)
↑ K005 Berhard Gibert kubikánál a háromszögsíkban // . Letöltve: 2016. május 22. Az eredetiből archiválva : 2010. június 1. (határozatlan)
↑ K001 a Berhard Gibert's Cubics-nál a háromszögsíkban // (hivatkozás nem elérhető) . Letöltve: 2016. május 22. Az eredetiből archiválva : 2009. augusztus 20.. (határozatlan)
↑ K002 Berhard Gibert kubikánál a háromszögsíkban // . Letöltve: 2016. május 22. Az eredetiből archiválva : 2009. október 22.. (határozatlan)
↑ K017 Berhard Gibert kubikánál a háromszögsíkban // . Letöltve: 2016. május 22. Az eredetiből archiválva : 2008. szeptember 20.. (határozatlan)
↑ K018 Berhard Gibert kubikánál a háromszögsíkban // . Letöltve: 2016. május 22. Az eredetiből archiválva : 2008. szeptember 20.. (határozatlan)
↑ K021 Berhard Gibert kubikánál a háromszögsíkban // . Letöltve: 2016. május 22. Az eredetiből archiválva : 2008. szeptember 20.. (határozatlan)
↑ K155 Berhard Gibert kubikánál a háromszögsíkban // . Letöltve: 2016. május 22. Az eredetiből archiválva : 2008. szeptember 20.. (határozatlan)
↑ Geometriai feladatrendszer, R. K. Gordin. 6480. feladat . Letöltve: 2016. május 23. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4.. (határozatlan)
↑ Dmitrij Efremov . Új háromszöggeometria archiválva 2020. február 25-én a Wayback Machine -nál . - Odessza, 1902. - S. 26. I. fejezet Gyakorlatok. 33. o
↑ Bailey, Herbert és DeTemple, Duane, "Szögekbe és háromszögekbe írt négyzetek", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.
↑ Victor Oxman és Moshe Stupel, „Miért vannak olyan közel egymáshoz írva a négyzetek oldalhosszai egy háromszögbe?”, Forum Geometricorum 13 (2013) 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html Archiválva : 2017. december 9. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Hadamard J. Elemi geometria. 1. rész: Planimetria. Szerk. 4., Moszkva: Uchpedgiz, 1957. 608 p.
Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M .: Nauka, 1978.
- Újrakiadás: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 p.
Efremov D. Új háromszöggeometria . - Odessza, 1902. - 334 p.
Efremov D. D. A háromszög új geometriája. Szerk. 2. Sorozat: Fizikai és matematikai örökség (a kiadás reprint reprodukciója). . - Moszkva: Lenand, 2015. - 352 p. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Új találkozások a geometriával. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematikai Kör könyvtára).
Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Myakishev A.G. A háromszöggeometria elemei . — M. : MTsNMO, 2002.
Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Háromszög
A háromszögek típusai	Négyszögletes Egyenlő szárú Egyenlő oldalú Egyenlőszárú téglalap alakú
Csodálatos vonalak egy háromszögben	Középső Magasság Felezővonal Középmerőleges középső vonal Beírt és körülírt körök Simson egyenes Euler vonal Simediana Cheviana
A háromszög figyelemre méltó pontjai	Orthocenter Centroid Incenter Brocard pont Vecten pont Pont Gergonne Lemoine pont Miquel pont Nagel pont Napóleon rámutat Torricelli pontjai Kilencpontos kör középpontja Spieker Center Háromszögközpontok enciklopédiája
Alaptételek	háromszög egyenlőtlenség A háromszögek hasonlóságának jelei Háromszögek megoldása Háromszög külső szög tétel Szögösszeg háromszög tétele Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Szinusztétel A vetítési tétel Heron képlete
További tételek	Van Obel tétele Menelaosz tétele Reuschle (Terkema) tétel Stewart tétele Érintőtétel Kotangens tétel Ceva tétele Mollweide képletek
Általánosítások	gömb alakú háromszög hiperbolikus háromszög Simplex