A Johnson-poliéder vagy egy Johnson-test egy konvex poliéder , amelynek minden lapja szabályos sokszög , ugyanakkor nem platóni , sem arkhimédeszi test , sem prizma , sem antiprizma . Összesen 92 Johnson test van.
Példa a Johnson testre egy piramis , amelynek alapja négyzet, oldalai pedig szabályos háromszögek ( J 1 (M 2 ) . 1 négyzetlapja és 4 háromszöge van.
Mint minden szigorúan domború testnek, ezeknek a poliédereknek legalább három lapja van minden csúcs mellett, és a szögeik összege (a csúcsgal szomszédos) kisebb, mint 360º. Mivel a szabályos sokszögek szöge legalább 60º, maximum öt lap érhet egy csúcsot. Az ötszögletű piramis ( J 2 ) egy olyan példa, amelynek ötös rendű csúcsa van (azaz öt lappal).
Bár nincs kifejezett korlátozás a Johnson-testek lapjaként használható szabályos sokszögekre vonatkozóan, valójában a lapoknak csak 3, 4, 5, 6, 8 vagy 10 oldala lehet, és minden Johnson-testnek háromszöglapja lehet (legalábbis négy).
A Johnson-testek közül a megnyúlt, négy lejtőn elforgatott bikupólus ( J 37 ), amelyet pszeudorhombikuboktaédernek is neveznek [1] , az egyetlen, amely rendelkezik a lokális csúcsegyenletesség tulajdonságával - minden csúcson 4 lap van és ezek elrendezése ugyanaz - 3 négyzet és 1 háromszög. A test azonban nem csúcstranzitív, mivel különböző izometriákkal rendelkezik a különböző csúcsokban, ami Johnson-testté teszi, és nem archimédeszi testté .
1966-ban Norman Johnson közzétett egy listát, amely mind a 92 holttestet tartalmazta, és nevet és számot adott nekik. Feltételezte, hogy csak 92-en vannak, vagyis nincs más.
Korábban, 1946-ban L. N. Esaulova levelet küldött A. D. Aleksandrovnak , amelyben bebizonyította, hogy csak véges számú szabályos poliéder létezhet (kivéve 5 szabályos poliédert, 13 félszabályos és két végtelen sorozatot (prizmát és antiprizmát). 1961 Aleksandrov ezt a levelet V. A. Zalgallernek adta, valószínűleg Johnson 1960-as feljegyzése miatt [2] .
1967-ben Victor Zalgaller bizonyítékot tett közzé arra vonatkozóan, hogy Johnson listája teljes. A döntésben részt vett a 239. számú iskola iskolásainak egy csoportja . A teljes bizonyítás körülbelül 4 évig tartott számítástechnika bevonásával . A bizonyítás jelentős mértékben felhasználta Alekszandrov konvex poliéder-tételét is .
Johnson testeinek nevének nagy leíró ereje van. A legtöbb ilyen szilárd test több testből ( piramisok , kupolák és rotundák ) is felépíthető platóni és arkhimédeszi szilárdtestek, prizmák és antiprizmák hozzáadásával .
Az utolsó három művelet, a növelés , a csonkítás és a forgatás , többször is végrehajtható kellően nagy poliédereken. Kétszer végrehajtott műveleteknél kétszer adjuk hozzá . ( A kétszer megcsavart testnek két elfordított kupolája van.) A háromszor végrehajtott műveleteknél adjon hozzá háromszor . ( Három piramist vagy kupolát távolítottak el a háromszor levágott testről.)
Néha a kétszeri szó nem elég. Meg kell különböztetni azokat a testeket, amelyekben két ellentétes oldal módosult, és olyan testeket, amelyekben más lapok módosultak. Ha a módosított lapok párhuzamosak, akkor az ellenkezője kerül hozzáadásra a névhez . ( A kettős ellentétes kiterjesztett testnek két párhuzamos lapja (szemben) van hozzáadott testekkel.) Ha a változtatások olyan lapokra vonatkoznak, amelyek nem ellentétesek, akkor a névhez ferde karakter kerül hozzáadásra . ( A kétszeresen ferde testnek két arca van hozzáadott testekkel, de az arcok nem állnak egymással szemben.)
Számos név származik azokból a sokszögekből, amelyekből Johnson teste összeállt.
Ha egy hónapot egy négyzethez csatolt két háromszög csoportjaként határozunk meg, akkor az ékkorona szó egy ék alakú koronaszerű csoportnak felel meg, amelyet két hónap alkot. A két -klinoid vagy két- klinika szó két ilyen csoportot jelent.Ez a cikk a Zalgaller [3] cikkének címeit használja . A Johnson által megadott poliéderszámokkal együtt Zalgaller cikkének összetett száma zárójelben van megadva. Ebben az összetett számban
P n egy n -szögű alappal rendelkező prizmát jelöl. Az n pedig egy n -szögű bázisú antiprizmát jelöl. M n egy n indexű testet jelöl (azaz ebben az esetben a test egy másik test alapján épül fel). Az aláhúzás a test forgását jelentiMegjegyzés : M n nem ugyanaz, mint J n . Így a J 1 (M 2 ) négyzet alakú piramis indexe 1 Johnson és 2 indexe Zalgaller esetében.
Az első két Johnson-test, J 1 és J 2 , piramisok . A háromszög alakú piramis szabályos tetraéder , tehát nem Johnson-test.
| helyes | J 1 (M 2 ) | J 2 (M 3 ) |
|---|---|---|
| Háromszög alakú piramis ( tetraéder ) |
négyzet alakú piramis | Ötszögletű piramis |
A következő négy poliéder három kupola és egy rotunda .
| Kupolák | Rotundák | |||
|---|---|---|---|---|
| Homogén | J 3 (M 4 ) | J 4 (M 5 ) | J 5 (M 6 ) | J 6 (M 9 ) |
| háromszög prizma | Három lejtős kupola | Négyszögű kupola | öt lejtős kupola | öt lejtős rotunda |
| Rokon egységes poliéderek | ||||
| Cuboctahedron | Rombicuboktaéder | Rombikozidodekaéder | ikozidodekaéder | |
A következő öt Johnson-poliéder hosszúkás és csavart hosszúkás piramis. Két poliéder ragasztását ábrázolják. Torziósan megnyúlt háromszöggúla esetén három pár szomszédos háromszög egysíkú, tehát a test nem Johnson-poliéder.
| Hosszúkás piramisok (vagy kiterjesztett prizmák) |
Csavart hosszúkás piramisok (vagy kiterjesztett antiprizmák) | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J 7 (M 1 + P 3 ) | J 8 (M 2 + P 4 ) | J 9 (M 3 + P 5 ) | egysíkú | J 10 (M 2 + A 4 ) | J 11 (M 3 + A 5 ) |
| Hosszúkás háromszög alakú piramis | Hosszúkás négyszögletű piramis | Hosszúkás ötszögletű piramis | Csavart hosszúkás háromszög alakú piramis | Csavart hosszúkás négyszögletű piramis | Csavart hosszúkás ötszögletű piramis |
| Kiterjesztett háromszög prizma | bővített kocka | Kiterjesztett ötszögletű prizma | kiterjesztett oktaéder | Kiterjesztett négyzet alakú antiprizma | Kiterjesztett ötszögletű antiprizma |
| A poliéderekből származik | |||||
| tetraéder háromszög prizma |
négyzet alakú piramiskocka |
Ötszögletű piramis ötszögű prizma |
tetraéder oktaéder |
Négyzet alakú piramis négyzet alakú antiprizma |
ötszögletű piramis ötszögletű antiprizma |
A következő Johnson-poliéderek bipiramisok , hosszúkás bipiramisok és csavart hosszúkás bipiramisok :
| Bipiramisok | Hosszúkás bipiramisok | Csavart, hosszúkás bipiramisok | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J 12 (2M 1 ) | helyes | J 13 (2M 3 ) | J 14 (M 1 + P 3 + M 1 ) | J 15 (M 2 + P 4 + M 2 ) | J 16 (M 3 + P 5 + M 3 ) | egysíkú | J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) | helyes |
| háromszög alakú bipiramis | négyzet alakú bipiramis ( oktaéder ) |
Ötszögletű bipiramis | Hosszúkás háromszög alakú bipiramis | Hosszúkás négyszögletű bipiramis | Hosszúkás, ötszögletű bipiramis | Csavart hosszúkás háromszög bipiramis ( romboéder ) |
Csavart, hosszúkás négyszögletű bipiramis | Csavart hosszúkás ötszögletű bipiramis ( ikozaéder ) |
| A poliéderekből származik | ||||||||
| tetraéder | négyzet alakú piramis | Ötszögletű piramis | tetraéder háromszög prizma |
négyzet alakú piramiskocka |
Ötszögletű piramis ötszögű prizma |
tetraéder oktaéder |
Négyszögletes piramis Négyszögletű antiprizma |
Ötszögletű piramis Ötszögletű antiprizma |
| Hosszúkás kupolák | Hosszúkás rotunda | Csavart, hosszúkás kupolák | Csavart hosszúkás rotunda | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| egysíkú | J 18 (M 4 + P 6 ) | J 19 (M 5 + P 8 ) | J 20 (M 6 + P 10 ) | J 21 (M 9 + P 10 ) | Homorú | J 22 (M 4 + A 6 ) | J 23 (M 5 + A 8 ) | J 24 (M 6 + A 10 ) | J 25 (M 9 + A 10 ) |
| Hosszúkás oromfalú kupola | Hosszúkás háromszög alakú kupola | Hosszúkás csípős kupola | Hosszúkás, ötoldalas kupola | Hosszúkás ötlejtős rotunda | Csavart hosszúkás oromzatú kupola | Csavart hosszúkás háromszög kupola | Csavart hosszúkás négyszögű kupola | Csavart hosszúkás ötszögű kupola | Csavart hosszúkás, öt lejtős rotunda |
| A poliéderekből származik | |||||||||
| Négyzet prizma Háromszög prizma |
Hatszögletű prizma |
Nyolcszögletű prizma |
Tízszögű prizma Ötoldalas kupola |
Tízszögű prizma |
Négyszögletű antiprizma Háromszögű prizma |
Hatszögletű antiprizma |
Nyolcszögletű antiprizma Négyszögű kupola |
Tízszögletű antiprizma Öt lejtős kupola |
Tízszögletű antiprizma Ötoldalas rotunda |
Az elforgatott háromszög alakú bikupólusok félig szabályos poliéderek (jelen esetben arkhimédeszi szilárdtestek ), tehát nem tartoznak a Johnson-politóp osztályba.
| egyenes kupolák | Elforgatott kupolák | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| egysíkú | J 27 (2M 4 ) | J 28 (2M 5 ) | J 30 (2M 6 ) | J 26 (P 3 + P 3 ) | félig helyes | J 29 (M 5 + M 5 ) | J 31 (M 6 + M 6 ) |
| Gable egyenes bi-kupola | Három lejtős egyenes bi-kupola | Négy lejtős egyenes bi-kupola | Öt lejtős egyenes bi-kupola | Oromfal esztergált bikupólus ( gyrobifastigium ) |
Háromszög alakú elforgatott bikupólus ( kuboktaéder ) |
Négy lejtős esztergált kétkupola | Öt lejtős bi-kupola |
| A poliéderekből származik | |||||||
| Cupolorotunda | birotundák | ||
|---|---|---|---|
| J 32 (M 6 + M 9 ) | J 33 (M 6 + M 9 ) | J 34 (2M 9 ) | félig helyes |
| Öt lejtős egyenes kupola | Öt lejtős esztergált kupola-orotonda | Öt lejtős egyenes birotunda | Ötoldalas elforgatott birotunda ikozidodekaéder |
| A poliéderekből származik | |||
| Öt lejtős kupola Öt lejtős rotunda |
öt lejtős rotunda | ||
| Hosszúkás egyenes bikupólusok | Hosszúkás elforgatott kétkupolák | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| egysíkú | J 35 (M 4 + P 6 + M 4 ) | félig helyes | J 38 (M 6 + P 10 + M 6 ) | egysíkú | J 36 (M 4 + P 6 + M 4 ) | J 37 (M 5 + P 8 + M 5 ) | J 39 (M 6 + P 10 + M 6 ) |
| Hosszúkás oromzatú egyenes bi-kupola | Hosszúkás, három lejtős egyenes bi-kupola | Hosszúkás négyzet alakú egyenes bikupólus ( rombicuboktaéder ) |
Hosszúkás, öt lejtős egyenes bi-kupola | Hosszúkás, dupla lejtésű, forgatható bi-kupola | Hosszúkás, három lejtőn forgatható bi-kupola | Hosszúkás, négy lejtőn forgatható bi-kupola | Hosszúkás, öt lejtős esztergált kétkupola |
| hosszúkás kupola-orotonda | Hosszúkás birotundák | ||
|---|---|---|---|
| J 40 (M 6 + P 10 + M 9 ) | J 41 (M 6 + P 10 + M 9 ) | J 42 (M 9 + P 10 + M 9 ) | J 43 (M 9 + P 10 + M 9 ) |
| Hosszúkás, öt lejtős egyenes kupola | Hosszúkás, ötlejtős esztergált kupola | Hosszúkás, öt lejtős egyenes birotunda | Hosszúkás öt lejtős esztergált birotunda |
A következő Johnson szilárd anyagoknak két királis formája van.
| Csavart, hosszúkás kétkupolák | Csavart hosszúkás kupola | Csavart hosszúkás birotunda | |||
|---|---|---|---|---|---|
| nem domború | J 44 (M 4 + A 6 + M 4 ) | J 45 (M 5 + A 8 + M 5 ) | J 46 (M 6 + A 10 + M 6 ) | J 47 (M 6 + A 10 + M 9 ) | J 48 (M 9 + A 10 + M 9 ) |
| Csavart, hosszúkás oromzatú bi-kupola | Csavart hosszúkás, három lejtős bi-kupola | Csavart, hosszúkás, négyszögű kétkupola | Csavart hosszúkás, öt lejtős bi-kupola | Csavart hosszúkás, öt lejtős kupola | Csavart hosszúkás, öt lejtős birotunda |
| A poliéderekből származik | |||||
| Háromszög prizma Négyszögletű antiprizma |
Három lejtős kupola Hatszögletű antiprizma |
Négyszögű kupola, nyolcszögletű antiprizma |
Öt lejtős kupola , dekagonális antiprizma |
Öt lejtős kupola Öt lejtős rotunda Dekagonális antiprizma |
Öt lejtős rotunda Tízszögű antiprizma |
| J 7 (M 1 + P 3 ) (ismételten) |
J 49 (P 3 + M 2 ) | J 50 (P 3 + 2M 2 ) | J 51 (P 3 + 3M 2 ) | |
|---|---|---|---|---|
| Hosszúkás háromszög alakú piramis | Kiterjesztett háromszög prizma | Duplán kiterjesztett háromszög prizma | Háromszoros kiterjesztett háromszög prizma | |
| A poliéderekből származik | ||||
| háromszögű prizma tetraéder |
Háromszög hasáb négyzet alakú piramis | |||
| Kiterjesztett ötszögletű prizmák | Kiterjesztett hatszögletű prizmák | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J 52 (P 5 + M 2 ) | J 53 (P 5 + 2M 2 ) | J 54 (P 6 + M 2 ) | J 55 (M 2 + P 6 + M 2 ) | J 56 (P 6 + 2M 2 ) | J 57 (P 6 + 3M 2 ) |
| Kiterjesztett ötszögletű prizma | Duplán kiterjesztett ötszögű prizma | Kiterjesztett hatszögletű prizma | Duplán ellentétes kiterjesztett hatszögletű prizma | Duplán ferdén kiterjesztett hatszögletű prizma | Háromszoros kiterjesztett hatszögletű prizma |
| A poliéderekből származik | |||||
| Ötszögletű prizma négyzet alakú piramis |
Hatszögletű prizma négyzet alakú piramis | ||||
| Jobb | J 58 (M 15 + M 3 ) | J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) | J 60 (M 15 + 2M 3 ) | J 61 (M 15 + 3M 3 ) |
|---|---|---|---|---|
| Dodekaéder | kiterjesztett dodekaéder | A dodekaéder kétszeresen meghosszabbodik | A dodekaéder kétszeresen meghosszabbodik | Háromszoros kiterjesztett dodekaéder |
| A poliéderekből származik | ||||
| Dodekaéder és ötszögletű piramis | ||||
| Jobb | J 11 (M 3 + A 5 ) (ismételten) |
J 62 (M 7 + M 3 ) | J 63 (M 7 ) | J 64 (M 7 + M 1 ) |
|---|---|---|---|---|
| ikozaéder | Levágott ikozaéder ( csavart, hosszúkás ötszögletű piramis ) |
Dupla ferdén vágott ikozaéder | Háromszoros metszésű ikozaéder | Kiterjesztett hármas metszetű ikozaéder |
| A poliéderekből származik | ||||
| Háromszoros metszésű ikozaéder , ötszögletű piramis és tetraéder | ||||
| J 65 (M 10 + M 4 ) | J 66 (M 11 + M 5 ) | J 67 (M 5 + M 11 + M 5 ) |
|---|---|---|
| Kiterjesztett csonka tetraéder | Kiterjesztett csonka kocka | Duplán bővített csonka kocka |
| A poliéderekből származik | ||
| Csonka tetraéder |
Csonka kocka | |
| félig helyes | J 68 (M 6 + M 12 ) | J 69 (M 6 + M 12 + M 6 ) | J 70 (M 12 + 2M 6 ) | J 71 (M 12 + 3M 6 ) |
|---|---|---|---|---|
| csonka dodekaéder | Kiterjesztett csonka dodekaéder | Dodekaéder csonka dodekaéder kétszeresen kiterjesztve | Dodekaéder dodekaéder | Háromszorosan kiterjesztett csonka dodekaéder |
| J 72 ( M 6 + M 14 + M 6 = M 6 + M 13 + 2M 6 ) | J 73 ( M 6 + M 14 + M 6 ) | J 74 (2 M 6 + M 13 + M 6 ) | J 75 (3 M 6 + M 13 ) |
|---|---|---|---|
| Csavart rombikozidodekaéder | Duplán csavart rombikozidodekaéder | Duplán csavart rombikozidodekaéder | Háromcsavart rombikozidodekaéder |
| J 76 (M 6 + M 14 = 2 M 6 + M 13 ) | J 77 (M 14 + M 6 ) | J 78 (M 13 + M 6 + M 6 ) | J 79 (M 13 + 2 M 6 ) |
|---|---|---|---|
| Vágja le a rombikozidodekaédert | Ellentétes csavart csonka rombikozidodekaéder | Ferdén csavart csonka rombikozidodekaéder | Duplán csavart csonka rombikozidodekaéder |
| J 80 (M 14 ) | J 81 (M 13 + M 6 ) | J 82 (M 14 + M 6 ) | J 83 (M 13 ) |
| Dupla ellentétes metszetű rombikozidodekaéder | A kétszer ferdén vágott rombikozidodekaéder | Csavart, duplán vágott rombikozidodekaéder | Trisected rombikozidodekaéder |
Snub antiprizmák a csonkolt antiprizmák megváltoztatásával szerkeszthetők. Két test Johnson poliéder, egy test szabályos, a többi pedig nem építhető szabályos háromszögekből.
| J 84 (M 25 ) | Jobb | J 85 (M 28 ) | Rossz |
|---|---|---|---|
| Johnson teste | Jobb | Johnson teste | Homorú |
Snub biclinoid ss{2,4} |
icosahedron ss{2,6} |
Snub négyzet alakú antiprizma ss{2,8} |
ss{2,10} |
szabályos háromszögekből lehetetlen építeni |
| J 86 (M 22 ) | J 87 (M 22 + M 3 ) | J 88 (M 23 ) | |
|---|---|---|---|
| ékkorona | Kiterjesztett ékkorona | Nagy ékkorona | |
| J 89 (M 21 ) | J 90 (M 24 ) | J 91 (M 8 ) | J 92 (M 20 ) |
| Lapított nagy ékkorona | Öves biklinika | Dupla Serporotonda | Lapított háromszög alakú klinorothonda |
Az öt Johnson-poliéder deltaéder , ami azt jelenti, hogy minden lapjuk szabályos háromszög:
| J 12 (2M 1 ) Háromszög alakú bipiramis J 13 (2M 3 ) Ötszögletű bipiramis J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) Csavart, hosszúkás négyszögletű bipiramis | J 51 (P 3 + 3M 2 ) Háromszoros kiterjesztett háromszög prizma J 84 (M 25 ) Lapos orrú kétklinoid |
Huszonnégy Johnson-politópnak csak három- és négyszöglapja van:
Tizenegy Johnson-testnek csak háromszög- és ötszöglapja van:
|
J 2 (M 3 ) Ötszögletű piramis J 11 (M 3 + A 5 ) Csavart hosszúkás ötszögletű gúla J 34 (2M 9 ) Öt lejtős egyenes birotunda J 48 (M 9 + A 10 + M 9 ) Csavart hosszúkás, öt lejtős birotunda J 58 (P 15 + M 3 ) Kiterjesztett dodekaéder J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) Dodekaéder ellentétesen megduplázódott |
J 60 (M 15 + 2M 3 ) Dodekaéder ferdén megkétszerezve J 61 (M 15 + 2M 3 ) Háromszoros kiterjesztett dodekaéder J 62 (M 7 +M 3 ) Dupla ferdén vágott ikozaéder J 63 (M 7 ) Háromszor vágott ikozaéder J 64 (M 7 + M 1 ) Kiterjesztett hármas metszetű ikozaéder |
A nyolc Johnson-poliédernek csak háromszög, négyzet és hatszögletű lapja van:
|
J 3 (M 4 ) Háromszögű kupola J 18 (M 4 + P 6 ) Hosszúkás, három lejtős kupola J 22 (M 4 + A 6 ) Csavart hosszúkás, három lejtős kupola J 54 (P 6 + M 2 ) Kiterjesztett hatszögletű prizma |
J 55 (M 2 + P 6 + M 2 ) Dupla, ellentétes irányban kiterjesztett hatszögű prizma J 56 (P 6 +2M 2 ) Duplán ferdén meghosszabbított hatszögletű prizma J 57 (P 6 + 3M 2 ) Háromszoros kiterjesztett hatszögletű prizma J 65 (M 10 + M 4 ) Kiterjesztett csonka tetraéder |
Az öt Johnson-poliédernek csak háromszög, négyzet és nyolcszögletű lapja van:
|
J 4 (M 5 ) Négyszögű kupola J 19 (M 5 + P 8 ) Hosszúkás négyszögű kupola J 23 (M 5 + A 8 ) Csavart hosszúkás négyszögű kupola |
J 66 (M 11 + M 5 ) Kiterjesztett csonka kocka J 67 (M 5 + M 11 + M 5 ) Duplán kiterjesztett csonka kocka |
25 Johnson-politópnak vannak csúcsai, amelyek ugyanazon a gömbön fekszenek: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Mindezek a poliéderek előállíthatók szabályos vagy egyenletes poliéderekből forgatással (kupola) vagy vágással (kupola vagy gúla) [4] .
| Oktaéder | Cuboctahedron | Rombicuboktaéder | |||
|---|---|---|---|---|---|
| J 1 (M 2 ) |
J 3 (M 4 ) |
J 27 (2M 4 ) |
J 4 (M 5 ) |
J 19 (M 5 + P 8 ) |
J 37 (M 5 + P 8 + M 5 ) |
| ikozaéder | ikozidodekaéder | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J 2 (M 3 ) |
J 63 (M 7 ) |
J 62 (M 7 + M 3 ) |
J 11 (M 3 + A 5 ) |
J 6 (M 9 ) |
J 34 (2M 9 ) |
| J 5 (M 6 ) |
J 76 (M 6 + M 14 ) |
J 80 (M 14 ) |
J 81 (M 13 + M 6 ) |
J 83 (M 13 ) |