Körülírt és beírt kúpszelvények

A körülírt kúpszelet vagy a körülírt kúp a háromszögnél a háromszög három csúcsán átmenő kúpszelet [1] , a beírt kúpszelet vagy a beírt kúp pedig a háromszögbe beírt kúpszelet , azaz. egy háromszög oldalairól (talán nem maguk az oldalak, hanem azok kiterjesztései ) [2]

Adjunk meg három különálló A,B,C pontot , amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek, és legyen ΔABC olyan háromszög, amelynek ezek a pontjai csúcsok. Általában azt feltételezik, hogy egy betű, például A , nemcsak az A csúcsot jelöli, hanem a vele szomszédos BAC szöget is . Legyen a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | a Δ ABC háromszög oldalainak hossza .

Trilineáris koordinátákban a körülírt kúpszelet az X = x  : y  : z pontok helye, amely kielégíti az egyenletet .

uyz + vzx + wxy = 0,

egy bizonyos pontra u : v : w . Az X bármely pontjának izogonális konjugációja az A, B, C szakaszon kívül egy pont az egyenesen

ux + vy + wz = 0.

Ennek az egyenesnek 0, 1 vagy 2 közös pontja van az ΔABC háromszög körül körülírt körrel , attól függően, hogy a kúpszelet ellipszis, parabola vagy hiperbola.

A beírt kúpszelet három olyan egyenest érint, amelyek áthaladnak az ΔABC háromszög csúcsain (az oldalak kiterjesztései), és az egyenlet adja meg.

u 2 x 2 + v 2 y 2 + w 2 z 2 − 2 vwyz − 2 wuzx − 2 uvxy = 0.

Középpontok és érintővonalak

Leírt kúpos

A körülírt kúpszelet középpontja a pont

u (− au + bv + cw ) : v ( au − bv + cw ) : w ( au + bv − cw ).

Az A, B és C pontokban a kúpszeletet érintő egyeneseket az egyenletek adják meg

wv + vz = 0, uz + wx = 0, vx + uy = 0.

Feliratos kúp

Egy beírt kúpszelet középpontja egy pont

cy + bz  : az + cx  : bx + ay .

Ennek a kúpnak az érintői az ΔABC háromszög oldalai, és az x = 0, y = 0, z = 0 egyenletek adják meg őket .

Egyéb tulajdonságok

Leírt kúpszelvények

• Minden olyan körülírt kúpszelet, amely nem kör, az ΔABC körüli kört egy A, B és C ponttól eltérő pontban metszi, amelyet gyakran negyedik metszéspontnak neveznek , és háromvonalas koordinátái vannak.

( cx − az )( ay − bx ) : ( ay − bx )( bz − cy ) : ( bz − cy )( cx − az )

• Ha a P = p : q : r pont a körülírt kúpszelvényen fekszik, akkor a szakaszt P pontban érintő egyenest az egyenlet adja meg.

( vr + wq ) x + ( wp + ur ) y + ( uq + vp ) z = 0.

• A leírt kúpmetszet akkor és csak akkor parabola

u 2 a 2 + v 2 b 2 + w 2 c 2 − 2 vwbc − 2 wuca − 2 uvab = 0, és hiperbola akkor és csak akkor u cos A + v cos B + w cos C = 0.

• Egy adott ellipszisbe írt összes háromszög közül a legnagyobb területű háromszög súlypontja egybeesik az ellipszis középpontjával [3] . Egy háromszög három csúcsán áthaladó ellipszist, amelynek középpontja a háromszög súlypontja, körülírt Steiner-ellipszisnek nevezzük .

Beírt kúpszelvények

• A beírt kúpszelvény akkor és csak akkor parabola

ubc + vca + wab = 0, és ebben az esetben a kúpszelet kívülről érinti a háromszög egyik oldalát, és érinti a másik két oldal kiterjesztését.

• Tegyük fel, hogy p 1  : q 1  : r 1 és p 2  : q 2  : r 2 különböző pontok, és legyen

X = ( p 1 + p 2 t ) : ( q 1 + q 2 t ) : ( r 1 + r 2 t ). Amikor a t paraméter az összes valós számon áthalad , az X pontok helye egy egyenes. Határozzuk meg X 2 = ( p 1 + p 2 t ) 2  : ( q 1 + q 2 t ) 2  : ( r 1 + r 2 t ) 2 . Az X 2 pontok helye egy beírt kúpszelet, szükségszerűen egy ellipszis , amelyet az egyenlet ad meg L 4 x 2 + M 4 y 2 + N 4 z 2 − 2 M 2 N 2 yz − 2 N 2 L 2 zx − 2 L 2 M 2 xy = 0, ahol L = q 1 r 2 − r 1 q 2 , M = r 1 p 2 − p 1 r 2 , N = p 1 q 2 − q 1 p 2 .

• A háromszögön belüli pont akkor és csak akkor a háromszögbe írt ellipszis középpontja, ha a pont azon a háromszögön belül van, amelynek csúcsai az eredeti háromszög felezőpontjai [4] . A középső háromszögön belüli pont esetében az adott pont középpontjában álló ellipszis egyedi [5] .
• A legnagyobb területű beírt ellipszis a Steiner-beírt ellipszis , amelyet medián feliratos ellipszisnek is neveznek. Ennek az ellipszisnek a középpontja egybeesik a [6] háromszög súlypontjával . Általában a beírt ellipszis területének és a háromszög területének aránya az ellipszis középpontjának baricentrikus koordinátáiban [7] .

és ez az arány akkor maximalizálódik, ha egybeesik a háromszög súlypontjának baricentrikus koordinátáival

• A háromszögbe írt bármely ellipszis érintkezési pontjait a szemközti csúcsgal összekötő egyenesek egy pontban metszik egymást [8] .

Kiterjesztés négyszögekre

A négyszögbe írt ellipszisek összes középpontja a négyszög átlóinak felezőpontjait összekötő szakaszon fekszik [9] .

Példák

• Körülírt kúpszelet
  • A körülírt kör , az egyetlen kör , amely átmegy a háromszög három csúcsán
  • Steiner körülírt ellipszis , az egyetlen ellipszis, amely a háromszög mindhárom csúcsán áthalad, középpontja a háromszög súlypontja
  • Cypert hiperbolája , az egyetlen kúp, amely átmegy a háromszög három csúcsán, a súlypontján és az ortocentrumán
  • Erzsabek-hiperbola, egy olyan hiperbola , amelynek középpontja egybeesik a háromszög három csúcsán áthaladó kilenc pontból álló kör középpontjával, körülírt körének középpontjával , ortocentrumával és más figyelemre méltó középpontokkal
  • A háromszög ortocentrumán, a Nagel-ponton és más figyelemre méltó pontokon áthaladó Feuerbach-hiperbola a kilencpontos kör középpontjában áll.
• Beírt kúpszelet
  • Beírt kör , az egyetlen kör, amely érinti a háromszög oldalának belsejét
  • Steiner-beírt ellipszis , az egyetlen ellipszis, amely a háromszög három oldalát érinti az oldalak felezőpontjában
  • Mandara ellipszis , az egyetlen ellipszis érintője a háromszög oldalainak a külső körülírt körök érintőpontjainál
  • Kiepert parabola
  • Iffa parabolája

Jegyzetek

1. ↑ Weisstein, Eric W. "Circumconic". A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html Archiválva : 2017. április 13. a Wayback Machine -nél
2. ↑ Weisstein, Eric W. "Inkonikus". A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.htm  (nem elérhető link)
3. ↑ Chakerian, 1979 , p. 147.
4. ↑ Chakerian, 1979 , p. 139.
5. ↑ Chakerian, 1979 , p. 142.
6. ↑ Chakerian, 1979 , p. 145.
7. ↑ Chakerian, 1979 , p. 143.
8. ↑ Chakerian, 1979 , p. 148.
9. ↑ Chakerian, 1979 , p. 136.

Irodalom

GD Chakerian. A geometria torz nézete // Amerika Matematikai Szövetség / R. Honsberger. - Washington, DC, 1979.

Linkek

• Circumconic archiválva : 2017. április 13., a Wayback Machine at MathWorld
• Az Inconic archiválva : 2017. augusztus 28. a Wayback Machine -nél a MathWorldnél