Rugalmas poliéder

A hajlítható poliéder olyan poliéder (pontosabban poliéder felület ), amelynek térbeli alakja időben folytonos alakváltozással változtatható, és amelyben az egyes lapok mérete nem változik (azaz szilárd testként mozog), és a deformáció csak a diéderszögek folyamatos változása miatt következik be . Az ilyen deformációt a poliéder folyamatos hajlításának nevezzük .

Példák

• A rugalmas poliéderek első példáit Raoul Bricard belga mérnök és matematikus konstruálta meg 1897 -ben [1] . Ma Bricard octahedra -nak hívják őket . Nemcsak nem domborúak, hanem önmetszéspontjaik is vannak, ami lehetetlenné teszi mozgó karton modelljük megépítését.

• 1976- ban Robert Connelly amerikai matematikus konstruált először egy önmetszéspontok nélküli rugalmas poliédert [2] .

• A jelenleg ismert önmetszéspontok nélküli hajlítható poliéderek közül a Klaus Steffen [3] német matematikus által megszerkesztett poliédernek van a legkisebb csúcsa ( kilenc ) . A Steffen poliéder könnyen kivágható papírból (lásd a cikket).

• Vannak példák rugalmas poliéderekre, amelyek egy tórusz [4] vagy egy Klein-palack megvalósításai, vagy általában bármely topológiai nemzetség kétdimenziós felülete .

• Hajlítható Bricard oktaéder az első típusból

• Hajlítható Bricard oktaéder a második típusból

• Rugalmas Steffen poliéder

• Rugalmas Steffen poliéder fejlesztése

Tulajdonságok

A rugalmas poliéderek elméletében sok szép és nem triviális állítás található. Az alábbiak az eddig megállapított legfontosabb tények:

• Egyetlen konvex poliéder sem lehet rugalmas. Ez azonnal következik Cauchy tételéből a konvex poliéder egyedi meghatározottságáról, amelyet 1813 -ban bizonyítottak .

• A Schläfli-képletből következik, hogy bármely hajlítható poliéder megtartja az úgynevezett integrált átlagos görbületet a hajlítás során, azaz egy szám, amely egyenlő , ahol az él hossza , a belső diéderszög értéke az élnél , és az összeg a poliéder összes élét felsorolja [5] .

• Sabitov tétele : bármely hajlítható poliéder a hajlítás során megtartja térfogatát , vagyis akkor is meghajlik, ha összenyomhatatlan folyadékkal van megtöltve [6] .

• 2012-ben A. Gaifullin bebizonyította a Sabitov-tétel többdimenziós analógját – minden dimenzióban lévő hajlítható poliéder megőrzi térfogatát a hajlítás során. [7]

Változatok és általánosítások

A fentiek mindegyike a háromdimenziós euklideszi tér poliédereire vonatkozik. A rugalmas poliéder fenti definíciója azonban mind a nagy dimenziós terekre, mind a nem euklideszi terekre, például a gömbtérre és a Lobacsevszkij-térre vonatkozik . A nem triviális tételek és a nyitott kérdések is ismertek róluk. Például:

• A rugalmas poliéderek minden dimenzióban léteznek, mind az euklideszi térben, mind a gömbtérben és a Lobacsevszkij-geometriában. A háromdimenziós szférában és a Lobacsevszkij-térben a rugalmas Bricard-oktaéder analógjaira Stachel készített példákat. A rugalmas önmetsző négydimenziós poliéder első példáját A. Waltz konstruálta meg. Végül Gaifullin konstruált példákat a rugalmas poliéderekre minden dimenzióban és mindhárom geometriában (euklideszi, gömb alakú, Lobacsevszkij). [8] [9]

• Bármilyen méretű gömb alakú térben létezik egy rugalmas poliéder, amelynek térfogata nem állandó a hajlítási folyamat során. A 3-as dimenzióban egy ilyen önmagát metsző politóp példáját Aleksandrov [10] konstruálta meg 1997-ben , egy példát pedig egy nem önmagát metsző politópra egy tetszőleges dimenziójú gömb alakú térben A. A. Gaifullin 2015-ös cikkében [ 11] . Ellenkezőleg, a háromdimenziós Lobacsevszkij-térben és általában minden páratlan dimenziójú Lobacsevszkij-térben meg kell őrizni egy hajlékony poliéder térfogatát (mint az euklideszi esetben). [12] [13] .

Nyitott kérdések

• Igaz-e, hogy a Steffen-poliédernek van a legkevesebb csúcsa az összes olyan rugalmas poliéder közül, amelyeknek nincs önmetszéspontja [14] ;

• Igaz-e, hogy ha egy önmetszéspontokkal nem rendelkező poliédert egy másik, szintén önmetszéspontokkal nem rendelkező poliéderből kapunk folyamatos hajlítással, akkor ezek a poliéderek egyenlő összetételűek , vagyis az első osztható véges számú tetraéderbe , ezek a tetraéderek mindegyike a többitől függetlenül mozgatható a térben, és megkapja a második poliéder partícióját [15] .

• A 4-től kezdődő méretekben nem ismert, hogy léteznek-e flexibilis, önmagát nem metsző poliéderek. [12]

• Nem ismert, hogy a fújtatótétel érvényes-e (meg kell-e őrizni a térfogatot hajlítás alatt) a páros méretű Lobacsevszkij-terekben (4, 6,...). [12]

Népszerű irodalom

• V. A. Aleksandrov, Rugalmas poliéderes felületek  (elérhetetlen link) , Soros Educational Journal . 1997 sz. 5. S. 112-117. Ugyanezt a cikket V. N. Soifer és Yu. P. Solovjov által szerkesztett könyvben is megjelentették: Modern természettudomány . Enciklopédia . 3. köt.: Matematika és mechanika M.: Nauka , M.: Flinta, 2000. ISBN 5-02-004299-4 .
• M. Berger , Geometria . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
• VA Zalgaller , Folyamatosan rugalmas poliéder , Kvant . 1978 sz. 9. P. 13-19.
• A. I. Medyanik, The Connelly poliéder modell , Kvant . 1979 sz. 7. P. 39. (Megjegyzendő, hogy a Connelly-poliéder kifejlődését a magazin ugyanabban a számában közöljük a hátsó borítón .)
• ŐKET. Szabitov,. Poliéderek térfogatai . — M.: MTsNMO , 2002. — 32 p.
• David A. Klarner . Matematikai virágoskert. Cikk- és problémagyűjtemény = The Mathematical Gardner / Per. angolról. Yu. A. Danilova ; szerk., előszóval. és kb. I. M. Yagloma . - M . : Mir, 1983. - S. 105-117. — 494 p.
• 25. előadás Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Matematikai divertisment . - MTSNMO, 2011. - 512 p. - 2000 példány.  - ISBN 978-5-94057-731-7 .
• Film " Flexible polyhedra ", site Matematikai etűdök
• Aktuális matematika: Flexible Polyhedra a YouTube -on

Tudományos irodalom

• V. A. Aleksandrov, A rugalmas poliéder új példája , Szibirszk. mat. magazin 1995. V. 36., 6. sz. S. 1215-1224.
• N. H. Kuiper , Flexible polyhedral spheres , Robert Connelly nyomán, 2007. évf. szerk. A. N. Kolmogorova és S. P. Novikova : Tanulmányok a felületek metrikus elméletében. M.: Mir. 1980. S. 210-227.
• P. Connelly : A rugalmatlanság problémájának egyik megközelítése . Ott. 164-209.
• R. Connelly : Néhány feltételezés és megválaszolatlan kérdés a hajlítások elméletében . Ott. 228-238.
• I. G. Maksimov, Rugalmatlan poliéderek kis számú csúcsgal , Fundam. appl. matematika. 2006. 12. évf. 1. S. 143-165.
• S. N. Mikhalev, Néhány szükséges metrikus feltétel a felfüggesztések hajlításához , Vestnik MGU, Ser. Én, 2001, sz. 3, 15-21.
• I. Kh. Sabitov , A poliéder térfogata metrikájának függvényében , Fundam. appl. matematika. 1996. 2. évf. 4. S. 1235-1246.
• I. Kh. Sabitov , Az általánosított Heron-Tartaglia formula és néhány következménye , Mat. Ült. 1998. 189. évf. 10. S. 105-134.

Jegyzetek

1. ↑ R. Bricard. Archiválva az eredetiből 2011. július 17-én, jelenleg, Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé . J Math. Pures Appl. 1897. 3 . P. 113-150 (lásd még az angol fordítást ).
2. ↑ R. Connelly, A poliéderes felületek merevsége , Math. Mag. 52 (1979), 3. sz. 5, 275-283.
3. ↑ M. Berger , Geometria . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
4. ↑ V. A. Aleksandrov, A rugalmas poliéder új példája , Sib. mat. magazin 1995. V. 36., 6. sz. S. 1215-1224.
5. ↑ R. Alexander, Lipschitzi leképezések és poliéderes felületek teljes átlagos görbülete. Én , Trans. amer. Math. szoc. 1985. évf. 288. sz. 2, 661-678.
6. ↑ I. Kh. Sabitov , Egy poliéder térfogata élei hosszának függvényében , Fundam. appl. matematika. 1996. V. 2., 1. sz. S. 305-307.
7. ↑ A. Gaifullin. Sabitov tételének általánosítása tetszőleges dimenziókra (2012). (határozatlan)
8. ↑ H. Stachel , Rugalmas oktaéderek a hiperbolikus térben , könyvkiadásban. A. Prekopa: Nem euklideszi geometriák. Bolyai János emlékkötet. Előadások a hiperbolikus geometriával foglalkozó nemzetközi konferenciáról, Budapest, Magyarország, 2002. július 6-12 . New York, NY: Springer. Matematika és alkalmazásai 581 , 209-225 (2006).
9. ↑ A. A. Gaifullin , Rugalmas keresztpolitópok állandó görbületű terekben, Tr. MIAN , 286 (2014), 88–128.
10. ↑ V. Alekszandrov, Példa egy rugalmas poliéderre, amelynek térfogata nem állandó a gömbtérben, Beitr. Algebra Geom. 38 , No.1, 11-18 (1997). ISSN 0138-4821.
11. ↑ A. A. Gaifullin, Beágyazott rugalmas gömb alakú keresztpolitópok nem állandó térfogattal , Tr. MIAN, 288 (2015), 67–94.
12. ↑ 1 2 3 "Rugalmas poliéder", Matematikai tanulmányok, http://www.etudes.ru/ru/etudes/sabitov/
13. ↑ A. A. Gaifullin, A térfogat analitikus folytatása és a fújtató hipotézis Lobacsevszkij-terekben , Mat. Ült. , 206 :11 (2015), 61–112
14. ↑ I. G. Maksimov, Rugalmatlan poliéderek kis számú csúcsgal , Fundam. appl. matematika. 2006. 12. évf. 1. S. 143-165.
15. ↑ Lásd a könyv 231. oldalát, szerk. AN Kolmogorova és SP Novikova : Tanulmányok a felületek metrikus elméletében . M.: Mir. 1980. Ezt a sejtést először angolul publikálták R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces , Math. Mag. 1979. évf. 52. P. 275-283.