Gömbszerűség

A gömbszerűség annak mennyiségi mérőszáma, hogy egy tárgy mennyire gömbölyű (kerek).

H. Wadell 1935 - ben határozta meg [1] , a részecske gömbölyűsége egy (az adott részecske térfogatával azonos térfogatú) gömb felületének és a részecske felületének aránya: $\psi$

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}},

ahol egyenlő a részecske térfogatával és egyenlő a részecske felületével. Egy gömb gömbszerűsége definíció szerint eggyel egyenlő, és az izoperimetrikus egyenlőtlenség miatt bármely más test gömbszerűsége kisebb egynél. $V_{p}$ $A_{p}$

A képlet származtatása

Hakon Wadell a gömbszerűséget úgy definiálta, mint egy adott részecske térfogatával megegyező gömb felületének és egy adott részecske felületének arányát. Tekintsünk először egy gömb alakú részecskét, amelynek felülete és térfogata megegyezik a vizsgált részecske térfogatával. $Mint$ $V_{p}$

Ennek a részecske felületét a térfogatával fejezzük ki : $Mint$ $V_{p}$

A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\ pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{ 2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2} =36\,\pi V_{p}^{2}.

Következésképpen,

A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3} }\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1 }{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2 }{3}}.

Ekkor egy tetszőleges felületű és térfogatú részecske szférikusságának kifejezése a formát veszi fel $\psi$ $A_{p}$ $V_{p}$

\Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right) ^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}.

Példák

Ellipszoid objektumok

A lapos gömb gömbszerűsége az $\psi$

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={ \frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}} }\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2)))){b}}\jobbra)}}},

ahol a és b egyenlő a gömb nagy és kis féltengelyével.

Egyes objektumok gömbölyűsége

Név	Hangerő	Felszíni terület	Gömbszerűség
Plátói szilárdtestek
Tetraéder	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}$	${\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3))))\right)^{\frac {1}{3))\körülbelül 0,671$
Kocka (hexaéder)	$\,s^{3}$	$6\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\kb. 0,806$
Oktaéder	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}$	$2{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3))))\right)^{\frac {1}{3))\körülbelül 0,846$
Dodekaéder	${\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right )^{\frac {3}{2}}}}\jobbra)^{\frac {1}{3}}\kb. 0,910$
ikozaéder	${\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$5{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\kb 0,939$
Tengelyszimmetriájú testek
Kúp $(h=2{\sqrt {2}}r)$	${\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h$ $={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}$	$\pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2))})$ ${\displaystyle =4\pi \,r^{2))$	$\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\kb. 0,794$
félteke	${\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}$	${\displaystyle 3\pi \,r^{2))$	$\left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\kb. 0,840$
Henger ${\megjelenítési stílus (h=2\,r)}$	${\displaystyle \pi r^{2}h=2\pi \,r^{3))$	${\displaystyle 2\pi r(r+h)=6\pi \,r^{2))$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\kb. 0,874$
Thor ${\megjelenítési stílus (R=r)}$	$2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}$	${\displaystyle 4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2))$	$\left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\kb. 0,894$
Szféra	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	${\displaystyle 4\pi \,r^{2))$	$1\,$

Lásd még

Izoperimetriás arány

Jegyzetek

↑ Wadell, Hakon. A kvarcrészecskék térfogata, alakja és kereksége // Journal of Geology : folyóirat. - 1935. - 1. évf. 43 , sz. 3 . - P. 250-280 . - doi : 10.1086/624298 .