A teljes négyszög kilenc pontjából álló kúpszelet egy teljes négyszög három átlós pontján és hat oldalfelező pontján áthaladó kúpszelvény.
A kilenc pontból álló kúpszeletet Maxim Bocher írta le 1892-ben. Az ismertebb kilencpontos kör a Bocher-kúp speciális esete. Egy másik speciális eset a kilencpontos hiperbola .
Bocher a teljes négyszög négy pontját három háromszögcsúcsként és egy független pontként használta:
Legyen adott egy ABC háromszög és egy P pont a síkon. Kúpmetszet rajzolható a következő kilenc ponton keresztül: az ABC háromszög oldalainak felezőpontjai , a P -t a háromszög csúcsaival összekötő szakaszok felezőpontjai , azokat a pontokat, ahol ezek a P - n átmenő egyenesek és a háromszög csúcsai metszik a háromszög oldalait.A kúpmetszet ellipszis , ha P az ABC háromszög belsejében , vagy a háromszög belsejétől két oldallal elválasztott sík egyik tartományában helyezkedik el. Ellenkező esetben a kúp egy hiperbola lesz . Bocher észrevette, hogy abban az esetben, ha P az ortocentruma , kilenc pontból álló kört kapunk, és ha P az ABC háromszög körülírt körének középpontja , akkor a kúp egyenlő szárú hiperbola lesz.
Maud Minthorn 1912-ben kimutatta, hogy a kilencpontos kúp a négy adott ponton átmenő kúpszeletek középpontjainak helye.