Pentakisdodekaéder

A pentakiszdodekaéder ( más görög πεντάχις - „ötször”, δώδεκα - „tizenkét” és ἕδρα - „arc”) egy félig szabályos poliéder (katalán test), kettős vagy csonka alakú . 60 azonos hegyesszögű egyenlő szárú háromszögből áll, amelyekben az egyik szög egyenlő , a másik kettő pedig egyenlő $\arccos \,{\frac {9{\sqrt {5}}-7}{36}}\kb 68{,}62^{\circ },$ $\arccos \,{\frac {9-{\sqrt {5}}}{12}}\kb. 55{,}69^{\circ }.$

32 csúcsa van; 12 csúcson (amelyek az ikozaéder csúcsaihoz hasonlóan helyezkednek el) 5 lapból álló nagyobb szögeikkel, 20 csúcsnál (amelyek a dodekaéder csúcsaihoz hasonlóan helyezkednek el ) 6 lapból álló kisebb szögekkel konvergálnak.

A pentakis dodekaédernek 90 éle van - 30 "hosszú" (ugyanúgy elrendezve, mint a dodekaéder élei) és 60 "rövid". Bármely él diéderszöge azonos és egyenlő $\arccos \left(-{\frac {80+9{\sqrt {5}}}{109}}\right)\approx 156{,}72^{\circ }.$

A pentakiszdodekaédert úgy kaphatjuk meg a dodekaéderből , hogy minden lapjához egy szabályos ötszögletű piramist rögzítünk , amelynek alapja megegyezik a dodekaéder lapjával, magassága pedig egyszer kisebb, mint az alap oldala. Ebben az esetben a kapott poliédernek 5 lapja lesz az eredeti 12 lapja helyett – ez az oka a nevének. ${\sqrt {65-22{\sqrt {5))))\approx 3{,}98$

Metrikus jellemzők

Ha a pentakis dodekaéder "rövid" élei hosszúak , akkor a "hosszú" élei hosszúak , és a felület és a térfogat a következőképpen van kifejezve: $a$ ${\frac {1}{6}}\left(9-{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}13a,$

S={\frac {5}{3}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}\left(421+63{\sqrt {5}}\right)))\;a ^{2}\kb 27{,}9352496a^{2},

V={\frac {5}{36}}\left(41+25{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13{,}4585694a^{3}.

A beírt gömb sugara (amely a poliéder összes lapját a középpontjukban érinti ) egyenlő lesz

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{109}}\left(477+194{\sqrt {5}}\right)))\;a \kb 1{,}4453319a,

egy félig beírt gömb sugara (minden élét érinti) -

\rho ={\frac {11+3{\sqrt {5}}}{12}}a\approx 1{,}4756837a.

Lehetetlen úgy leírni egy gömböt a pentakiszdodekaéder közelében, hogy az minden csúcson áthaladjon.

Linkek

Weisstein, Eric W. Pentakisdodecahedron (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Poliéder

helyes

Háromdimenziós (platonikus szilárd testek)	szabályos tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder ikozaéder
4D	Ötcellás tesserakt Hexadecimális sejt huszonnégy cella 120 cella Hatszáz sejt
Nagyobb méret (zárójelben jelölve)	Szabályos szimplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hiperoktaéder

Szabályos
, nem domború

Háromdimenziós az
arcok számával (zárójelben jelölve)

Monoéder (1)
Diéder (2)
Triéder (3)
Tetraéder (4)
Pentaéder (5)
Hexaéder (6)
Heptaéder (7)
Oktaéder (8)
Enneaéder (9)
Dekaéder (10)
Endekaéder (11)
Dodekaéder (12)
Tridekaéder (13)
Tetradekaéder (14)
Pentadekaéder (15)
Hexadekaéder (16)
Heptadekaéder (17)
Oktadekaéder (18)
Enneadekaéder (19)
Ikozaéder (20)
Ikozotetraéder (24)
Triakontaéder (30)
Hexacontahedron (60)
Enneakontaéder (90)
Hektotriadioéder (132)
Apeiroéder (∞)

konvex

Arkhimédeszi szilárd testek

Katalán testek

Prizmák
háromszög prizma négyszögű prizma Ötszögletű prizma Hatszögletű prizma Hétszögű prizma Nyolcszögletű prizma Kilencszögű prizma Tízszögű prizma Tizenegy szögű prizma Dodecagonal prizma

Johnson poliéder

Képletek ,
tételek ,
elméletek

Egyéb