Bilinszkij dodekaéder

Bilinszkij dodekaéder

( forgó modell )
Tulajdonságok konvex , zonoéder
Kombinatorika
Elemek
12 lap
24 él
14 csúcs 		X  = 2
Szempontok 12 gyémánt
Vertex konfiguráció 4+4(4.4.4)
4+2(4.4.4.4)
Osztályozás
Szimmetria csoport D2h _
 Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A Bilinsky dodekaéder [1] egy poliéder ( zonoéder ), amely 12 egyforma aranyrombuszból áll .

Topológiailag izomorf a rombikus dodekaéderrel , de vele ellentétben nem izoéder (bár az összes lapja is egybevágó ), és eltérő szimmetriacsoportja van .

A Bilinsky dodekaéder lapjai rombuszok , amelyek átlóinak aránya megegyezik az aranymetszéssel ; valamivel megnyúltabbak, mint a rombikus dodekaéder lapjai, amelyek az átlók arányával rendelkező rombuszok.

14 csúcsa van. 2 csúcson négy lap fut össze éles sarkaikkal ; 4 csúcson három lap tompaszögekkel konvergál; 4 csúcsban egy hegyesszögű és két tompaszögű lap konvergál; 4 csúcsban három lap éles sarkokkal és egy tompa lappal konvergál .

A Bilinsky dodekaédernek 24 azonos hosszúságú éle van. 12 éllel (az ábrán pirossal jelölt csúcsokkal szomszédos ) a diéderszögek egyenlőek 8 éllel ( zöld és kék csúcsok között) - 4 éllel ( fekete és zöld csúcsok között) -

Koordinátákban

A Bilinsky dodekaéder elhelyezhető a derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy a csúcsai koordinátákkal rendelkeznek

Ebben az esetben a poliéder szimmetriaközéppontja egybeesik az origóval, három szimmetriatengely esik egybe az Ox, Oy és Oz tengelyekkel, és három szimmetriasík esik egybe az xOy, xOz és yOz síkkal.

Metrikus jellemzők

Ha a Bilinsky dodekaédernek van egy éle , akkor felületét és térfogatát a következőképpen fejezzük ki

Történelem

Ez a poliéder először 1752-ben található "dodecarombe" néven egy illusztráción John Lodge Cowley angol matematikus [2] [3] könyvében .

1960-ban fedezte fel újra Stanko Bilinsky horvát matematikus [4] , aki "második típusú rombikus dodekaédernek" [5] nevezte . Bilinsky felfedezése kitöltött egy 75 éven át észrevétlen hiányt az egybevágó rombuszlapú konvex poliéderek Evgraf Fedorov által leírt osztályozásában [6] .

Harold Coxeter egy 1962-es cikkében [7] tévesen azt állította, hogy a Bilinsky dodekaéder a rombikus dodekaéder affin transzformációjával nyerhető . Ez az állítás hamis [6] .

Bizonyíték Tekintsünk két szegmenst a fenti ábrákon: a két kék csúcsot összekötő poliéder átlóját és a piros csúcsot a zölddel összekötő lap átlóját. A Bilinsky dodekaéderben ezek a szakaszok nem párhuzamosak, de a rombikus dodekaéderben a nekik megfelelő szakaszok párhuzamosak. És mivel az affin transzformáció megőrzi a szegmensek párhuzamosságát, lehetetlen egy poliédert a másikból affin kiterjesztések és összehúzódások segítségével előállítani.

Jegyzetek

  1. ↑ W. Ball, G. Coxeter . Matematikai esszék és szórakoztatás. — M.: Mir, 1986. — P. 157.
  2. ↑ John Lodge Cowley. Geometry Made Easy; Vagy a geometria elemeinek új és módszeres magyarázata. - London, 1752. - 5. tábla, Fig. 16.
  3. ↑ Hart, George W. (2000), A rombikus enneakontaéder színegyeztető boncolása , Symmetry: Culture and Science 11. kötet (1–4): 183–199 , < http://www.georgehart.com/dissect -re/dissect-re.htm >  . ( Archiválva 2015. október 1-én a Wayback Machine -nél )
  4. ↑ Bilinski, S. (1960), Uber die Rhombenisoeder, Glasnik Mat. Fiz. Astr. T. 15: 251–263  .
  5. ↑ Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra: A geometria egyik legbájosabb fejezete , Cambridge: Cambridge University Press , p. 156, ISBN 0-521-55432-2 , < https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA156 >  .
  6. ↑ 1 2 Grünbaum, Branko (2010), The Bilinski dodekaéder és válogatott paraleloéderek, zonoéderek, monoéderek, izozonoéderek és egyéb éderek , The Mathematical Intelligencer 32. köt. (4): 5–15 , DOI 10.01073-10.01073.  .
  7. ↑ Coxeter, HSM (1962), A zonoéderek osztályozása projektív diagramok segítségével, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées vol. 41: 137–156  .

Linkek