Kettős poliéder

Az adott poliéderhez tartozó duális (vagy duális) poliéder  olyan poliéder , amelyben az eredeti poliéder minden lapja a duál csúcsának felel meg, az eredeti poliéder minden csúcsa pedig a duál lapjának. Az eredeti és a kettős poliéder éleinek száma azonos. A duál és a duál poliéder homotetikus az eredetivel.

Épület

A kettős politóp felépítésének legegyszerűbb módja a következő:

• Csúcsok : az eredeti poliéder lapjainak közepén vannak.
• Élek : A csúcsok közé él rajzolódik ki, ha a megfelelő lapoknak közös élük van.

Dorman Luke épület

Egységes politópok esetén a kettős politóp lapja megtalálható az eredeti politóp csúcsalakjából , Dorman Luke konstrukciójával . Ezt a konstrukciót eredetileg Cundy és Rollett (1961) írta le, később Wenninger (1983) általánosította.

Példaként vegyük a kuboktaéder csúcsalakját (piros) , amely a (kék) rombikus dodekaéder lapjának meghatározására szolgál .

Az építés megkezdése előtt minden szomszédos él középső vágásával megkapjuk az ABCD csúcsfigurát .

Dorman Luke építése a következőképpen zajlik:

1. Rajzolja meg az ABCD csúcsalakját !
2. Rajzolj egy körülírt kört (az A , B , C és D sarkokon áthaladva ).
3. A körülírt körhöz érintőket húzunk az A , B , C , D sarkokban .
4. Jelöljük a szomszédos E , F , G , H pontok érintőinek metszéspontjait .
5. Az EFGH sokszög a kettős politóp lapja.

Ebben a példában a csúcsalak méretét úgy választjuk meg, hogy körülírt köre a koboktaéder félig beírt gömbjén (a gömb minden élét érinti) legyen, amely egyben a kettős rombuszának félig beírt gömbjévé is válik. dodekaéder.

Dorman Luke konstrukciója csak akkor használható, ha a poliédernek ilyen félig beírt gömbje van, és a csúcsalakzat ciklikus, azaz. egységes poliéderekhez .

Önkettős poliéder

Topológiailag az ön-kettős politópok azok, amelyek duáljainak pontosan ugyanolyan kapcsolata van a csúcsok, élek és lapok között. Absztrakt módon ezek poliéderek azonos Hasse-diagramokkal .

A geometriailag önduális politóp nem csak topológiailag önduális, a politóp poláris transzformációja egy bizonyos ponthoz, általában a centrumához képest egy kongruens alak. Például egy szabályos tetraéder kettős poliédere egy másik szabályos tetraéder ( centrálisan szimmetrikus a tetraéder középpontjára).

Bármely sokszög topológiailag önduális (azonos számú csúcsa és éle van, és a dualitás következtében helyet cserélnek), de általánosságban véve geometriailag nem önduális (ha merev testnek tekintjük). A szabályos sokszögek geometriailag önkettősek – minden szög egyenlő, akárcsak az élek.

A konvex poliéder legelfogadottabb geometriai ábrázolása a kanonikus formájú ábrázolás, amikor minden élének érintenie kell egy bizonyos gömböt, amelynek középpontja egybeesik az érintőpontok súlypontjával. Ha egy ilyen alak önduális, akkor a poláris transzformáció kongruens vele.

Végtelenül sok geometriailag önkettős poliéder létezik. A legegyszerűbb végtelen család az n oldalú piramisok kanonikus formában. Egy másik végtelen család, a hosszúkás piramisok , poliéderekből áll, amelyeket prizmák tetején ülő piramisoknak tekinthetünk (azonos oldalszámmal). Adjunk hozzá egy csonka piramist a prizma aljához, és egy újabb végtelen családot kapunk.

Sok más konvex önkettős poliéder létezik. Például 6 különböző poliéder 7 csúcsú és 16 8 csúcsú [1]

Találhatunk nem konvex önduális poliédereket is, mint például a rovátkolt dodekaéder

Lásd még

• Félig szabályos poliéder
• Poliéder

Jegyzetek

1. ↑ A kanonikus önkettős poliéderek szimmetriái Archiválva : 2013. október 5. a Wayback Machine -nél  – 3D Java modellek , Brinkmann és McKay síkgráfjainak gyors generálása alapján [1] Archivált : 2014. március 1. a Wayback Machine -nél