Csillagozott oktaéder
| csillagozott oktaéder | |
|---|---|
| Típusú | A poliéderek megfelelő csatlakoztatása |
| arcok | 8 háromszög |
| borda | 12 |
| Csúcsok | nyolc |
| Szimmetria csoportok Coxeter csoport |
Oktaéder ( O h ) [4,3] vagy [[3,3]] |
| Sejtmag | Oktaéder |
| Schläfli szimbólum | |
| Coxeter szimbólum | {4,3}[2{3,3}]{3,4} [1] |
| Coxeter diagram |    ∪ =  
|
| domború hajótest | Kocka |
| Index | UC 4 , W 19_ |
| Dupla | Önkettős |
A csillag alakú oktaéder vagy a stella octangula az oktaéder egyetlen csillag alakú formája . A latin stella octangula nevet Kepler adta a poliédernek 1609-ben, bár a korábbi geométerek ismerték . Tehát Pacioli De Divina Proportione című művében, 1509 -ben ábrázolja .
A poliéder az öt szabályos poliéder vegyület közül a legegyszerűbb .
A csillagozott oktaéder a hexagram háromdimenziós általánosításaként fogható fel - a hexagram egy kétdimenziós alakzat, amelyet két egymásra helyezett szabályos háromszög alkot, amelyek középpontjában szimmetrikusak egymásra, és pontosan ugyanígy alkotható csillagozott oktaéder is. két centrálisan szimmetrikusan egymást metsző tetraéderből. Úgy is tekinthetjük, mint a 3D Koch hópehely megépítésének egyik szakaszát , egy fraktálfigurát, amelyet úgy kapunk, hogy ismételten kisebb tetraédereket csatolunk egy nagyobb figura háromszög alakú felületéhez. A Koch-hópehely felépítésének kezdeti szakasza egy központi tetraéder, a második szakasz pedig, amelyet négy kisebb tetraéder hozzáadásával kapunk a központi tetraéder lapjaihoz, egy csillagozott oktaéder lesz.
Épület
A csillagozott oktaéder többféle módon is előállítható:
- Ez egy csillagszerű szabályos oktaéder képződése, amely megőrzi annak homloksíkjait. A csillag szélei nagyon egyszerűek: (Lásd a Wenninger modellt W 19 ).
- Ez a poliéderek szabályos vegyülete, ha két tetraéder (egy tetraéder és annak kettős tetraédere ) egyesüléseként épül fel .
- Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy egy szabályos oktaéder minden lapjához háromszög alakú piramisokat adunk. Ebben a konstrukcióban a poliédernek ugyanaz a topológiája, mint a konvex katalán tömör triakizoktaédernek , amelynek sokkal rövidebb piramisai vannak.
- Ez egy kocka fazettálása a csúcsok megőrzésével.
Kapcsolódó fogalmak
Az ábrán látható módon két gömb alakú tetraéder kapcsolatát építheti fel.
A két tetraéder egy csillagozott oktaéder konjunkciójában "dezmikus", ami azt jelenti (ha a projektív térben vonalként nézzük ), hogy az egyik tetraéder minden éle metszi a másik tetraéder szemközti élét. Az egyik ilyen metszéspont látható a csillagozott oktaéderben. Egy másik metszéspont a projektív sík végtelen pontjában van két tetraéder két párhuzamos éle között. Ez a két tetraéder kiegészíthető egy három tetraéderből álló dezmikus rendszerrel , ahol a harmadik tetraéder négy csúcsa három metszéspont a végtelenben és két véges tetraéder súlypontja. A tetraéder ugyanaz a tizenkét csúcsa alkotja a Reye konfiguráció pontjait .
A csillagozott oktaéder számok figuratív számok , amelyek megszámolják a csillagozott oktaéderbe helyezhető golyók számát. Ezek a számok egyenlőek
0, 1, 14 , 51 , 124 , 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … ( OEIS - szekvencia A007588 )A populáris kultúrában
A csillagozott oktaédert néhány más poliéderrel és poliédervegyületekkel együtt ábrázolják Escher „Stars” [2] és a „Double Asteroid” (1949) [3] című műveiben .
Galéria
Ez egy teljesen szimmetrikus vágású kocka |
|||
Jegyzetek
- ↑ Coxeter, 1973 , p. 48-50, 98.
- ↑ Hart, 1996 .
- ↑ Coxeter, 1985 , p. 59–69.
Irodalom
- P. Cromwell. Poliéder. - Egyesült Királyság: Cambridge University Press, 1997. - 79–86. o. Archimedean solids . - ISBN 0-521-55432-2 .
- HSM Coxeter . 3.6 Az öt szabályos vegyület , 47-50. o., 6.2 . A platóni szilárd testek csillagozása, 96-104 . // Szabályos politópok . — 3. kiadás. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
- George W. Hart. MC Escher poliéderei // WEB cikk. – 1996.
- HSM Coxeter. Különleges könyvajánló: MC Escher: His life and complete graphic work // The Mathematical Intelligencer. - 1985. - T. 7 , sz. 1 . - doi : 10.1007/BF03023010 .
Külső linkek
- VRML modell: [1]
- MathWorld, Stella Octangula archiválva : 2015. december 10. a Wayback Machine -nél
- KlitzingPolytopes|../incmats/so.htm Richard Klitzing, 3D vegyület Archiválva : 2015. november 6. a Wayback Machine -nél