Sima nyolcszög

A lapított nyolcszög a sík egy olyan tartománya, amely állítólag a legkisebb síktömítési sűrűséggel rendelkezik az összes központilag szimmetrikus konvex alak közül [1] . Az ábrát úgy kapjuk meg, hogy egy szabályos nyolcszög szögeit helyettesítjük egy hiperbola szakaszával , amely a szög két oldalát érinti, és aszimptotikusan megközelíti a nyolcszög oldalainak a szög oldalaival szomszédos kiterjesztését.

Maximális csomagolási sűrűség

A simított nyolcszög a maximális tömörítési sűrűséggel rendelkezik

{\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\kb. 0,902414\,.

[2]

Ez a sűrűség kisebb, mint a körök maximális tömítési sűrűsége , ami egyenlő

{\frac {\pi }{\sqrt {12))}\körülbelül 0,906899.

A közönséges szabályos nyolcszögek maximális csomagolási sűrűsége a

{\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\kb 0,906163,

ami szintén valamivel kisebb, mint a körök maximális tömörítési sűrűsége, de nagyobb, mint egy simított nyolcszög tömörítési sűrűsége [3] .

A simított nyolcszög nem csak egyetlen tömítésnél éri el a maximális tömítési sűrűséget, hanem egy egyparaméteres tömítéscsaládnál. Mindegyik rácsos töltet [4] .

Egy háromdimenziós tér esetében az Ulam-csomagolási sejtés azt állítja, hogy nincs olyan konvex alakzat, amelynek a legnagyobb tömörítési sűrűsége kisebb, mint a golyók pakolódása.

Épület

Egy simított nyolcszög maximális sűrűségű tömítéseinek családjait tekintve a sarkok alakjának meghatározására használható az a követelmény, hogy a tömörítési sűrűség ugyanaz maradjon, ahogyan a szomszédos nyolcszögek érintkezési pontjai változnak. Az ábrán a három nyolcszög forog, miközben az ezen nyolcszögek középpontjai által alkotott háromszög területe nem változik. Szabályos nyolcszögeknél az éltöredékek átfedik egymást, így ahhoz, hogy el lehessen forgatni, a sarkokat le kell vágni a nyolcszögek középpontja közötti félúton, ami egy görbét eredményez, amely hiperbolának bizonyul.

A hiperbola egy nyolcszög két oldalának érintőjeként készül, amelynek aszimptotái a velük szomszédos oldalakat tartalmazó egyenesek. Helyezzünk a síkra egy szabályos nyolcszöget a körülírt kör sugarával úgy, hogy a középpontja a pontban , egy csúcsa pedig a pontban legyen . Definiáljunk két állandót, ℓ és m : ${\sqrt {2}}$ $(2+{\sqrt {2)),0)$ $(2.0)$

\ell ={\sqrt {2}}-1

{\displaystyle m={\sqrt[{4}]{\frac {1}{2))))

Ekkor a hiperbolát az egyenlet adja meg

{\displaystyle \ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2))

vagy ezzel egyenértékű paraméterezett formában (csak a hiperbola jobb oldalán):

{\begin{cases}x={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y=m\sinh {t}\end{cases)),\;-\infty < t<\infty

A hiperbolának azt a részét, amely a nyolcszög sarkait képezi, a paraméter értékei adják meg

-{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}

A nyolcszög hiperbolát érintő oldalainak vonalait az egyenletek adják meg

y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)

És az oldalak egyeneseit, amelyek a hiperbola aszimptotái, az egyenletek adják meg

y=\pm \ell x.

Lásd még

Csomagolási körök
Ulam csomagolási sejtése

Jegyzetek

↑ Reinhardt, 1934 , p. 216-230.
↑ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Atkinson, Jiao, Torquato, 2012 .
↑ Kallus, 2013 .

Irodalom

K. Reinhardt. Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven // Abh. Math. Sem. Hamburg. - 1934. - Kiadás. 10 . - S. 216-230 .
Steven Atkinson, Yang Jiao, Salvatore Torquato. Kétdimenziós konvex és homorú, nem kör alakú részecskék maximálisan sűrű pakolása // Fizik. Fordulat. E. - 2012. - T. 86 , sz. 03 . Az eredetiből archiválva : 2014. augusztus 24.
Yoav Kallus. A legkevésbé hatékony csomagolási formák // Geometria és topológia. - 2013. - május.

Linkek

A legvékonyabb, sűrű kétdimenziós csomagolás? . Peter Scholl, 2001.