Paraleloéder

A paraleloéder egy konvex poliéder , amelynek párhuzamos transzlációjával a teret kikövezhetjük , azaz lefedhetjük az euklideszi teret úgy, hogy a poliéderek ne menjenek be egymásba, és ne hagyjanak maguk között űrt [1] .

Példák és tulajdonságok

• A párhuzamos éderek például a Dirichlet-Voronoi rácsok régiói az euklideszi térben.
• A síkban kétféle paraleloéder található: paralelogramma és középszimmetrikus hatszög.
• A háromdimenziós térben pontosan öt topológiai típusú paraleloéder létezik: kocka , hatszögletű prizma , rombikus dodekaéder , megnyúlt dodekaéder (lásd az ábrát) és csonka oktaéder .

• Minden (bármilyen dimenziójú) paraleloéder központilag szimmetrikus poliéder. A paraleloéder minden oldala szintén központilag szimmetrikus.
• Kétdimenziós és háromdimenziós esetben minden paraleloéder zonoéder . Ezzel szemben minden olyan zonoéder, amely a leírt topológiai típusok valamelyikével rendelkezik, paraleloéder.
• Még a négydimenziós térben sem minden paraleloéder zonoéder.

Történelem

A paraleloéder elméletének kezdetét a 19. században Fedorov és Minkowski munkái fektették le . Voronoi jelentős mértékben hozzájárult ehhez , bizonyítva, hogy minden primitív paraleloéder egy rács DV-tartományának affinitása. A 20. században a paraleloéderek elméletét Delaunay , B. A. Venkov, Ryshkov , P. Macmallen és mások dolgozták ki.

A közelmúltban az összes rácsos paraleloéder vizsgálatát az úgynevezett gyökérparaleloéderek vizsgálatára redukálták, amelyek valamilyen módon a paraleloéderek alapját képezik. S. S. Ryshkov fogalmazta meg azt a tételt, amely bármely rácsos paraleloédernek véges számú gyökérparaleloéder Minkowski-összegeként való ábrázolására vonatkozik. Ennek a tételnek a részletes bizonyítékát S. S. Ryshkov és E. A. Bolshakova közös cikke adja.

Jegyzetek

1. ↑ Aleksandrov, 1950 , p. 321.

Irodalom

• POKOL. Alekszandrov. Konvex poliéder. - Moszkva, Leningrád: Műszaki és elméleti irodalom állami kiadója , 1950.