Snub dodekaéder
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .| snub dodekaéder | |
|---|---|
| Típusú | Félig szabályos poliéder |
| él | ötszög , háromszög |
| arcok | |
| borda | |
| Csúcsok | |
| Szempontok a tetején | |
| Tömör szög |
3-3:164°10'31"(164.18°) |
| Schläfli szimbólum | sr{5,3} vagy |
| Wythoff szimbólum | 2 3 5 |
| Coxeter diagram |   
|
| Forgatási szimmetriák | I , [5,3] + , (532), 60. sorrend |
| Kettős poliéder |
Ötszögletű hexakontaéder |
| Letapogatás | |
Élszínezéssel _ |
|
A snub dodekaéder [1] [2] , a snub dodekaéder [3] vagy a snub ikozidodekaéder egy félig szabályos poliéder (archimedesi test), tizenhárom konvex izogonális nem prizmatikus test egyike, amelyek lapjai két vagy több szabályos sokszögből állnak .
A snub dodekaédernek 92 lapja van (a legtöbb arkhimédeszi test közül), ebből 12 ötszög , a maradék 80 pedig szabályos háromszög . 150 éle és 60 csúcsa van.
A poliédernek két különböző alakja van, amelyek egymás tükörképei (vagy " enantiomorf nézete "). Mindkét típus egyesülése két snub dodekaéder vegyületét képezi , és ennek a konstrukciónak a domború héja egy rombocsonkított ikozidodekaéder .
Kepler eredetileg 1619-ben nevezte el a latin dodekaéder simumnak Harmonices Mundi című könyvében . Harold Coxeter észrevette, hogy a dodekaéderből vagy egy ikozaéderből egyaránt elő lehet állítani poliédert, és elnevezte ikozidodekaédernek , a függőleges Schläfli szimbólummal .
Az "a" borda hosszának és a "D" körülírt golyó átmérőjének aránya:
D=4,311675*a
Derékszögű koordináták
A snub dodekaéder csúcsainak derékszögű koordinátái mind páros permutációk
(±2α, ±2, ±2β), (±(α+β/ϕ+ϕ), ±(−αϕ+β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ−1)), (±(α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ−β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ+1)), (±(−α/ϕ+βϕ+1), ±(−α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β−1/ϕ)) és (±(−α/ϕ+βϕ−1), ±(α−β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β+1/ϕ)),páros számú pluszjellel, hol
α = ξ − 1 / ξés
β = ξϕ + ϕ 2 + ϕ /ξ,Itt ϕ = (1 + √5)/2 az aranymetszés , ξ pedig a ξ 3 − 2ξ = ϕ egyenlet valós megoldása, és ez a szám
![\xi = \sqrt[3]{\frac{\phi}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27))} + \sqrt[3]{ \frac{\phi}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece82cface6818cdc3ab95d570839064eae3faa7)
vagy hozzávetőlegesen 1,7155615.
Ennek a döcögős dodekaédernek az élhossza körülbelül 6,0437380841.
Ha a fenti koordináták páratlan permutációit vesszük páros számú pluszjellel, akkor az elsőnek egy másik, enantiomorf alakját kapjuk. Bár nem azonnal nyilvánvaló, a páros permutációkból kapott test ugyanaz, mint a páratlan permutációkból. Ugyanígy a poliéder tükörképe páros vagy páratlan permutációnak felel meg.
Felület és térfogat
Az 1 élhosszúságú snub dodekaéder felülete:
a hangerő pedig az
,
ahol ϕ az aranymetszés .
Az arkhimédeszi szilárd testek közül a snub dodekaéder a legmagasabb gömbölyűséggel rendelkezik .
Ortográfiai vetületek
A snub dodekaédernek két speciális merőleges vetülete van , amelyek középpontjában kétféle lap áll – háromszög és ötszögletű, amelyek megfelelnek az A 2 és H 2 Coxeter síknak .
| Középpontú rokon | háromszög alakú arc |
Ötszögletű arc |
Borda |
|---|---|---|---|
| Kép | |||
| Projektív szimmetria |
[3] | [5] + | [2] |
| Kettős poliéder |
Geometriai hivatkozások
| A snub dodekaéder forgása |
|---|
A dodekaéder tizenkét szabályos ötszögletű lapjából úgy kaphatjuk meg a snub dodekaédert , hogy azokat kifelé húzzuk úgy, hogy többé ne érjenek egymáshoz. Megfelelő távolságra nyújtva ez egy rombikozidodekaédert ad , ha a felosztott élek közötti teret négyzetekkel, a felosztott csúcsok között pedig háromszögekkel töltjük ki. De annak érdekében, hogy kifinomult megjelenést kapjunk, csak a háromszög alakú lapokat töltjük ki, a négyzetes réseket üresen hagyjuk. Most elforgatjuk az ötszögeket a középpontjuk körül a háromszögekkel együtt, amíg a négyzetrések egyenlő oldalú háromszögekké nem változnak.
Dodekaéder |
Rombikozidodekaéder ( Kibővített dodekaéder ) |
snub dodekaéder |
A snub dodekaéder a csonka ikozidodekaéderből is megkapható az [ váltakozásával . A csonka ikozidodekaéder hatvan csúcsa topológiailag egy snub dodekaédernek megfelelő poliédert alkot. A maradék hatvan alkotja a tükörképét. A kapott poliéder csúcstranzitív , de nem homogén, mivel különböző hosszúságú élei vannak, ezért némi deformáció szükséges ahhoz, hogy homogén poliéder legyen.
Kapcsolódó poliéderek és burkolólapok
| Szimmetria : [5,3] , (*532) | [5,3] + , (532) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 
|
|
|
|
|
|
|
|
| {5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
| Kettős vagy egységes poliéder | |||||||
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Ez a félig szabályos politóp a snub [ poliéderek és csempék sorozatába tartozik, csúcsfigurával (3.3.3.3. n ) és Coxeter-Dynkin diagrammal 
. Ezeknek az ábráknak és duálisaiknak (n32) forgásszimmetriája [ van, és léteznek az euklideszi síkban n=6 esetén és a hiperbolikus síkban bármely n-nél nagyobb n esetén. Feltételezhetjük, hogy a sorozat n=2-vel kezdődik, ha feltételezzük, hogy hogy egyes beállított arcok kétszögletűvé fajulnak .
| Szimmetria n 32 |
gömbölyű | euklideszi | Kompakt hiperbolikus. | Paracomp. | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
| Pofás figurák |
||||||||
| Konfiguráció | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
| figurák | ||||||||
| Konfiguráció | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Snub dodekaéder gráf
| snub dodekaéder gráf | |
|---|---|
| Csúcsok | 60 |
| borda | 150 |
| Automorfizmusok | 60 |
| Tulajdonságok |
Hamiltoni szabályos |
| Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon | |
A gráfelméletben a snub dodekaéder gráf a snub dodekaéder csúcsainak és éleinek gráfja . 60 csúcsa és 150 éle van, és egy arkhimédeszi gráf [4] .
Lásd még
- Lapos sokszög átalakítása poliéderré Animáció
- ccw és cw forgó snub dodekaéderek
Jegyzetek
- ↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , p. 437, 435.
- ↑ Lyusternik, 1956 , p. 183.
- ↑ Weninger 1974 , p. 20, 42.
- ↑ Olvasás, Wilson, 1998 , p. 269.
Irodalom
- M. Weninger . poliéder modellek. - Világ , 1974.
- Sokszögek és poliéderek // Az elemi matematika enciklopédiája. Negyedik könyv. Geometria / Szerk. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich , A. Ya. Chinchin . - M .: Állami Fizikai és Matematikai Irodalmi Kiadó , 1963. - S. 382-447.
- L. A. Lyusternik . Konvex figurák és poliéderek. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó , 1956.
- Udaya Jayatilake. Számítások az arc és a csúcs szabályos poliédereire // Mathematical Gazette. - 2005. - T. 89 , sz. 514 (március) . – 76–81 .
- Robert Williams. A természetes szerkezet geometriai alapjai: A tervezés forráskönyve . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X .. (3-9. szakasz)
- P. Cromwell. Poliéder. - Egyesült Királyság: Cambridge, 1997. - 79–86. o. Archimédeszi szilárdtestek . - ISBN 0-521-55432-2 .
- RC Read, RJ Wilson. Grafikonok atlasza. – Oxford University Press, 1998.
Linkek
- Weisstein, Eric W. Snub dodekaéder gráf (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
- 3D konvex egységes poliéder Archiválva : 2015. december 22. a Wayback Machine -nél
- Egy Snub Dodekaéder szerkeszthető, nyomtatható hálója interaktív 3D-s nézettel Archiválva : 2015. december 23. a Wayback Machine -nél
- Az Uniform Polyhedra archiválva : 2008. február 11. a Wayback Machine -nél
- Virtual Reality Polyhedra Archiválva : 2008. február 23. a Wayback Machine -nél The Encyclopedia of Polyhedra
- A LEGO-val készült Snub Dodekaéder archiválva 2015. december 22-én a Wayback Machine -nél, Antonio Nicassio (OLASZORSZÁG)