Ötszögletű hatkontaéder

Az ötszögletű hatszögletű ( más görög πέντε – „öt”, γωνία – „szög”, ἑξήκοντα – „hatvan” és ἕδρα – „arc”) szóból egy félig szabályos dupla alakú test (do.de.-tode.- polihed ronn-ub ) . 60 egyforma szabálytalan ötszögből áll .

92 csúcsa van. 12 csúcson (ugyanúgy elrendezve, mint az ikozaéder csúcsai ) 5 lap fut össze hegyesszögükben; 20 csúcsban (amelyek a dodekaéder csúcsaihoz hasonlóan helyezkednek el ) 3 oldalon konvergálnak azokkal a tompaszögekkel, amelyek távolabb vannak a hegyesszögtől; A fennmaradó 60 csúcsban két lap fut össze, és a tompaszögük legközelebb van egy hegyesszöghöz, és egy olyan tompaszög, amely távol van egy hegyesszögtől.

12 csúcs ugyanúgy van elrendezve, mint az ikozaéder csúcsai
20 csúcs ugyanúgy van elrendezve, mint a dodekaéder csúcsai

Az ötszögletű hatkontaédernek 150 éle van - 60 "hosszú" és 90 "rövid".

A legtöbb katalán szilárd testtel ellentétben az ötszögletű hexekontaéder (az ötszögletű ikozitetraéderrel együtt ) királis , és két különböző tükörszimmetrikus (enantiomorf) változatban létezik - "jobbra" és "balra".

Metrikus jellemzők és szögek

Egy ötszögletű hexekontaéder metrikus tulajdonságainak meghatározásához köbegyenleteket kell megoldani, és köbgyököket kell használni , míg az akirális katalán testekhez másodfokú egyenleteknél és négyzetgyököknél semmi bonyolultabbra nincs szükség . Ezért az ötszögletű hexekontaéder, ellentétben a legtöbb katalán testtel, nem teszi lehetővé az euklideszi konstrukciót . Ugyanez igaz az ötszögletű ikozitetraéderre, valamint a kettős arkhimédeszi testére is.

Az alábbi képletekben a konstans az egyenlet egyetlen valós gyöke [1] $\xi$

8x^{3}+8x^{2}=\Phi ^{2},

ahol az aranymetszet aránya ; ez a gyökér az $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

\xi ={\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9+{\sqrt {81\Phi -15))) ))+{\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9-{\sqrt {81\Phi -15))))))-4\jobbra)\kb. 0{,}4715756.

Ha egy arc három "rövid" oldala hosszú , akkor a két "hosszú" oldal hosszúságú $b$

a={\frac {1+2\xi }{2(1-2\xi ^{2)))))b\kb 1{,}7498526b.

A poliéder felületét és térfogatát ezután a következőképpen fejezzük ki

S={\frac {30(2+3\xi ){\sqrt {1-\xi ^{2)))){1-2\xi ^{2))}\;b^{2 }\kb 162{,}6989642b^{2},

V={\frac {5(1+\xi )(2+3\xi )}{(1-2\xi ^{2}){\sqrt {1-2\xi ))))\ ;b^{3}\kb. 189{,}7898521b^{3}.

A beírt gömb sugara (amely a poliéder összes lapját a középpontjukban érinti ) egyenlő lesz

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1+\xi }{(1-\xi )(1-2\xi )))}\;b\kb 3 {,}4995278b,

egy félig beírt gömb sugara (minden élét érinti) -

\rho ={\sqrt {\frac {1+\xi }{2(1-2\xi )}}}\;b\approx 3{,}5976248b,

az arcba írt kör sugara -

r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2))}={\frac {1}{2)){\sqrt {\frac { 1+\xi }{1-\xi }}}\;b\kb 0{,}8343915b,

az egyik "rövid" oldallal párhuzamos átlós felület -

e=(1+2\xi )b\kb 1{,}9431513b.

Lehetetlen egy ötszögletű hatszögletű gömböt úgy leírni , hogy az áthaladjon az összes csúcson.

Az arc mind a négy tompaszöge egyenlő ; az arc hegyesszöge (a "hosszú" oldalak között) egyenlő $\arccos \,(-\xi )\kb 118{,}14^{\circ };$ $\arccos \,(8\xi ^{2}-8\xi ^{4}-1)\kb. 67{,}45^{\circ }.$

Bármely él diéderszöge azonos és egyenlő $\arccos \,{\frac {\xi }{\xi -1))\kb 153{,}18^{\circ }.$

Jegyzetek

↑ Lásd ennek az egyenletnek a gyökereit .

Linkek

Weisstein, Eric W. Ötszögletű hexekontaéder a Wolfram MathWorld -nél .

Poliéder

helyes

Háromdimenziós (platonikus szilárd testek)	szabályos tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder ikozaéder
4D	Ötcellás tesserakt Hexadecimális sejt huszonnégy cella 120 cella Hatszáz sejt
Nagyobb méret (zárójelben jelölve)	Szabályos szimplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hiperoktaéder

Szabályos
, nem domború

Háromdimenziós az
arcok számával (zárójelben jelölve)

Monoéder (1)
Diéder (2)
Triéder (3)
Tetraéder (4)
Pentaéder (5)
Hexaéder (6)
Heptaéder (7)
Oktaéder (8)
Enneaéder (9)
Dekaéder (10)
Endekaéder (11)
Dodekaéder (12)
Tridekaéder (13)
Tetradekaéder (14)
Pentadekaéder (15)
Hexadekaéder (16)
Heptadekaéder (17)
Oktadekaéder (18)
Enneadekaéder (19)
Ikozaéder (20)
Ikozotetraéder (24)
Triakontaéder (30)
Hexacontahedron (60)
Enneakontaéder (90)
Hektotriadioéder (132)
Apeiroéder (∞)

konvex

Arkhimédeszi szilárd testek

Katalán testek

Prizmák
háromszög prizma négyszögű prizma Ötszögletű prizma Hatszögletű prizma Hétszögű prizma Nyolcszögletű prizma Kilencszögű prizma Tízszögű prizma Tizenegy szögű prizma Dodecagonal prizma

Johnson poliéder

Képletek ,
tételek ,
elméletek

Egyéb