Arkhimédeszi test
Az arkhimédeszi szilárdtest (vagy arkhimédeszi poliéder ) egy konvex poliéder , amelynek két vagy több típusú szabályos sokszöge azonos csúcsokkal szomszédos lapok . Itt az "azonos csúcsok" azt jelentik, hogy bármely két csúcshoz létezik az egész test izometriája, amely az egyik csúcsot a másikba viszi.
Az arkhimédeszi testek különböznek a platóni testektől ( reguláris poliéderek ), amelyek csak egy típusú sokszögből állnak ugyanazon a csúcson, és a Johnson poliéderektől, amelyek szabályos sokszögű lapjai különböző típusú csúcsokhoz tartoznak.
Néha csak az szükséges, hogy az egyik csúcshoz szomszédos lapok izometrikusak legyenek a másik csúcsban lévő lapokhoz képest. Ez a definíciók különbsége határozza meg, hogy egy hosszúkás négyzet alakú giroboktaéder (pszeudo-rombikuboktaéder) arkhimédeszi szilárdtestnek vagy Johnson poliédernek minősül-e – ez az egyetlen konvex poliéder, amelyben a sokszöglapok minden csúcsban ugyanúgy csatlakoznak egy csúcshoz, de a poliéder igen nem rendelkezik olyan globális szimmetriával, amely bármely csúcsot bármely másikhoz vinne. A pszeudorhombikuboktaéder létezése alapján Grünbaum [1] egy olyan terminológiai megkülönböztetést javasolt, amelyben az arkhimédeszi testet úgy határozzák meg, hogy minden csúcsában ugyanaz a csúcsalak (beleértve a megnyúlt négyzet alakú girobikupólust is), míg az egységes poliédert úgy határozzák meg, hogy bármilyen csúcsa van. szimmetrikus bármely máshoz (ami kizárja a gyrobicupolist ).
A prizmákat és az antiprizmákat , amelyek szimmetriacsoportjai diédercsoportok , általában nem tekintik archimédeszi szilárd testnek, annak ellenére, hogy a fent megadott definíció alá esnek. Ezzel a megszorítással csak véges számú arkhimédeszi test létezik. A megnyúlt négyzet alakú giroszkóp kupola kivételével minden testet elő lehet állítani Wythoff konstrukcióival platóni szilárd testekből tetraéderes , oktaéderes és ikozaéderes szimmetriák felhasználásával.
Forrás neve
Az arkhimédeszi testeket Arkhimédészről nevezték el , aki egy elveszett műben tárgyalta őket. Papp hivatkozik erre a munkára, és kijelenti, hogy Arkhimédész 13 poliédert sorolt fel [1] . A reneszánsz idején a művészek és a matematikusok nagyra értékelték a tiszta formákat , és újra felfedezték őket. Ezeket a tanulmányokat 1620 körül majdnem teljesen befejezte Johannes Kepler [2] , aki meghatározta a prizmák , az antiprizmák és a nem konvex testek fogalmát, amelyeket Kepler-Poinsot-testeknek neveznek .
Kepler találhatott egy hosszúkás, négyzet alakú girobikupólust (pszeudorhombikuboktaédert ) – legalábbis azt állította, hogy 14 arkhimédeszi szilárd testről van szó. Közzétett felsorolásai azonban csak 13 egységes poliédert tartalmaznak, és a pszeudorombicosaéder létezéséről az első egyértelmű kijelentést 1905- ben Duncan Somerville [1] tette .
Osztályozás
13 arkhimédeszi szilárd test van (nem számítva a megnyúlt négyzet alakú girobikupólust ; 15, ha figyelembe vesszük a két enantiomorf tükörképét , amelyeket az alábbiakban külön sorolunk fel).
Itt a csúcskonfiguráció a csúcsokkal szomszédos szabályos sokszögek típusait jelenti. Például a csúcskonfiguráció (4, 6, 8) azt jelenti, hogy a négyzet , a hatszög és a nyolcszög a csúcsban találkozik (a felsorolás sorrendje a csúcstól az óramutató járásával megegyező irányban történik).
| Cím (alternatív cím) |
Schläfli Coxeter |
Átlátszó | Áttetsző | Letapogatás | Vertex figura |
arcok | borda | Csúcsok | Hangerő (egy éllel) |
Pontcsoport _ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| csonka tetraéder | {3,3}  
|
( forgatás ) |
3.6.6 |
nyolc | 4 háromszög 4 hatszög |
tizennyolc | 12 | 2,710576 | T d | ||
| Kuboktaéder (rombotetraéder) |
r{4,3} vagy rr{3,3} vagy
|
( forgatás ) |
3.4.3.4 |
tizennégy | 8 háromszög 6 négyzet |
24 | 12 | 2,357023 | Ó h | ||
| csonka kocka | t{4,3}
|
( forgatás ) |
3.8.8 |
tizennégy | 8 háromszög 6 nyolcszög |
36 | 24 | 13,599663 | Ó h | ||
| Csonka oktaéder (csonka tetraéder) |
t{3,4} vagy tr{3,3}vagy
|
( forgatás ) |
4.6.6 |
tizennégy | 6 négyzet 8 hatszög |
36 | 24 | 11.313709 | Ó h | ||
| Rhombicuboctahedron (kis rombikubotaéder) |
rr{4,3}
|
( forgatás ) |
3.4.4.4 |
26 | 8 háromszög 18 négyzet |
48 | 24 | 8,714045 | Ó h | ||
| Csonka kuboktaéder (nagy romboktaéder) |
tr{4,3}
|
( forgatás ) |
4.6.8 |
26 | 12 négyzet 8 hatszög 6 nyolcszög |
72 | 48 | 41.798990 | Ó h | ||
| Snub kocka (snub cuboctahedron) |
sr{4,3}
|
( forgatás ) |
3.3.3.3.4 |
38 | 32 háromszög 6 négyzet |
60 | 24 | 7,889295 | O | ||
| ikozidodekaéder | r{5,3}
|
( forgatás ) |
3.5.3.5 |
32 | 20 háromszög 12 ötszög |
60 | harminc | 13.835526 | én h | ||
| csonka dodekaéder | t{5,3}
|
( forgatás ) |
3.10.10 |
32 | 20 háromszög 12 tízszög |
90 | 60 | 85.039665 | én h | ||
| Csonka ikozaéder | t{3,5}
|
( forgatás ) |
5.6.6 |
32 | 12 ötszög 20 hatszög |
90 | 60 | 55.287731 | én h | ||
| Rombikozidodekaéder (kis rombikozidodekaéder) |
rr{5,3}
|
( forgatás ) |
3.4.5.4 |
62 | 20 háromszög 30 négyzet 12 ötszög |
120 | 60 | 41.615324 | én h | ||
| Rombocsonkított ikozidodekaéder | tr{5,3}
|
( forgatás ) |
4.6.10 |
62 | 30 négyzet 20 hatszög 12 tízszög |
180 | 120 | 206.803399 | én h | ||
| Snub dodekaéder (snub ikozidodekaéder) |
sr{5,3}
|
( forgatás ) |
3.3.3.3.5 |
92 | 80 háromszög 12 ötszög |
150 | 60 | 37,616650 | én | ||
A félig szabályos poliéderek egyes definíciói egy másik szilárdtestet is tartalmaznak, a megnyúlt négyzet alakú girobikupólust vagy "pszeudo-rombikuboktaédert" [3] .
Tulajdonságok
A csúcsok száma megegyezik a 720° -nak a csúcson lévő sarokhibához viszonyított arányával .
A kuboktaéder és az ikozidodekaéder élhomogén [ , és kváziregulárisnak nevezzük .
Az arkhimédeszi testek kettős poliédereit katalán testeknek nevezzük . A bipiramisokkal és a trapézéderekkel együtt ezek a testek egyenletes felületű , szabályos csúcsokkal.
Chiralitás
A snub-kocka és a snub dodekaéder királis , mert bal- és jobbkezes változatban jelennek meg. Ha valaminek több fajtája van, amelyek egymás háromdimenziós tükörképei , ezeket a formákat enantiomorfoknak nevezzük (ezt a nevet a kémiai vegyületek egyes formáira is használják ).
Archimedesi szilárdtestek felépítése
A különféle arkhimédeszi és platóni testek egy maroknyi művelettel származtathatók egymásból. A platóni testektől kezdve használhatja a sarokcsonkítási műveletet. A szimmetria megőrzése érdekében a csonkítást a sarkot a sokszög középpontjával összekötő egyenesre merőleges síkkal végezzük. Attól függően, hogy milyen mélységben hajtják végre a csonkolást (lásd az alábbi táblázatot), különféle platóni és arkhimédeszi (és egyéb) szilárdtesteket kapunk. A nyújtást vagy levágást úgy végezzük, hogy a lapokat (egy irányba) elmozdítjuk a középponttól (ugyanolyan távolságra a szimmetria megtartása érdekében), majd domború hajótestet hozunk létre. Az elforgatással történő bővítés a lapok elforgatásával is történik, ez az élek helyén megjelenő téglalapokat háromszögekre töri. Az itt bemutatott utolsó konstrukció a sarkok és élek csonkolása. Ha figyelmen kívül hagyjuk a méretezést, a bővítés felfogható sarok- és élcsonkításnak is, de a sarok és az él csonkolása között sajátos kapcsolat van.
| Szimmetria | tetraéderes |
Oktaéder |
ikozaéder | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A test kezdeti művelete |
{p, q} karakter  
|
Tetraéder {3,3} |
Kocka {4,3} |
Oktaéder {3,4} |
Dodekaéder {5,3} |
Ikozaéder {3,5} |
| Csonkolás (t) | t{p, q}
|
csonka tetraéder |
csonka kocka |
csonka oktaéder |
csonka dodekaéder |
Csonka ikozaéder |
| Teljes csonkítás (r) Szószék (a) |
r{p, q}
|
tetraéder |
Cuboctahedron |
ikozidodekaéder | ||
| Mély csonkítás (2t) (dk) |
2t{p, q}
|
csonka tetraéder |
csonka oktaéder |
csonka kocka |
csonka ikozaéder |
csonka dodekaéder |
| Dupla teljes csonkítás (2r) Kettős (d) |
2r{p, q}
|
tetraéder |
oktaéder |
kocka |
ikozaéder |
dodekaéder |
| Ferde (rr) Nyújtás (e) |
rr{p, q}
|
Cuboctahedron |
Rombicuboktaéder |
rombikozidodekaéder | ||
| Kiegyenesítés (sr) Kiegyenesítés (ek) |
sr{p, q}
|
snub tetraéder |
snub kocka |
snub ikozidodekaéder | ||
| bevel-truncation (tr) Bevel (b) |
tr{p, q}
|
csonka oktaéder |
Csonka kuboktaéder |
Rombocsonkított ikozidodekaéder | ||
Figyeljük meg a kocka és az oktaéder, valamint a dodekaéder és az ikozaéder kettősségét. Továbbá, részben a tetraéder önkettősségének köszönhetően, csak egy arkhimédeszi szilárdtestnek csak egy tetraéder szimmetriája van.
Lásd még
- Időszakos burkolás
- Arkhimédész gróf
- Az egységes poliéderek listája
- Toroid poliéder
- Kvázikristály
- Félig szabályos poliéder
- szabályos poliéder
- Egységes poliéder
- Icosohedral iker
Jegyzetek
- ↑ 1 2 3 Grünbaum, 2009 .
- ↑ Field, 1997 , p. 241-289.
- ↑ Malkevitch, 1988 , p. 85.
Irodalom
- Field J. Az arkhimédeszi poliéder újrafelfedezése: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro és Johannes Kepler // Archívum az Exact Sciences történetéhez. - Springer, 1997. - 20. évf. 50, sz. 3-4. — ISSN 0003-9519 .
- Grunbaum, Branko. Egy tartós hiba // Elemente der Mathematik. - 2009. - 1. évf. 64. sz. 3. - P. 89-101. - doi : 10.4171/EM/120 . . Újranyomva a The Best Writing on Mathematics 2010-ben / Mircea Pitici. - Princeton University Press, 2011. - P. 18-31 .
- Malkevics, József. . A tér alakítása: poliéderes megközelítés / M. Senechal, G. Fleck. - Boston: Birkhäuser, 1988. - P. 80–92.
- Pugh, Anthony. . Poliéder: vizuális megközelítés. - Kalifornia: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . 2. fejezet
- Udaya, Jayatilake. Számítások az arc és a csúcs szabályos poliéderén // Mathematical Gazette. - 2005. - 20. évf. 89. sz. 514.—P. 76–81.
- Williams, Robert. . A természetes szerkezet geometriai alapjai: A tervezés forráskönyve . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X . (3-9. szakasz)
Linkek
- Weisstein, Eric W. Archimedean solid (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
- Archimedean Solids archiválva 2016. február 20-án a Wayback Machine -ben, készítette: Eric W. Weisstein , Wolfram Demonstrations Project .
- Archimedean Solids és Catalan Solids papírmodellek archiválva 2016. február 20-án a Wayback Machine -nél
- Arkhimédeszi szilárdtestek ingyenes papírmodellei (hálói) Archiválva : 2016. február 6. a Wayback Machine -nél
- Az Uniform Polyhedra archiválva : 2008. február 11., a Wayback Machine -ben Dr. R. Mader
- Virtual Reality Polyhedra archiválva 2008. február 23-án a Wayback Machine -nél , The Encyclopedia of Polyhedra by George W. Hart
- Utolsó előtti moduláris origami archiválva 2010. július 15-én a Wayback Machine -nél, James S. Plank
- Interaktív 3D poliéder Java nyelven
- Solid Body Viewer (nem elérhető hivatkozás) Interaktív 3D poliéderes megjelenítő, amely lehetővé teszi a modell svg-, stl- vagy obj-formátumban történő elmentését.
- Stella: Polyhedron Navigator Archiválva : 2010. július 9. a Wayback Machine : Képkészítő szoftverben, amelyek közül sok megtalálható ezen az oldalon.
- Az arkhimédeszi (és egyéb) poliéderek papírmodelljei archiválva 2021. január 25-én a Wayback Machine -nél