Steiner pont

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. október 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Steiner pont

Valaki után elnevezve	Jacob Steiner
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A Steiner-pont az egyik nagy háromszögpont [1] , és Clark Kimberling háromszögközéppontok enciklopédiájában X(99) pontként említik .

Történelem

Jakob Steiner (1796–1863), svájci matematikus 1826-ban írta le ezt a kérdést. Ezt a pontot Joseph Neuberg 1886-ban Steinernek nevezte el [1] [2] .

Definíció

A Steiner-pont meghatározása a következő. (Más módszert használunk, mint ahogy ezt Steiner maga határozta meg. [1] )

Legyen bármilyen háromszög adott . Legyen a körülírt kör középpontja és a szimediánok metszéspontja . A kör , amely az átmérőre épül, a háromszög Brocard köre . Az egyenesre merőlegesen átmenő egyenes egy másik pontban metszi a Brocard-kört . Az egyenesre merőlegesen átmenő egyenes egy másik pontban metszi a Brocard-kört . Az egyenesre merőlegesen áthaladó egyenes egy másik pontban metszi a Brocard-kört (a háromszög a Brocard -háromszög háromszög esetén ). Legyen egy egyenessel párhuzamos egyenesen átmenő egyenes , egy egyenessel párhuzamos egyenesen és egy egyenessel párhuzamos egyenesen átmenő egyenes . Ezután mindhárom egyenes , és egy pontban metszi egymást. Metszéspontjuk a háromszög Steiner-pontja .

ABC

O

K

rendben

ABC

O

időszámításunk előtt

A'

O

CA

B'

O

AB

C'

A'B'C'

ABC

L_{A}

A

B'C'

L_{B}

B

C'A'

L_{C}

C

A'B'

L_{A}

L_{B}

L_{C}

ABC

Trilineáris koordináták

A Steiner-pont trilineáris koordinátái :

\left({\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\ frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}\right)=(b^{2}c^{2}\operátornév {cosec} (BC):c^{2}a^{ 2}\operátornév {cosec} (CA):a^{2}b^{2}\operátornév {cosec} (AB))

Tulajdonságok

A háromszög köré körülírt ellipszis, amelyet Steiner-ellipszisnek is neveznek , a legkisebb területű ellipszis, amely áthalad a csúcsokon , és . A háromszög Steiner-pontja a háromszög körül körülírt Steiner-ellipszisre esik . $ABC$ $A$ $B$ $C$ $ABC$ $ABC$
Honsberger megállapította a Steiner-pont következő tulajdonságát : A háromszög Steiner-pontja a rendszer tömegközéppontja , amelyet úgy kapunk, hogy minden csúcsban felfüggesztünk egy tömeget, amely megegyezik az adott csúcs külső szögével. [3]
A Steiner pont nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. A rendszer tömegközéppontja , amelyet úgy kapunk, hogy a háromszög minden csúcsára felfüggesztünk egy olyan tömeget, amely megegyezik az adott csúcs külső szögének értékével, nem Steiner-pont . Ezt a tömegközéppontot a háromszög Steiner görbületi súlypontjának nevezik , és háromvonalas koordinátái vannak [4] : $ABC$ $ABC$

\left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\jobbra)

Ezt a háromszög középpontot X(1115) néven említi a Triangle Centers Encyclopedia of Triangle Centers .

A háromszög Steiner-pontjának Simson-vonala párhuzamos azzal az egyenessel , ahol a körülírt kör középpontja és a háromszög három szimmediánjának ( Lemoine-pont ) metszéspontja . $ABC$ $rendben$ $O$ $K$ $ABC$

Tarry Point

A háromszög Tarry-pontja szorosan összefügg a háromszög Steiner-pontjával . Legyen tetszőleges adott háromszög. A háromszög Steiner-pontjával átlósan ellentétes háromszög körülírt pontját a háromszög Tarry -pontjának nevezzük . A Tarry pont a háromszög középpontját jelenti, és X(98) középpontként jelöli a Triangle Centers Encyclopedia of Triangle Centers -ben . A Tarry-pont trilineáris koordinátái : $ABC$ $ABC$ $ABC$

(\operátornév {mp} (A+\omega ):\operátornév {mp} (B+\omega ):\operátornév {mp} (C+\omega ))

ahol a háromszög Brocard-szöge . $\omega$ $ABC$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Kimberling, Clark Steiner pont . Letöltve: 2012. május 17. (határozatlan)
↑ J. Neuberg. Sur le point de Steiner (neopr.) // Journal de mathématiques spéciales. - 1886. - S. 29 .
↑ Honsberger, Ross. Epizódok a tizenkilencedik és huszadik századi euklideszi geometriában (angol) . - The Mathematical Association of America, 1965. - P. 119-124.
↑ Eric W., Weisstein Steiner görbületi központ . MathWorld – A Wolfram webes forrása. Letöltve: 2012. május 17. (határozatlan)

Lásd még

A Steiner -középpont egy konvex test felületének Gauss-görbületének súlypontja.