Tetraéder

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 36 szerkesztést igényelnek .

Tetrahedron ( ókori görög τετρά-εδρον " tetraedron " [1] ← τέσσᾰρες / τέσερες / τέτᾰρες / τέτορες / τέτορρες " négy " + ἕδρα " ülés, bázis" )

A tetraéder egy háromszög alakú piramis , ha bármelyik lapját vesszük alapul. A tetraédernek 4 lapja, 4 csúcsa és 6 éle van. Szabályosnak nevezzük azt a tetraédert, amelynek minden lapja egyenlő oldalú háromszög . A szabályos tetraéder az öt szabályos poliéder egyike .

Tulajdonságok

A tetraéder három pár keresztező élén átmenő párhuzamos síkok határozzák meg a tetraéder közelében leírt paralelepipedust .

A tetraéder két keresztező élének felezőpontján áthaladó sík két egyenlő térfogatú részre osztja [3] :216-217 .

A tetraéder bimediánjai ugyanabban a pontban metszik egymást, mint a tetraéder mediánjai.
- A tetraéder bimediánjai olyan szakaszok, amelyek a keresztező éleinek felezőpontjait kötik össze (amelyeknek nincs közös csúcsuk).

A három csúcson és egy középponton átmenő gömbök középpontjai egy olyan gömbön fekszenek, amelynek középpontja egybeesik a körülírt gömb középpontjával.
- Ez az állítás igaz a külső ingerekre is.

Azok a síkok, amelyek egy él közepén mennek át, és merőlegesek a szemközti élre, egy pontban (ortocentrumban) metszik egymást.
- A szimplex ortocentruma olyan hipersíkok metszéspontja, amelyek merőlegesek egy élre, és áthaladnak a szemközti elem súlypontján.

A gömb középpontja (F), amely áthalad a tetraéder lapjainak súlypontjain, a tetraéder súlypontja (M), a körülírt gömb középpontja (R) és az ortocentrum (H) fekszik ugyanazon az egyenesen. Ugyanakkor . $RM=MH=3\cdot MF$

A komplementer tetraéderbe írt gömb középpontja (S), az antikomplementer tetraéderbe írt gömb középpontja (N), a tetraéder súlypontja (M) és a beírt gömb középpontja (I) ugyanaz az egyenes.

A G 1 pont osztja fel az ortocentrumot (H) és az 1 csúcsot összekötő szakaszt 1:2 arányban. Emeljük le a merőlegest a G 1 pontból a szemközti csúcs 1 lapjára. A merőleges a W 1 pontban metszi az oldalt . A G 1 és W 1 pontok egy gömbön (a Feuerbach-gömbön) fekszenek, amely áthalad a tetraéder lapjainak súlypontjain.

A tetraéder négy élének felezőpontján átmenő sík metszete paralelogramma.

A tetraéderek típusai

Izoéderes tetraéder

Minden lapja egymással egyenlő háromszög. Az izoéder tetraéder kialakulása egy háromszög, amelyet három középvonal négy egyenlő háromszögre oszt . Egy izoéderes tetraéderben a magasságok alapjai, a magasságok felezőpontjai és a lapok magasságainak metszéspontjai egy gömb (a 12 pontos gömb) felületén helyezkednek el ( az Euler-kör analógja egy háromszög ).

Az izoéderes tetraéder tulajdonságai:

Minden lapja egyenlő (kongruens).
A keresztező élek páronként egyenlőek.
A háromszögek egyenlőek.
Az ellentétes kétszögek egyenlőek.
Ugyanazon élen alapuló két síkszög egyenlő.
A síkszögek összege minden csúcsban 180°.
A tetraéder kifejlődése háromszög vagy paralelogramma .
A leírt paralelepipedon téglalap alakú.
A tetraédernek három szimmetriatengelye van.
A ferde élek közös merőlegesei páronként merőlegesek.
A középvonalak páronként merőlegesek.
Az arcok kerülete egyenlő.
Az arcok területe egyenlő.
A tetraéder magassága egyenlő.
A csúcsokat a szemközti lapok súlypontjával összekötő szakaszok egyenlőek.
A lapok közelében leírt körök sugara egyenlő.
A tetraéder súlypontja egybeesik a körülírt gömb középpontjával.
A súlypont egybeesik a beírt gömb középpontjával.
A körülírt gömb középpontja egybeesik a beírt gömb középpontjával.
A beírt gömb az ezekre az oldalakra körülírt körök középpontjában lévő lapokat érinti.
A külső egységnormálok (a lapokra merőleges egységvektorok) összege nulla.
Az összes diéderszög összege nulla.
A leírt gömbök középpontjai a körülírt gömbön fekszenek.

Ortocentrikus tetraéder

A csúcsokról az ellenkező oldalakra esett magasságok egy pontban metszik egymást.

A tetraéder magasságai egy pontban metszik egymást.
A tetraéder magasságának alapjai a lapok ortocentrumai.
A tetraéder minden két szemközti éle merőleges.
A tetraéder szemközti éleinek négyzetösszege egyenlő.
A tetraéder szemközti éleinek felezőpontjait összekötő szakaszok egyenlőek.
Az ellentétes diéderszögek koszinuszainak szorzata egyenlő.
A lapok területének négyzetösszege négyszer kisebb, mint az ellentétes élek szorzatainak négyzetösszege.
Egy ortocentrikus kör tetraédernek 9 pontja ( Euler-kör ) van minden lapján, amelyek ugyanahhoz a gömbhöz (a 24 pontos gömbhöz) tartoznak.
Egy ortocentrikus tetraéderben a súlypontok és a lapok magasságának metszéspontjai, valamint azok a pontok, amelyek a tetraéder egyes magasságainak szegmenseit a csúcstól a magasságok metszéspontjáig osztják 2 arányban. :1, feküdj ugyanarra a gömbre (12 pontos gömb).

Téglalap alakú tetraéder

A csúcsok egyikével szomszédos összes él merőleges egymásra. Egy téglalap alakú tetraédert úgy kapunk, hogy egy téglalap alakú paralelepipedonról síkkal levágunk egy tetraédert .

Csontváz tetraéder

Ez egy tetraéder, amely megfelel az alábbi feltételek bármelyikének [4] :

minden szélét érinti egy gömb,
a keresztező élek hosszának összege egyenlő,
a szemközti éleken lévő kétszögek összege egyenlő,
az arcokba írt körök párban összeérnek,
a tetraéder fejlődéséből származó összes négyszög körül van írva,
a lapokra felállított merőlegesek a beléjük írt körök középpontjaiból egy pontban metszik egymást.

Egy arányos tetraéder

Ez a típus egyenlő kétmagassággal rendelkezik .

Az arányos tetraéder tulajdonságai:

A két magasság egyenlő. A tetraéder kétmagassága közös merőleges a két egymást metsző élére (azokra az élekre, amelyeknek nincs közös csúcsa).
A tetraéder vetülete egy tetszőleges bimediánra merőleges síkra rombusz . A tetraéder bimediánjai olyan szakaszok, amelyek a keresztező éleinek felezőpontjait kötik össze (amelyeknek nincs közös csúcsuk).
A körülírt paralelepipedon lapjai egyenlők.
A következő összefüggések érvényesek: , ahol és , és , és a szemközti élek hossza. $4a^{2}{a_{1}}^{2}-(b^{2}+{b_{1}}^{2}-c^{2}-{c_{1}}^{2} )^{2}=4b^{2}{b_{1}}^{2}-(c^{2}+{c_{1}}^{2}-a^{2}-{a_{1 }}^{2})^{2}=4c^{2}{c_{1}}^{2}-(a^{2}+{a_{1}}^{2}-b^{2 }-(b_{1})^{2})^{2}$ $a$ $a_{1}$ $b$ $b_{1}$ $c$ $c_{1}$
A tetraéder minden szemközti élpárjára az egyiken áthúzott síkok és a második felezőpontja merőlegesek.
Egy arányos tetraéder leírt paralelepipedonjába gömb írható.

Incentrikus tetraéder

Ennél a típusnál a tetraéder csúcsait az ellentétes lapokba írt körök középpontjával összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást. Az incentrikus tetraéder tulajdonságai:

A tetraéderlapok súlypontját egymással ellentétes csúcsokkal összekötő szakaszok (tetraéder mediánok) mindig egy pontban metszik egymást. Ez a pont a tetraéder súlypontja.
Megjegyzés . Ha az utolsó feltételben a lapok súlypontjait a lapok ortocentrumaira cseréljük , akkor az ortocentrikus tetraéder új definíciójává válik . Ha lecseréljük őket a lapokba írt körök középpontjaira, amelyeket néha középpontoknak neveznek , akkor megkapjuk a tetraéderek új osztályának meghatározását - incentric .
A tetraéder csúcsait a szemközti lapokra írt körök középpontjával összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást.
Az ezen lapok közös éléhez húzott két lap szögfelezőinek közös alapja van.
A szemközti élek hosszának szorzata egyenlő.
Az egyik csúcsból kilépő három él és az ezen élek három végén áthaladó gömb második metszéspontja által alkotott háromszög egyenlő oldalú.

Szabályos tetraéder

Ez egy izoéder tetraéder, amelyben minden lap szabályos háromszög . Ez az öt platóni szilárd test egyike .

A szabályos tetraéder tulajdonságai:

a tetraéder minden éle egyenlő,
A tetraéder minden lapja egyenlő
minden lap kerülete és területe egyenlő.
A szabályos tetraéder egyszerre ortocentrikus, drótvázas, izoéderes, incentrikus és arányos.
A tetraéder akkor szabályos, ha bármelyik két felsorolt tetraéderhez tartozik: ortocentrikus, drótvázas, incentrikus, arányos, izoéder .
A tetraéder akkor szabályos, ha izoéder , és a következő tetraédertípusok valamelyikébe tartozik: ortocentrikus, drótvázas, incentrikus, arányos .
Szabályos tetraéderbe oktaéder írható, ráadásul az oktaéder négy lapja (nyolcból) a tetraéder négy lapjához igazodik, az oktaéder mind a hat csúcsa a tetraéder hat élének középpontjához igazodik. .
Egy szabályos tetraéder egy beírt oktaéderből (középen) és négy tetraéderből (a csúcsok mentén) áll, és ezeknek a tetraédereknek és az oktaédernek az élei feleakkoraak, mint a szabályos tetraéder élei.
Egy szabályos tetraéder kétféleképpen írható egy kockába, ráadásul a tetraéder négy csúcsa a kocka négy csúcsához lesz igazítva.
Egy dodekaéderbe szabályos tetraéder írható, ráadásul a tetraéder négy csúcsa a dodekaéder négy csúcsához igazodik.
A szabályos tetraéder keresztező élei egymásra merőlegesek.

Egy tetraéder térfogata

Egy tetraéder térfogata (az előjelet figyelembe véve), amelynek csúcsai pontokban vannak, egyenlő $\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4}),$

V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{ 2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}- z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},

vagy

V={\frac {1}{3}}\ SH,

hol van egy tetszőleges arc területe, és az erre az arcra esett magasság. $S$ $H$

A tetraéder térfogatát az élhosszban kifejezve a Cayley-Menger determináns segítségével fejezzük ki :

288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{ 2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14} ^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.

Ennek a képletnek egy lapos analógja van egy háromszög területére a Heron-képlet egy változata formájában, hasonló determináns révén.
A tetraéder térfogatát a két szemközti a és b él , mint metszővonalak hosszában, amelyek egymástól h távolságra vannak és egymással szöget zárnak be , a következő képlettel határozzuk meg: $\phi$

$V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .$

A tetraéder térfogatát három élének hossza mentén a , b és c , amelyek egy csúcsból kilépnek és páronként lapos szögeket alkotnak, a [5] képlettel határozzuk meg. $\alpha ,\beta ,\gamma$

V={\frac {1}{6}}\ abc{\sqrt {D)),

ahol

D = | egy kötözősaláta ⁡ γ kötözősaláta ⁡ β kötözősaláta ⁡ γ egy kötözősaláta ⁡ α kötözősaláta ⁡ β kötözősaláta ⁡ α egy | . {\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .}

D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .

Az utolsó képlet síkjának analógja a háromszög területének képlete a két oldalának a és b hosszának függvényében , amelyek egy csúcsból jönnek ki, és szöget képeznek közöttük : $\gamma$

S={\frac {1}{2}}\ab{\sqrt {D}},

ahol $D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.$

Megjegyzés

Van egy analógja a Heron-képletnek a tetraéder térfogatára [6]

A tetraéder képletei derékszögű koordinátákkal a térben

Megnevezések:

$\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})$ a tetraéder csúcsainak koordinátái.

A tetraéder térfogata (az előjelet figyelembe véve):

$V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}$ .

A súlypont koordinátái (a mediánok metszéspontja): $\mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})$

$x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};$ $y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}});$ $z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.$

A beírt gömb középpontjának koordinátái: $\mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})$

$x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},$

ahol az első csúcsgal szemközti lap területe, a második csúcsgal szemközti lap területe, és így tovább. $S_{1}$ ${\displaystyle S_{2))$

Ennek megfelelően a beírt gömb egyenlete:

$(x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4)){S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_ {3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\ frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_ {3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2} ,$

Az első csúcsponttal szemben lévő leírt gömb egyenlete:

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+ S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Az első és a második csúcstal szemben lévő leírt gömb egyenlete (az ilyen gömbök száma nullától háromig változhat):

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}- S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

A körülírt gömb egyenlete:

${\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1 }^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2} &y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1 \\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.$

Tetraéder képletek baricentrikus koordinátákban

Megnevezések:

$\mathbf {J} (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})=\alpha _{1}\mathbf {J_{1 }} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,$ baricentrikus koordináták.

A tetraéder térfogata (az előjelet figyelembe véve): Legyen a tetraéder csúcsainak koordinátái. $\mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J} _{2}(x_{2},y_ {2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J } _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).$

Akkor

$V={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\ x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_ {1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3} +t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',$ ahol a bázikus tetraéder térfogata. $V'$

A súlypont koordinátái (a mediánok metszéspontja): $\mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).$

A beírt gömb középpontjának koordinátái: $\mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).$

A leírt gömb középpontjának koordinátái:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\ alfa _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{ 2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4, 2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}.$

Pontok közötti távolság : $\mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}),\mathbf {J} _{B}(B_{1},B_ {2},B_{3},B_{4})$

Hagyjuk és így tovább. $C_{1}={\frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{1}}{ B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3 }+A_{4}}}-{\frac {B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}$

Ekkor két pont távolsága: $d^{2}=-(C_{1}C_{2}\alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}\alpha _{1,3}^{ 2}+C_{1}C_{4}\alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}\alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_ {4}\alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}\alpha _{3,4}^{2}).$

Háromszög és tetraéder képletek összehasonlítása

Terület (térfogat)
$S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2 }\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}$	$V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1} ^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{ 4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\ \1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}} }$ , ahol az 1 és 2 csúcsok távolsága $\alpha _{1,2}$
$S={\frac {1}{2}}ah_{a}$	$V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}$
$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$	$V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2} )$ , ahol az 1 és 2 lapok közötti szög, és az 1 és 2 csúcsokkal szemközti lapok területei $\phi _{1,2}$ ${\displaystyle S_{1))$ ${\displaystyle S_{2))$
A felezőszög hossza (területe).
$l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$	$L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+ S_{2}}}$
Középhossz
$m_{c}={\frac {{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2)))){2))$	$m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4 }^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{ 3}}$
Beírt kör sugara (gömb)
$r={\frac {2S}{a+b+c))$	${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4))))$
A körülírt kör sugara (gömb)
$R={\frac {abc}{4S}}$	$R={\frac {S_{T}}{6V}}$ , ahol egy háromszög területe oldalakkal $S_{T}$ $\alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2 ,3}$
Koszinusz tétel
$\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$	$\cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}$ , ahol az 1 és 2 lapok közötti szög, valamint az 1 és 2 csúcsokkal szemközti lapok területei, a mátrixelem algebrai komplementere $\phi _{1,2}$ ${\displaystyle S_{1))$ ${\displaystyle S_{2))$ $A_{1,2}$ ${\displaystyle \alpha _{2,1}^{2))$ ${\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2 }\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3 ,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\ alfa _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}$
Szinusztétel
${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$	${\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}} {\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}$ , hol vannak az 1, 2, 3, 4 csúcsokkal szemközti lapok területei, hol vannak a csúcs diéderszögei. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $\Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos( B)&-\cos(C)&1\\\end{vmátrix}}}$ $ABC$
A háromszög szögeinek összegére vonatkozó tétel (a tetraéder kétszögeinek aránya)
$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$	${\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \ balra(\phi _{4,1}\jobbra)\\-\cos \left(\phi _{2,1}\jobbra)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\jobbra) &-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3, 2}\jobbra)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\jobbra)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\jobbra)&-\cos \left(\ phi _{4,2}\jobbra)&-\cos \left(\phi _{4,3}\jobbra)&1\\\end{vmatrix}}=0$ , hol van az 1 és 2 lapok közötti szög $\phi _{1,2}$
A beírt és leírt körök (gömbök) középpontjai közötti távolság
$R^{2}-d^{2}=2Rr$	$R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{ 2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}$ , hol vannak az 1, 2, 3, 4 csúcsokkal szemközti lapok területei. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ A kifejezés másik kifejezése: hol van a távolság a körülírt gömb középpontja és a gömb középpontja között, három csúcson és egy incenteren áthaladva. $R^{2}-d^{2}=2rT,$ $T$

Tetraéder nem euklideszi terekben

Nem euklideszi tetraéderek térfogata

Számos képlet létezik a nem euklideszi tetraéderek térfogatának meghatározására. Például a Derevnin-Mednykh képlet [7] a hiperbolikus tetraéderhez és a J. Murakami képlet [8] a gömbtetraéderhez. A tetraéder térfogatát a gömbtérben és a Lobacsevszkij-térben általában nem elemi függvények fejezik ki .

Tetraéder diéderszögeinek kapcsolata

$\operatorname {det} \Psi >0$ gömb alakú tetraéderhez.

$\operatorname {det} \Psi <0$ hiperbolikus tetraéderhez.

Hol van a Gram-mátrix a gömb- és hiperbolikus tetraéder diéderszögeihez. $\Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\ -\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&- \cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\ cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$A_{{i,j}}$ a csúcsponttal i és j szemközti lapok közötti szög.

Koszinusz tétel

$\cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi _{i,j)){\sqrt {\Phi _{i,i}\Phi _{j,j))} }$ — gömb- és hiperbolikus tetraéderhez.

$\cos(\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j)) }}$ gömb alakú tetraéderhez.

$\operatorname {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j, j}}}}$ hiperbolikus tetraéderhez.

Hol van a gömbtetraéder redukált éleinek Gram-mátrixa. $\Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1} )\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha _{ 3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alfa _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$\Phi ={\begin{pmatrix}1&\operátornév {ch} (\alpha _{2,1})&\operátornév {ch} (\alpha _{3,1})&\operátornév {ch} (\alpha _{4,1})\\\operátornév {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operátornév {ch} (\alpha _{3,2})&\operátornév {ch} ( \alpha _{4,2})\\\operátornév {ch} (\alpha _{3,1})&\operátornév {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operátornév {ch} (\ alfa _{4,3})\\\operátornév {ch} (\alpha _{4,1})&\operátornév {ch} (\alpha _{4,2})&\operátornév {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmátrix}}$ a hiperbolikus tetraéder redukált éleinek Gram-mátrixa.

${\displaystyle \alpha _{i,j))$ — csökkentett távolság i és j csúcsok között.

$\Psi _{i,j}$ a mátrix algebrai komplementere . $\psi$

Szinusztétel

${\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2} ))={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4} }}$ — gömb- és hiperbolikus tetraéderhez.

A körülírt gömb sugara

${\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\ \\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3 ,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alfa _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)))\\\end{vmatrix} }=0$ gömb alakú tetraéderhez.

Egy másik módja a kifejezés felírásának: , hol vannak a tetraéderlapok normáljai. ${\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {n_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {n_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {n_{4))}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}$

Vagy a tetraéder csúcsainak koordinátáival: . ${\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}} }&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2 }&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{ vmatrix}}|}{\sqrt {\operátornév {det} \Phi }}}$

${\begin{vmatrix}1&\operátornév {ch} (\alpha _{2,1})&\operátornév {ch} (\alpha _{3,1})&\operátornév {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\operátornév {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operátornév {ch} (\alpha _{3,2})&\operátornév {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\operátornév {ch} (\alpha _{3,1})&\operátornév {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operátornév {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\operátornév {ch} (\alpha _{4,1})&\operátornév {ch} (\alpha _{4,2})&\operátornév {ch} (\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}(R)))\\\end{vmatrix}}=0$ - hiperbolikus tetraéderhez

Beírt gömb sugara

${\frac {1}{\sin ^{2}(r)))={\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3, 3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\cos(\alpha _{1,2})+2{ \sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _ {4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{ 2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _ {3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4})}{\operátornév {det} \Phi }}$ gömb alakú tetraéderhez.

A kifejezés felírásának másik módja az , ahol a tetraéder csúcsok egységsugárvektorai vannak. ${\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {r_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {r_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {r_{4))}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}$

${\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)))=-{\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\operátornév {ch} (\alpha _{1 ,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\operátornév {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\ Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\operátornév {ch} (\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{ 3,3))}\operátornév {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\operátornév {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4))}\operátornév {ch} (\alpha _{3,4})} {\operátornév {det} \Phi }}$ hiperbolikus tetraéderhez.

A beírt és körülírt gömb középpontjai közötti távolság

${\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)))={\frac ({\sqrt {\Phi _{1,1))}+{\sqrt { \Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}$ gömb alakú tetraéderhez.

Tetraéder képletek baricentrikus koordinátákban

A beírt gömb középpontjának koordinátái:

$\mathbf {J} _{r}({\sqrt {\Phi _{1,1))},{\sqrt {\Phi _{2,2))},{\sqrt {\Phi _ {3,3}}},{\sqrt {\Phi _{4,4}}}).$ gömb alakú tetraéderhez.

A leírt gömb középpontjának koordinátái:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&1&\cos(\alpha _{1,2})&\cos(\alpha _{1,3})&\cos(\alpha _{1,4})\\1&\ cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{2,3})&\cos(\alpha _{2,4})\\1&\cos(\alpha _{3,1 })&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{3,4})\\1&\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _ {4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{vmatrix}}.$ gömb alakú tetraéderhez.

Tetraéder a mikrokozmoszban

Az atompályák sp 3 hibridizációja során szabályos tetraéder jön létre (tengelyeik egy szabályos tetraéder csúcsaira irányulnak, a központi atom magja pedig a szabályos tetraéder leírt gömbjének középpontjában helyezkedik el), ezért sok azok a molekulák, amelyekben a központi atom ilyen hibridizációja végbemegy, ennek a poliédernek a formájú.
CH 4 metán molekula .
Ammóniumion NH 4 + . _
Szulfátion SO 4 2- , foszfátion PO 4 3- , perklorátion ClO 4 - és sok más ion.
A C gyémánt egy tetraéder, amelynek éle 2,5220 angström .
Fluorit CaF 2 , egy tetraéder, amelynek éle 3,8626 angström .
Szfalerit , ZnS, egy tetraéder, amelynek éle 3,823 angström .
Cink-oxid , ZnO.
Komplex ionok [BF 4 ] - , [ZnCl 4 ] 2- , [Hg(CN) 4 ] 2- , [Zn(NH3) 4 ] 2+ .
Szilikátok , amelyek szerkezete a szilícium-oxigén tetraéder [SiO 4 ] 4- alapú .

Tetraéder a természetben

Egyes gyümölcsök, amelyek egyrészt négyből állnak, egy tetraéder csúcsaiban találhatók, közel a szabályoshoz. Ez a kialakítás annak a ténynek köszönhető, hogy négy egyforma, egymással érintkező golyó középpontja egy szabályos tetraéder csúcsaiban található. Ezért a labdaszerű gyümölcsök hasonló kölcsönös elrendeződést alkotnak. Például a dió elrendezhető így .

Tetraéder a technológiában

A tetraéder merev, statikailag meghatározott szerkezetet alkot. Épületek, födémek, gerendák, tartószerkezetek térbeli teherhordó szerkezeteinek alapjául gyakran rudakból készült tetraédert használnak, a rudak csak hosszanti terhelést szenvednek.
A téglalap alakú tetraédert az optikában használják. Ha a derékszögű lapokat fényvisszaverő kompozícióval borítják, vagy a teljes tetraéder erős fénytörésű anyagból készül úgy, hogy teljes belső visszaverődés jön létre, akkor a derékszögű csúcsponttal ellentétes oldalra irányított fény ugyanabba az irányba tükröződjön, ahonnan jött. Ezt a tulajdonságot sarokreflektorok , reflektorok készítésére használják .
A kvaterner trigger gráf egy tetraéder [9] .

Tetraéder a filozófiában

"Platón azt mondta, hogy a tűz legkisebb részecskéi tetraéderek" [10] .

világi társadalom. Az egyik hölgy elmondja álmát:

- Uraim, ma szörnyű álmot láttam! Mintha bedugnám az ujjam

száj – és nincs egyetlen foga sem!

Rzsevszkij:

- Hölgyem , valószínűleg rossz helyre tette az ujját ( tetraéder ) ...

Lásd még

Jegyzetek

↑ Dvoretsky ókori görög-orosz szótára "τετρά-εδρον" (elérhetetlen link) . Letöltve: 2020. február 20. Az eredetiből archiválva : 2014. december 28.. (határozatlan)
↑ Selivanov D. F. ,. Geometrikus test // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra a példákban és a problémákban . - M . : Felsőiskola , 1985. - 232 p. Archiválva : 2014. január 10. a Wayback Machine -nél
↑ V. E. MATIZEN „Quantum” izoéder- és kerettetraéder , 1983. évi 7. szám
↑ Modenov P.S. Problémák a geometriában. - M . : Nauka, 1979. - S. 16.
↑ Markelov S. Egy tetraéder térfogatának képlete // Matematikai oktatás. Probléma. 6. 2002. 132. o
↑ Forrás . Letöltve: 2018. március 31. Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 30. (határozatlan)
↑ Forrás . Letöltve: 2018. március 31. Az eredetiből archiválva : 2018. március 31. (határozatlan)
↑ http://knol.google.com/k/trigger#view Archiválva : 2010. november 23. a Wayback Machine Triggernél
↑ Werner Heisenberg. A kvantumelmélet eredeténél. M. 2004 107. o

Irodalom

Matizen V. E., Dubrovsky. A "Quantum" tetraéder geometriájából , 9. szám, 1988, 66. o.
Zaslavsky A. A. A háromszög és a tetraéder összehasonlító geometriája // Matematikai oktatás, ser. 3. (2004), 8. sz., 78-92.
Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 3. kötet: Háromszögek és tetraéderek, 2009

Poliéder

Helyes

Háromdimenziós (platonikus szilárd testek)	szabályos tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder ikozaéder
4D	Ötcellás tesserakt Hexadecimális sejt huszonnégy cella 120 cella Hatszáz sejt
Nagyobb méret (zárójelben jelölve)	Szabályos szimplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoktaéder

Szabályos
, nem domború

Háromdimenziós az
arcok számával (zárójelben jelölve)

Monoéder (1)
Diéder (2)
Triéder (3)
Tetraéder (4)
Pentaéder (5)
Hexaéder (6)
Heptaéder (7)
Oktaéder (8)
Enneaéder (9)
Dekaéder (10)
Endekaéder (11)
Dodekaéder (12)
Tridekaéder (13)
Tetradekaéder (14)
Pentadekaéder (15)
Hexadekaéder (16)
Heptadekaéder (17)
Oktadekaéder (18)
Enneadekaéder (19)
Ikozaéder (20)
Ikozotetraéder (24)
Triakontaéder (30)
Hexacontahedron (60)
Enneakontaéder (90)
Hektotriadioéder (132)
Apeiroéder (∞)

konvex

Arkhimédeszi szilárd testek

Katalán testek

Prizmák
háromszög prizma négyszögű prizma Ötszögletű prizma Hatszögletű prizma Hétszögű prizma Nyolcszögletű prizma Kilencszögű prizma Tízszögű prizma Tizenegy szögű prizma Dodecagonal prizma

Johnson poliéder

Képletek ,
tételek ,
elméletek

Egyéb