Alekszandrov monotonitás tétele

Alekszandrov monotonitástétele egy konvex poliéder tétel , amelyet A. D. Aleksandrov 1937 - ben bizonyított [1] , [2] , [3] .

Formulációk

Közvetlen

Ha a háromdimenziós euklideszi térben két zárt konvex poliéder lapjai között egy-egy megfeleltetést hozunk létre úgy, hogy (i) a megfelelő lapokhoz tartozó egységnormálok egybeesnek, és (ii) egyik lap sem helyezhető el megfelelő oldalt párhuzamos fordítással, akkor a poliédereket párhuzamos átvitellel kapjuk meg egy másiktól (és különösen kongruensek ).

Monoton függvényeken keresztül

Egy függvényt monoton sokszögfüggvénynek nevezünk , ha a következő tulajdonsággal rendelkezik: , ha belül elhelyezhető . $f(Q)$ $K$ $f(Q_{1})>f(Q_{2})$ $Q_{2}$ $Q_1$

Legyen és zárt konvex politópok a háromdimenziós euklideszi térben lapokkal és rendre, és bármelyikre teljesülnek a következő feltételek: (i) a lapokra és egybeesnek az egységnormálok, és (ii) létezik olyan monoton függvény , hogy . Ezután a és a politópokat párhuzamos fordítással kapjuk meg egymástól (és különösen kongruensek ). $P_1$ $P_2$ $Q_{1}^{1},\dots ,Q_{1}^{n}$ $Q_{2}^{1},\dots ,Q_{2}^{n}$ $k=1,\pontok ,n$ $Q_{1}^{k}$ $Q_{2}^{k}$ $f_{k}$ $f_{k}(Q_{1}^{k})=f_{k}(Q_{2}^{k})$ $P_1$ $P_2$

Jegyzetek

A háromdimenziós térre Alekszandrov konvex poliéder- tétele általánosítja Minkowski egyediségtételét , kimondva, hogy „két egyenlő poliéder páronként párhuzamos és egyenlő területű lapokkal egyenlő és párhuzamos”. Valójában itt elég, ha a területet egy sokszög monoton függvényének tekintjük. $f(Q)$
A konvex poliéderekre vonatkozó Alekszandrov-tételből fakadó állítás, ha a kerületet egy sokszög monoton függvényének vesszük benne, abból a szempontból érdekes, hogy a geométerek több mint 70 éve nem találtak megfelelő létezési tételt. $f(Q)$
A 2-es dimenziójú euklideszi térben az Alekszandrov-féle konvex poliéder-tétellel analóg állítás igaz, de triviális .
A 4-es dimenziójú euklideszi térben (és minden magasabb dimenzióban) az Alekszandrov-féle konvex poliéder-tételhez hasonló állítás nem igaz . Ellenpéldaként vehetünk egy négydimenziós kockát 2 éllel és egy négydimenziós téglalap alakú dobozt 1, 1, 3, 3 élekkel.
A többdimenziós konvex poliéderek egyenlőségéről, ha párhuzamos kétdimenziós lapjaik nem beágyazhatók, lásd [4] .

Lásd még

Alekszandrov tétele a poliéder kibontakozásáról

Jegyzetek

↑ Kr. e. Aleksandrov , A Minkowski-tétel elemi bizonyítása és néhány más tétel a konvex poliéderekről , Izvesztyija AN SSSR. Ser. mat. 1 , No. 4, 597-606 (1937).
↑ Kr. e. Aleksandrov , Konvex poliéder . M.; L.: GITTL, 1950.
↑ L.A. Lyusternik , Konvex figurák és poliéderek . M.: GITTL, 1956.
↑ A.I. Medyanik, Az egyediségtétel egyik általánosítása, A.D. Aleksandrov zárt konvex poliéderekhez -dimenziós tér $n$ esetén , Ukr. geom. Ült. 8 , 91-94 (1970).