Az egység részesedése

Az egyes törtrésze (alikvot) egy racionális szám tört formájában, amelynek a számlálója egy, a nevezője pedig egy pozitív egész szám . Az egységtört tehát egy pozitív egész szám reciproka , 1/ n . Ilyen például az 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 stb.

Elemi aritmetika

Az egy tetszőleges két törtrészét megszorozva az egyes törtrészét kapjuk:

{\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.

Azonban egy egység két törtrészének összeadása , kivonása vagy elosztása általában az egység törtrészeitől eltérő eredményt ad:

{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}},

{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}},

{\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.

Moduláris aritmetika

Az egy törtjei fontos szerepet játszanak a modulo-összehasonlításban , mivel ezek segítségével a modulo osztást a legnagyobb közös osztó kiszámítására lehet redukálni. Konkrétan tegyük fel, hogy ki szeretnénk számítani az x modulo y -val való osztás eredményét . Ahhoz, hogy az x -szel való osztást modulo y definiálhassuk , x -nek és y -nek koprímnek kell lennie . Ezután a kiterjesztett Eukleidész algoritmus segítségével megtaláljuk a legnagyobb közös osztót , és megkereshetjük a-t és b -t , hogy

\displaystyle ax+by=1,

honnan következik

\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y)),

ami egyenértékű azzal

a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.

Tehát az x -el való osztáshoz (modulo y ) egyszerűen meg kell szorozni a- val .

Egy egység törteinek végső összege

Bármely pozitív racionális szám több módon is ábrázolható az egy töredékeinek összegeként. Például,

{\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.

Az ókori egyiptomiak az egyes törteinek összegeit használták racionális számok írásához , és az ilyen összegeket gyakran egyiptomi törteknek nevezik . Mindeddig érdeklődés mutatkozott a régiek által a lehetséges reprezentációk kiválasztására és az ilyen reprezentációk kiszámítására használt módszerek elemzése iránt [1] . Az egyiptomi törtek témája a modern számelméletet is érdekli . Például az Erdős-Graham- sejtés és az Erdős-Strauss-sejtés az egységek töredékeinek összegére vonatkozik, akárcsak a harmonikus ércszámok meghatározása .

A geometriai csoportelméletben a háromszögek csoportjait euklideszi, gömb alakú és hiperbolikus csoportokra osztják, attól függően, hogy a hozzájuk tartozó egységtörtek összege egyenlő eggyel, kisebb egynél vagy nagyobb egynél.

Az egy törteinek sorozatai

Sok jól ismert végtelen sorozatnak vannak kifejezései egy tört formájában. Közöttük:

A harmonikus sorozat az egy összes pozitív törtjének összege. Ez az összeg és annak részösszegei eltérnek

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

szorosan közelítik az ln n + γ -t n növekedésével .

A bázeli probléma az egyes törteinek négyzetösszegét veszi figyelembe, amely π 2 /6-hoz konvergál.
Az Aperi-konstans az egy töredékeinek kockáinak összege.
A geometriai progressziók és az inverz Fibonacci-sor további példák egy sorozat törtrészeire.

Törtmátrixok

A Hilbert-mátrix elemei számok

B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1)).

Szokatlan tulajdonsága van - inverz mátrixának minden eleme egész szám [2] . Hasonló módon Richardson [3] definiált egy elemes mátrixot

C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1))},

ahol F i az i - edik Fibonacci-számot jelöli . Ezt a mátrixot "Filbert-mátrixnak" nevezte, és ugyanaz a tulajdonsága [4] .

Szomszédos törtek

Két törtet szomszédosnak nevezünk, ha különbségük egy törtrésze [5] [6] .

Az egység töredékei a valószínűségszámításban és a statisztikában

Egy diszkrét egyenletes eloszlásban minden valószínűség egy töredéke. A közömbösség elve szerint a statisztikai számításokban gyakran felmerülnek ilyen típusú valószínűségek [7] . Ezenkívül a Zipf-törvény kimondja, hogy számos megfigyelhető esemény esetében, beleértve az objektumok rendezett sorozatból való kiválasztását, annak a valószínűsége, hogy az n- edik objektumot kiválasztják, egy 1/ n töredékével arányos [8] .

Az egység töredékei a fizikában

A hidrogénatom által elnyelhető vagy kibocsátható fotonok energiaszintje a Rydberg-képlet szerint arányos az egy két töredéke közötti különbséggel. A jelenségre magyarázatot ad a Bohr-modell , amely szerint a hidrogénatom elektronpályáinak energiaszintjei fordítottan arányosak az egység töredékeinek négyzetével, a fotonenergiát pedig a szintkülönbség kvantálja [9] .

Arthur Eddington kijelentette, hogy a finomszerkezeti állandó az egy töredéke, először 1/136, majd 1/137. Ez az állítás tévesnek bizonyult, és a finomszerkezeti állandó értékének modern becslése (legfeljebb 6 tizedesjegyig) 1/137,036 [10] .

Lásd még

Egyiptomi frakciók

Jegyzetek

↑ Guy, 2004 , p. 252-262.
↑ Choi, 1983 , p. 301-312.
↑ Richardson, 2001 .
↑ Richardson, 2001 , p. 268-275.
↑ Szomszédos tört a PlanetMath webhelyen .
↑ Weisstein, Eric W. Szomszédos tört a Wolfram MathWorld webhelyen .
↑ Walesi, 1996 , p. 66.
↑ Saichev, Malevergne, Sornette, 2009 .
↑ Yang, Hamilton, 2009 , p. 81-86.
↑ Kilmister, 1994 .

Irodalom

Richard K Guy. Megoldatlan számelméleti problémák. — 3. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Man Duen Choi. Trükkök vagy finomságok a Hilbert-mátrixszal // The American Mathematical Monthly. - 1983. - T. 90 , sz. 5 . - doi : 10.2307/2975779 .
Thomas M. Richardson. A Filbert-mátrix // Fibonacci Quarterly . - 2001. - T. 39 , sz. 3 . - . - arXiv : math.RA/9905079 .
Fujia Yang, Joseph H. Hamilton. Modern atom- és atomfizika. - World Scientific, 2009. - ISBN 978-981-283-678-6 .
Clive William Kilmister. Eddington alapvető elmélet keresése: kulcs az univerzumhoz. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 978-0-521-37165-0 .
Alan H. Welsh. A statisztikai következtetés szempontjai. - John Wiley and Sons, 1996. - T. 246. - (Wiley Series in Probability and Statisztika). — ISBN 978-0-471-11591-5 .
Alexander Saichev, Yannick Malevergne, Didier Sornette. A Zipf-törvény elmélete és azon túl. - Springer-Verlag, 2009. - T. 632. - (Közgazdaságtan és matematikai rendszerek előadásjegyzetei). - ISBN 978-3-642-02945-5 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Unit Fraction (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .