Gyakorlati szám

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A gyakorlati szám vagy panaritmikus szám [1] egy olyan n pozitív egész szám , amelynél minden kisebb pozitív egész ábrázolható n különböző osztóinak összegeként . Például a 12 egy gyakorlati szám, mivel 1-től 11-ig minden szám ábrázolható ennek a számnak az 1, 2, 3, 4 és 6 osztóinak összegeként – az osztókon kívül 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 és 11 = 6 + 3 + 2.

A gyakorlati számok sorozata ( A005153 sorozat az OEIS -ben ) ezzel kezdődik

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150...

A gyakorlati számokat Fibonacci használta Liber Abaci (1202) című könyvében a racionális számok egyiptomi törtként való ábrázolásának problémájával kapcsolatban . Fibonacci formálisan nem definiálta a gyakorlati számokat, de táblázatot adott az egyiptomi törtek ábrázolásáról a gyakorlati nevezővel rendelkező törtek esetében [2] .

A "gyakorlati szám" nevet Srinivasan adta [3] . Megfigyelte, hogy "a pénz, a súly és más mértékek felosztása olyan számokkal, mint a 4, 12, 16, 20 és 28, amelyek általában annyira kényelmetlenek, hogy megérdemlik, hogy 10-es hatványokkal helyettesítsék." Újra felfedezte az ilyen számok számos elméleti tulajdonságát, és ő volt az első, aki megpróbálta ezeket a számokat osztályozni, míg Stuart [4] és Sierpinski [5] befejezte az osztályozást. A gyakorlati számok definiálása lehetővé teszi annak meghatározását, hogy egy szám praktikus-e, ha egy szám faktorizálását nézzük. Bármely páros tökéletes szám és a kettő bármely hatványa praktikus szám.

Kimutatható, hogy a gyakorlati számok sok tekintetben hasonlítanak a prímszámokhoz [6] .

Gyakorlati számok leírása

Srinivasan eredeti leírása [3] kimondja, hogy a gyakorlati szám nem lehet elégtelen szám , ez olyan szám, amelynek összes osztójának összege (beleértve az 1-et és magát a számot is) kisebb, mint a szám kétszerese, kivéve az eggyel egyenlő hiányt. Ha egy gyakorlati számra kiírunk egy rendezett osztóhalmazt , ahol és , akkor Srinivasan állítása kifejezhető az egyenlőtlenséggel $n$ ${d_{1},d_{2},...,d_{j))$ $d_{1}=1$ $d_{j}=n$

{\displaystyle 2n\leqslant 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i))

Más szóval, egy gyakorlati szám összes osztójának rendezett sorozatának teljes részsorozatnak kell lennie . ${\megjelenítési stílus {d_{1}<d_{2}<...<d_{j))}$

Ezt a definíciót kiterjesztette és kiegészítette Stuart [4] és Sierpinski [5] , akik kimutatták, hogy egy szám gyakorlatiasságának meghatározását a prímtényezőkké való faktorizálása határozza meg . Az egynél nagyobb pozitív egész szám faktorizációval (növekvő prímosztókkal rendezve ) akkor és csak akkor praktikus, ha minden prímosztója elég kicsi ahhoz, hogy kisebb osztók összegeként ábrázolható legyen. Ahhoz, hogy ez igaz legyen, az első prímszámnak egyenlőnek kell lennie 2-vel, és bármely i -re 2-től k -ig minden következő prímszám esetén az egyenlőtlenségnek teljesülnie kell $n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k))$ $p_{i}$ $p_{i}-1$ $p_{1}$ $p_{i}$

p_{i}\leqslant 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{ \alpha _{i-1)))=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{ p_{j}-1}},

ahol az x szám osztóinak összegét jelenti . Például praktikus, mert az egyenlőtlenség minden prímosztóra érvényes: és . $\sigma (x)$ $2\times 3^{2}\times 29\times 823=429606$ $3\leqslant \sigma (2)+1=4,29\leqslant \sigma (2\x3^{2})+1=40$ $823\leqslant \sigma (2\x 3^{2}\times 29)+1=1171$

A fent megadott feltétel szükséges és elégséges. Egy irányban erre a feltételre azért van szükség, hogy n -t osztók összegeként ábrázolhassuk , mert ha az egyenlőtlenséget megsértjük, az összes kisebb osztó összeadásával túl kicsi összeget kapunk ahhoz, hogy . A másik irányban elegendő a feltétel, amit indukcióval lehet elérni. Pontosabban, ha az n szám dekompozíciója kielégíti a fenti feltételt, akkor a következő lépések után tetszőleges szám ábrázolható az n szám osztóinak összegeként [4] [5] : $p_{i}-1$ $p_{i}-1$ $m\leqslant \sigma (n)$

Hagyjuk , és hagyjuk . $q=\min\{\lfloor m/p_{k}^{\alpha _{k))\rfloor ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k))\}$ $r=m-qp_{k}^{\sigma _{k))$
Tekintettel arra, hogy ez indukcióval kimutatható, ami praktikus , megtalálhatjuk q reprezentációját osztók összegeként . $q\leqslant \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k)))$ $n/p_{k}^{\alpha _{k))$ $n/p_{k}^{\alpha _{k))$
Tekintettel arra, hogy indukcióval mutatható ki, ami praktikus , megtalálhatjuk r reprezentációját osztóinak összegeként . $r\leqslant \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k))\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k)))=\sigma (n/ p_{k})$ ${\displaystyle n/p_{k))$ ${\displaystyle n/p_{k))$
Az r osztóábrázolása, valamint a q osztóábrázolás egyes osztóinak együtthatója együtt alkotja m reprezentációját n osztóinak összegeként . $p_{k}^{\alpha _{k))$

Tulajdonságok

Az egyetlen páratlan gyakorlati szám az 1, mert ha n > 2 páratlan szám, akkor 2 nem fejezhető ki n különböző osztóinak összegeként . Srinivasan [3] megjegyezte, hogy az 1-től és a 2-től eltérő gyakorlati számok oszthatók 4-gyel és/vagy 6-tal.
Két gyakorlati szám szorzata is gyakorlati szám [7] . Egy erősebb állítás, bármely két gyakorlati szám legkisebb közös többszöröse , egyben gyakorlati szám is. Ezzel egyenértékűen az összes gyakorlati szám halmaza zárt szorzás alatt.
Stewart és Sierpinski számleírásából kitűnik, hogy abban az esetben, ha n gyakorlati szám, d pedig az egyik osztója, akkor n*d - nek is gyakorlati számnak kell lennie.
Az összes gyakorlati szám halmazában van gyakorlati prímszámok halmaza. A gyakorlati prímszám vagy egy gyakorlati és négyzet nélküli szám , vagy egy gyakorlati szám, és ha elosztjuk bármelyik prímosztójával, amelynek kitevője a felbontásban nagyobb, mint 1, akkor gyakorlatilag megszűnik. A gyakorlati prímszámok sorozata ( A267124 sorozat az OEIS -ben ) a következővel kezdődik:

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308,3,40 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

Más számosztályokhoz való viszony

Számos egyéb figyelemre méltó egész számhalmaz kizárólag gyakorlati számokból áll:

A fenti tulajdonságok közül egy n gyakorlati számhoz és annak egyik d osztójához (azaz d | n ) n*d is gyakorlati szám kell, hogy legyen, tehát a 3-szor 6-nak bármely hatványa is gyakorlati szám kell, hogy legyen. mivel a 6 a 2 bármely hatványa.
Kettő bármely hatványa gyakorlati szám [3] . A kettő hatványa triviálisan kielégíti a gyakorlati számok leírását az egész számok faktorizálása szempontjából – a számtényezősítésben szereplő összes prímszám, p 1 , egyenlő kettővel, ami szükséges.
Minden páros tökéletes szám gyakorlati szám is [3] . Euler eredményéből az következik , hogy a páros tökéletes számnak formájúnak kell lennie . Ennek a bővítésnek a páratlan része egyenlő a páros rész osztóinak összegével, ezért egy ilyen szám páratlan prímosztója nem lehet nagyobb, mint a szám páros részének osztóinak összege. Így ennek a számnak meg kell felelnie a gyakorlati számok leírásának. $2^{n-1}(2^{n}-1)$
Bármely primoriális (valamely i számra az első i prímszám szorzata ) gyakorlati szám [3] . Az első két primoriálisnál, a kettőnél és a hatnál ez egyértelmű. Minden egymást követő primorium úgy jön létre, hogy a p i prímet megszorozzuk egy kisebb primorral, amely osztható 2-vel és az előző prímmel is . Bertrand posztulátuma szerint úgy, hogy az őselem minden megelőző prímosztója kisebb, mint az előző primoriális egyik osztója. Az indukcióból az következik, hogy bármely primoriális megfelel a gyakorlati számok leírásának. Mivel az elsődleges definíció szerint négyzetmentes, ezért gyakorlati prímszám is. $p_{i-1}$ $p_{i}<2p_{i-1}$
Általánosítva az őselemeket, minden olyan számnak, amely az első k prímszám nem nulla hatványának szorzata, praktikusnak kell lennie. Ez a halmaz szuperkompozit Ramanujan számokat (olyan számokat, amelyek osztóinak száma nagyobb, mint bármely kisebb pozitív szám), valamint faktoriálisokat [3] tartalmaz .

Gyakorlati számok és egyiptomi törtek

Ha n praktikus, akkor tetszőleges m / n alakú racionális szám , amelyben m < n , összegként ábrázolható , ahol minden d i n különálló osztója . Ebben az összegben minden tag egy töredékére redukálódik , így ez az összeg az m / n szám egyiptomi törtként való ábrázolását adja . Például, $\sum {\tfrac {d_{i}}{n}}$

{\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.

Fibonacci 1202-ben megjelent Liber Abaci című könyvében [2] ad néhány módszert a racionális számok egyiptomi törtként való megjelenítésére. Ezek közül az első módszer annak ellenőrzése, hogy a szám már töredéke-e az egynek, a második módszer pedig az, hogy a számlálót a nevező osztóinak összegeként ábrázoljuk a fent leírtak szerint. Ez a módszer csak akkor garantálja a sikert, ha a nevező gyakorlati szám. Fibonacci táblázatokat adott az ilyen ábrázolásokról a 6, 8, 12, 20, 24, 60 és 100 gyakorlati számokkal nevezőként.

Vause [8] megmutatta, hogy bármely x / y szám egyiptomi törtként ábrázolható kifejezésekkel. A bizonyítás az n i gyakorlati számok sorozatának keresését használja azzal a tulajdonsággal, hogy bármely n i-nél kisebb szám felírható n i különböző osztóinak összegeként . Ekkor i -t választjuk úgy, hogy u osztható y -vel, így a q hányados és a maradék r . Ebből a választásból az következik, hogy . Ha a képlet jobb oldalán lévő számlálókat kibővítettük az n i szám osztóinak összegére , megkapjuk a szám ábrázolását egyiptomi tört formájában. Tenenbaum és Yokota [9] hasonló technikát használt, különböző gyakorlati számsort használva annak kimutatására, hogy bármely x / y számnak van egy egyiptomi tört reprezentációja, ahol a legnagyobb nevező . $\scriptstyle O({\sqrt {\log y)))$ $\scriptstyle O({\sqrt {\log n_{i-1)})$ ${\displaystyle n_{i-1}<y\leqslant n_{i))$ ${\displaystyle xn_{i))$ $\scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}$ $\scriptstyle O({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y)))$

Chih-Wei Sun [10] 2015. szeptemberi sejtése szerint minden pozitív racionális számnak van egy egyiptomi tört reprezentációja, amelyben bármely nevező gyakorlati szám. David Eppstein blogjában [11] van bizonyíték a sejtésre .

Prímszám-hasonlat

A gyakorlati számok iránti érdeklődés egyik oka az, hogy sok tulajdonságuk hasonló a prímszámokéhoz . Sőt, a Goldbach-sejtéshez és az ikersejtéshez hasonló tételek ismertek a gyakorlati számokra vonatkozóan – minden pozitív páros szám két gyakorlati szám összege, és a gyakorlati számoknak végtelen sok hármasa van [12] . Giuseppe Melfi azt is megmutatta, hogy végtelenül sok gyakorlati Fibonacci-szám létezik ( A124105 sorozat az OEIS -ben ). Egy hasonló kérdés a végtelen számú Fibonacci-prím létezésével kapcsolatban nyitva marad. Houseman és Shapiro [13] kimutatta, hogy minden pozitív valós x intervallumban mindig van egy gyakorlati szám , ami a Legendre-féle prímszámokra vonatkozó sejtés analógja . $x-2,x,x+2$ $[x^{2},(x+1)^{2}]$

Számolja p ( x ) az x -et meg nem haladó gyakorlati számok számát . Margenstern [14] sejtette, hogy p ( x ) aszimptotikusan egyenlő cx /log x -szel valamilyen c állandó esetén, ami hasonlít a prímszámtétel képletére , és megerősíti Erdős és Loxton [15] korábbi kijelentését, miszerint a gyakorlati számok sűrűsége nulla. egész számok halmazában. Sayes [16] bebizonyította, hogy megfelelő c 1 és c 2 állandókra

c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x)),

Végül Weingartner [17] ennek bemutatásával bebizonyította a Margenstern-sejtést

p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\jobb) \jobb),

mert és néhány állandó . $x\geqslant 3$ $c>0$

Jegyzetek

↑ Margenstern ( Margenstern 1991 ), Robinsonra ( Robinson 1979 ) és Heyworthra ( Heyworth 1980 ) hivatkozva a "panaritmikus számok" elnevezést használja.
↑ 12 Sigler , 2002 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Srinivasan, 1948 .
↑ 1 2 3 Stewart, 1954 .
↑ 1 2 3 Sierpiński, 1955 .
↑ Hausman, Shapiro (1984 ); Margenstern (1991 ); Melfi (1996 ) Saias (1997 ).
↑ Margenstern (1991) .
↑ Vose, 1985 .
↑ Tenenbaum, Yokota, 1990 .
↑ Egy sejtés a prímeket tartalmazó egységtörtekről (a hivatkozás nem érhető el) . Letöltve: 2018. május 30. Az eredetiből archiválva : 2018. október 19. (határozatlan)
↑ 0xDE: Egyiptomi törtek gyakorlati nevezőkkel . Letöltve: 2018. május 30. Az eredetiből archiválva : 2019. január 2.. (határozatlan)
↑ Melfi, 1996 .
↑ Hausman, Shapiro, 1984 .
↑ Margenstern, 1991 .
↑ Erdős, Loxton, 1979 .
↑ Saias, 1997 .
↑ Weingartner, 2015 .

Irodalom

Paul Erdős , Loxton JH . Néhány probléma in partitio numerorum // Journal of the Australian Mathematical Society (A sorozat). - 1979. - T. 27 , sz. 03 . – S. 319–331 . - doi : 10.1017/S144678870001243X .
Heyworth MR További információ a panaritmikus számokról // Új-Zéland Math. Mag.. - 1980. - T. 17 , sz. 1 . – S. 24–28 . . Amint azt Margenstern ( 1991 ) idézi.
Miriam Hausman, Harold N. Shapiro. A gyakorlati számokról // Közlemények a tiszta és alkalmazott matematikáról . - 1984. - T. 37 , sz. 5 . – S. 705–713 . - doi : 10.1002/cpa.3160370507 .
Maurice Margenstern. Résultats et conjectures sur les nombres pratiques // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. - 1984. - Vol. 299 , no. 18 . – S. 895–898 . Amint azt Margenstern ( 1991 ) idézi.
Maurice Margenstern. Les nombres pratiques: théorie, megfigyelések és sejtések // Journal of Number Theory . - 1991. - T. 37 , sz. 1 . – S. 1–36 . - doi : 10.1016/S0022-314X(05)80022-8 .
Giuseppe Melfi. Két sejtésről a gyakorlati számokról // Journal of Number Theory. - 1996. - T. 56 , sz. 1 . — S. 205–210 . - doi : 10.1006/jnth.1996.0012 .
Dragoslav S. Mitrinovic, József Sándor, Borislav Crstici. III.50 Gyakorlati számok // Számelméleti kézikönyv, 1. kötet. - Kluwer Academic Publishers, 1996. - 351. évf. - 118–119. - (Matematika és alkalmazásai). - ISBN 978-0-7923-3823-9 .
Robinson DF Egyiptomi törtek a görög számelmélet segítségével // Új-Zéland Math. Mag.. - 1979. - T. 16 , sz. 2 . – 47–52 . . Amint azt Margenstern ( 1991 ) és Mitrinovic Mitrinović , Sándor és Crstici (1996 ) idézi.
Entiers à diviseurs denses, I // Journal of Number Theory. - 1997. - T. 62 , sz. 1 . – S. 163–191 . - doi : 10.1006/jnth.1997.2057 .
Fibonacci Liber Abaci / Laurence E. Sigler (fordítás). - Springer-Verlag, 2002. - S. 119-121 . — ISBN 0-387-95419-8 .
Waclaw Sierpinski . Sur une propriété des nombres naturels // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1955. - T. 39 , sz. 1 . – S. 69–74 . - doi : 10.1007/BF02410762 .
Srinivasan AK Gyakorlati számok // Aktuális tudomány . - 1948. - T. 17 . – S. 179–180 .
Stewart BM Különálló osztók összegei // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1954. - V. 76 , no. 4 . – S. 779–785 . - doi : 10.2307/2372651 . — .
Tenenbaum G., Yokota H. Az egyiptomi törtek hossza és nevezői // Journal of Number Theory. - 1990. - T. 35 , sz. 2 . – S. 150–156 . - doi : 10.1016/0022-314X(90)90109-5 .
Vose M. Egyptian fractions // Bulletin of the London Mathematical Society . - 1985. - T. 17 , sz. 1 . - S. 21 . - doi : 10.1112/blms/17.1.21 .
Weingartner A. Gyakorlati számok és az osztók eloszlása // The Quarterly Journal of Mathematics. - 2015. - T. 66 , sz. 2 . – S. 743–758 . - doi : 10.1093/qmath/hav006 . - arXiv : 1405.2585 .

Linkek

Gyakorlati számtáblázatok archiválva 2017. december 26-án a Giuseppe Melfi által összeállított Wayback Machine -nél.
Gyakorlati szám (angolul) a PlanetMath weboldalán .
Weisstein, Eric W. Gyakorlati szám (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Természetes számok osztályai

Hatványok és
kapcsolódó számok

A × 2 b ± 1
alakú számok

Egyéb
polinomszámok
_

Rekurzívan
meghatározott
számok

Meghatározott tulajdonságokkal
rendelkező számkészletek

Összegekben kifejezve

Nem hipotenúza
Gyakorlati
A fő félig egyszerű
Ulama
Wolsenholm

Szitával nyertük
_

szerencseszámok

Kapcsolódó kódok
_

Mirtens

göndör számok

2-dimenziós

középre _	háromszög alakú négyzet ötszögű hatszögletű hétszögletű nyolcszögű nem szögletes tízszögű csillagkép
off- center	háromszög alakú négyzet négyzet háromszög alakú hatszögletű nyolcszögű

3 dimenziós

középre _	tetraéderes kocka alakú oktaéderes dodekaéder ikozaéder
off- center	tetraéderes oktaéderes dodekaéder ikozaéder Csillag-oktaéder
piramis _	négyzet ötszögű hatszögletű hétszögletű

4 dimenziós

középre _	pentachorikus háromszög alakú négyzetben
off- center	pentatop

Ál-egyszerű

Carmichael
Catalana
elliptikus
Euler
Euler-Jacobi
Tanya
Frobenius
Luca
Somera - Luca
erős álegyszerű

kombinatív
számok

Aritmetikai
függvények

σ( n )	redundáns majdnem tökéletes számtan kolosszálisan felesleges Descartes féltökéletes számok rendkívül redundáns számok nagy komponensű számok hipertökéletes számok multitökéletes számok elkötelezett gyakorlati primitív redundáns kissé redundáns tau számok fenséges számok bőséges számok szuperkompozit számok szupertökéletes számok
Ω( n )	szinte egyszerű félig egyszerű
φ( n )	erősen kovalens nagy érzékenységű tökéletes beteg kissé türelmes
s( n )	barátságos foglalt elégtelen félig tökéletes

Eukleidész
szerencseszámok

Osztók szerint

Egyéb prímosztók
vagy az oszthatósággal
kapcsolatosak

Szórakoztató
matematika

Számrendszerek
_

automorf szám
ciklikus
Ozirisz
Dudeni
egyenlő számjegyek
extravagáns
Factorion
Friedman
elégedett
Nivena
Kita
Lichrel
hiányzó számjegyű összeg
Armstrong
palindromikus
pandigitális
parazita
káros
mágikus
primitív
repdigits
újraegyesül
saját generált
önleíró
Smarandsha – Wellena
szigorúan nem palindromikus
váltókarok
elmozdulás
trimorf
hullámos
vámpírok

Aronson sorozat
palacsintaszámok

Számok oszthatósági jellemzők szerint
Általános információ	Egész számok faktorizálása Oszthatóság egységes osztó Osztófüggvény prímszám Az aritmetika alaptétele Számtani szám
Faktorizációs formák	prímszám Összetett szám Semiprime téglalap alakú szám Szfenikus szám Négyzet nélküli szám Teljes többszörös Tökéletes diploma Achilles-szám sima szám Normál szám durva szám szokatlan szám
Korlátozott osztókkal	tökéletes szám Kissé elégtelen számok Kissé redundáns számok Többszörösen tökéletes szám Féltökéletes számok hipertökéletes szám szuper tökéletes szám egységes prím féltökéletes szám pararitmiás szám Erdős-Nicolas szám
Számok sok osztóval	Túlzott számok Primitív többletszámok Erősen redundáns számok Szuper redundáns számok Rendkívül felesleges számok szuperkompozit szám Nagyon szuperkompozit szám furcsa szám
Alikvot szekvenciákkal kapcsolatos	szent szám baráti számok nyilvános számok Kvázi baráti számok
Egyéb	Nincs elég szám haver számok szublimált számok Ércszámok szerény szám Egyenlő számjegyek extravagáns szám