Deltaéder

A deltaéder olyan poliéder , amelynek minden lapja szabályos háromszög . A név a görög nagy delta ( ) betűből származik , amely egyenlő oldalú háromszög alakú. Végtelenül sok deltaéder van, de közülük csak nyolc domború , és 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 és 20 lappal rendelkeznek [1] .

A lapok, élek és csúcsok száma az alábbiakban található mind a nyolc deltaéder esetében.

Konvex deltaéder

Összesen 8 konvex deltaéder [2] van, ebből 3 platóni test , 5 pedig Johnson poliéder .

Egy 6 lappal rendelkező deltaéderben egyes csúcsok 3-as, mások 4-es fokúak. A 10, 12, 14 és 16 lapú deltaéderekben egyes csúcsok 4-es, mások 5-ös fokúak. Ez az öt szabálytalan deltaéder a szabályos felületű poliéderek osztályába tartoznak - konvex poliéderek, amelyek lapjaként szabályos sokszögek találhatók .

Nincs 18 lapú konvex deltaéder [3] . Azonban egy összehúzott élű ikozaéder példát ad egy oktaéderre , amely 18 szabálytalan lappal domborúvá tehető, vagy három egyenlő oldalú háromszögből álló két halmazzal, amelyek ugyanabban a síkban helyezkednek el.

Szabályos deltaéder
Név Kép
Csúcsok száma
Bordák száma
Az arcok száma
Vertex konfiguráció 		Szimmetria csoport
szabályos tetraéder négy 6 négy 4 x 3 3 T d , [3,3]
Szabályos oktaéder (négyszögletű bipiramis) 6 12 nyolc 6× 34 Ó ó , [4,3]
Szabályos ikozaéder 12 harminc húsz 12× 35 I h , [5,3]
Johnson deltaéder
háromszög alakú bipiramis 5 9 6 2 x 3 3
3 x 3 4 		D 3h , [3,2]
Ötszögletű bipiramis 7 tizenöt tíz 5 x 3 4
2 x 3 5 		D 5h , [5,2]
laphám biclinoid nyolc tizennyolc 12 4 x 3 4
4 x 3 5 		D2d , [2,2 ]
Háromszoros kiterjesztett háromszög prizma 9 21 tizennégy 3 x 3 4
6 x 3 5 		D 3h , [3,2]
Csavart, hosszúkás négyszögletű bipiramis tíz 24 16 2 x 3 4
8 x 3 5 		D4d , [4,2 ]

Nem szigorúan konvex esetek

Végtelenül sok olyan deltaéder van, amelyeknek egy síkbeli (ugyanabban a síkban fekvő) háromszögei vannak. Ha az egysíkú háromszögek halmazait egy lapnak tekintjük, akkor kevesebb lap, él és csúcs számolható meg. A koplanáris háromszöglapok rombusz alakú, trapéz alakú, hatszögletű vagy más egyenlő oldalú sokszögű lapokká olvaszthatók. Mindegyik lapnak domború polimondnak kell lennie , például , , , , , , és , ... [4]

Néhány apró példa

Egysíkú deltaéder
Kép Név arcok borda Csúcsok Vertex konfigurációk Szimmetria csoport
Extended octahedron
Extension
1 tetra. + október 1 		tíz tizenöt 7 1 x 3 3
3 x 3 4
3 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
4 3
 12
Háromszög alakú trapézéder
2. kiterjesztés
tetra. + október 1 		12 tizennyolc nyolc 2 x 3 3
0 x 3 4
6 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
6 12
Kiterjesztés
2 tetra. + október 1 		12 tizennyolc nyolc 2 x 3 3
1 x 3 4
4 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
2 2 2

 tizenegy 7
Háromszög alakú csonka gúla
Kiterjesztés
3 tetra. + október 1 		tizennégy 21 9 3 x 3 3
0 x 3 4
3 x 3 5
3 x 3 6 		C 3v , [3]
1 3 1

 9 6
Megnyúlt oktaéder
2. kiterjesztés
tetra. + október 2 		16 24 tíz 0 x 3 3
4 x 3 4
4 x 3 5
2 x 3 6 		D 2h , [2,2]
4 4
 12 6
Tetrahedron
Extension
4 tetra. + október 1 		16 24 tíz 4 x 3 3
0 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		T d , [3,3]
négy 6 négy
Kiterjesztés
3 tetra. + október 2 		tizennyolc 27 tizenegy 1 x 3 3
2 x 3 4
5 x 3 5
3 x 3 6 		D 2h , [2,2]
2 1 2 2


 tizennégy 9
Összehúzott élű ikozaéder tizennyolc 27 tizenegy 0 x 3 3
2 x 3 4
8 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
12 2
 22 tíz
Bi-csonka bipiramis
6-os kiterjesztés
tetra. + október 2 		húsz harminc 12 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
3 x 3 6 		D 3h , [3,2]
26 _
 tizenöt 9
Háromszögű kupola
Extension
4 tetra. + október 3 		22 33 13 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
4 x 3 6 		C 3v , [3]
3 3 1 1


 tizenöt 9
Háromszög alakú bipiramis
kiterjesztés
8 tetra. + október 2 		24 36 tizennégy 2 x 3 3
3 x 3 4
0 x 3 5
9 x 3 6 		D 3h , [3]
6 9 5
Hatszögletű antiprizma 24 36 tizennégy 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
2 x 3 6 		D 6d , [12,2 + ]
12 2
 24 12
Csonka tetraéder
Kiterjesztés
6 tetraéder. + október 4 		28 42 16 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
4 x 3 6 		T d , [3,3]
4 4
 tizennyolc 12
Tetrakiskuboctahedron
Octahedron
Extension
8 tetra. + október 6 		32 24 tizennyolc 0 x 3 3
12 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		Ó ó , [4,3]
nyolc 12 6

Nem konvex deltaéder

Végtelenül sok nem domború és toroid deltaéder létezik.

Példa egy önmetsző lapokkal rendelkező deltaéderre

Más nem domború deltaéderek is előállíthatók, ha piramisokat adunk mind az 5 szabályos poliéder lapjához:

Triakisztetraéder Tetrakisexaéder Triakisoctahedron
( stella octangula ) 		Pentakisdodekaéder Triakizikosaéder
12 háromszög 24 háromszög 60 háromszög

A tetraéder egyéb kiterjesztései:

Példák: kiterjesztett tetraéder
8 háromszög 10 háromszög 12 háromszög

Úgy is, hogy fordított piramisokat adunk az arcokhoz:


Hornyolt dodekaéder
toroid deltaéder
60 háromszög 48 háromszög

Jegyzetek

  1. ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947 , p. 115–128.
  2. ↑ Konvex deltaéder . Letöltve: 2016. június 6. Az eredetiből archiválva : 2020. szeptember 26.
  3. ↑ Trigg, 1978 , p. 55–57.
  4. ↑ A konvex deltaéder és az egysíkú arcok megengedése . Letöltve: 2017. október 13. Az eredetiből archiválva : 2015. október 19.

Irodalom