Alekszandrov sweep tétele

Alekszandrov kibontakozási tétele egy adott kibontású zárt konvex poliéder létezésére és egyediségére vonatkozó tétel , amelyet Alekszandr Danilovics Aleksandrov bizonyít . [1] Ebben a tételben az egyediség a Cauchy-féle poliédertétel általánosítása, és hasonló bizonyítással rendelkezik.

Ennek a tételnek a gömbön tetszőleges metrikáira történő általánosítása kulcsszerepet játszott az Alexander-geometria kialakulásában és fejlődésében . Egy másik bizonyítékot, amely egy háromdimenziós poliéder tér deformációján alapul, Yu. A. Volkov javasolta 1955-ös PhD értekezésében. [2]

Megfogalmazás

Egy gömbön lévő poliéder akkor és csak akkor izometrikus a konvex poliéder felületéhez, ha a szögek összege egyik csúcsánál sem haladja meg a . Ezenkívül egy poliédert egy metrika határoz meg a felületén egészen a kongruenciáig.

Feltételezzük, hogy a poliéder lapos sokszöggé degenerálódik, ebben az esetben a poliéder felületét úgy definiáljuk, mint a sokszög megkettőzését a határában, vagyis a sokszög két másolatát a határ megfelelő pontjain összeragasztva.

Jegyzetek

• Az eredeti megfogalmazásban Alekszandrov a poliéder síkon történő kifejlődésének fogalmát használja, azaz lapos sokszögek halmazát, és e sokszögek poliéderes metrikába való ragasztásának szabályait. Az egyik ilyen fejlesztés egy poliéder összes lapjának halmazából nyerhető természetes ragasztási szabállyal. Általában azonban a lapos mintázatú sokszögek több felülettel is átfedhetnek; Lásd a képen.

Változatok és általánosítások

• (Alekszandrov tétele) Egy gömb belső metrikája akkor és csak akkor izometrikus a konvex test felületére, ha nem negatív görbülete van Alekszandrov értelemben . Feltételezzük, hogy a test lapos figurává degenerálódik, ebben az esetben a figura felületét a megkettőződéseként határozzuk meg.
  • (Pogorelov tétele) Sőt, a konvex test a kongruenciáig egyedileg definiált.
  • (Olovyanishnikov tétele) Egy teljes metrika a síkon csak akkor izometrikus egy konvex halmaz felületére, ha nemnegatív görbülete van Alekszandrov értelmében. Ezenkívül a végtelenben lévő kúp tetszőlegesen beállítható, feltéve, hogy a határa izometrikus a végtelenben lévő kúphoz képest .

Lásd még

• Alekszandrov monotonitás tétele

Jegyzetek

1. ↑ A. D. Alekszandrov , Konvex poliéder . M.; L.: GITTL, 1950.
2. ↑ Yu. A. Volkov. Adott fejlődésű poliéder létezése  // Zap. tudományos család POMI. - 2018. - T. 476 . - S. 50-78 .

Irodalom

• N. Lebedeva és A. Petrunin. Alekszandrov tétele a politópok beágyazódásáról .