Háromszög

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 35 szerkesztést igényelnek .

Háromszög

borda	3
Schläfli szimbólum	{3}
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A háromszög (az euklideszi térben ) egy geometriai alakzat , amelyet három szakasz köt össze, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el . Ezt a három pontot a háromszög csúcsainak , a szakaszait pedig a háromszög oldalainak nevezzük . A sík oldalai által határolt részét a háromszög belsejének nevezzük : gyakran a háromszöget a belsejével együtt tekintjük (például a terület fogalmának meghatározásához) [1] .

A háromszög oldalai három szöget alkotnak a háromszög csúcsaiban , így a háromszög definiálható olyan sokszögként is, amelynek pontosan három szöge van [2] , azaz. egy sík részeként, amelyet három szakasz határol, amelyek három pontot kötnek össze, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el. A háromszög az egyik legfontosabb geometriai alakzat, amelyet a tudomány és a technika széles körben használnak, ezért tulajdonságainak vizsgálatát ősidők óta végezték.

A háromszög fogalma különféle általánosításokat enged meg. Ezt a fogalmat a nem euklideszi geometriában is definiálhatja (például egy gömbön ): az ilyen felületeken a háromszöget három pontként definiálják, amelyeket geodetikus köt össze . A -dimenziós geometriában a háromszög analógja a -edik dimenziós szimplex . $n$ $n$

Néha egy degenerált háromszöget veszünk figyelembe, amelynek három csúcsa ugyanazon az egyenesen fekszik. Hacsak másképp nem jelezzük, a cikkben szereplő háromszögről feltételezzük, hogy nem degenerált.

A háromszög alapelemei

Csúcsok, oldalak, sarkok

Hagyományosan a háromszög csúcsait a latin ábécé nagybetűivel jelölik: , a velük szemben lévő oldalakat pedig ugyanazokkal a kisbetűkkel (lásd az ábrát). Egy háromszög csúcsokkal , és jelölése . Az oldalakat határoló csúcsaik betűivel is jelölhetjük: , , . $ABC$ $A$ $B$ $C$ $\Delta ABC$ $AB=c$ $BC=a$ $CA=b$

A háromszögnek a következő szögei vannak: $\Delta ABC$

szög - az oldalak és az oldallal szembeni szög ; $\angle A=\angle BAC$ $AB$ $AC$ $időszámításunk előtt$
szög - az oldalak és az oldallal szembeni szög ; $\angle B=\angle ABC$ $AB$ $időszámításunk előtt$ $AC$
szög - az oldalak és az oldallal szembeni szög . $\angle C=\angle ACB$ $időszámításunk előtt$ $AC$ $AB$

A megfelelő csúcsok szögeinek értékeit hagyományosan görög betűkkel ( , , ) jelölik. $\alpha$ $\beta$ $\gamma$

Egy lapos háromszög külső szöge egy adott csúcsban a háromszög belső szögével szomszédos szög ebben a csúcsban (lásd az ábrát). Ha egy háromszög adott csúcsánál a belső szöget egy adott csúcsból kilépő két oldal alkotja, akkor a háromszög külső szögét úgy alkotja meg, hogy az egyik oldal egy adott csúcsból és a másik oldal folytatása ugyanabból jön ki. csúcs. A külső sarok értéket vehet fel -tól . $DCA$ $ABC$ $C$ $ACB$ $0$ $180^{\circ }$

A háromszög kerülete a három oldala hosszának összege, és ennek az értéknek a felét félperiméternek nevezzük .

A háromszögek osztályozása

A szögek nagysága szerint

Mivel az euklideszi geometriában egy háromszög szögeinek összege , akkor a háromszögben legalább két szögnek hegyesnek kell lennie ( kisebb, mint ). A következő típusú háromszögek léteznek [2] . $180^{\circ }$ $90^{\circ }$

Ha a háromszög minden szöge hegyes, akkor a háromszöget hegyesnek nevezzük .
Ha a háromszög egyik szöge egyenes (egyenlő ), akkor a háromszöget derékszögűnek nevezzük . A derékszöget alkotó két oldalt lábnak , a derékszöggel ellentétes oldalt pedig befogónak nevezzük . $90^{\circ }$
Ha a háromszög egyik szöge tompaszögű (nagyobb, mint ), akkor a háromszöget tompaszögnek nevezzük A maradék két szög nyilvánvalóan hegyesszögű (nem lehet két tompa vagy derékszögű háromszög). $90^{\circ }$

Az egyenlő oldalak számával

Egy háromszöget léptékűnek nevezünk, ha mindhárom oldala nem egyenlő.
Egy egyenlő szárú háromszög olyan, amelynek két oldala egyenlő. Ezeket az oldalakat oldalnak , a harmadik oldalt alapnak nevezzük. Egy egyenlő szárú háromszögben az alap szögei egyenlőek.
Egyenlő oldalú vagy derékszögű háromszöget nevezünk, amelynek mindhárom oldala egyenlő. Egy egyenlő oldalú háromszögben minden szög egyenlő 60°-kal, és a beírt és körülírt körök középpontja egybeesik . Az egyenlő oldalú háromszög az egyenlő szárú háromszög speciális esete.

Mediánok, magasságok, felezők

Egy adott csúcsból húzott háromszög mediánja az a szakasz, amely ezt a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával (a medián alapjával) összeköti. A háromszög mindhárom mediánja egy pontban metszi egymást. Ezt a metszéspontot a háromszög súlypontjának vagy súlypontjának nevezzükA vezetéknév annak köszönhető, hogy egy homogén anyagból készült háromszögneka mediánok metszéspontjában van a súlypontja . A centroid minden mediánt 1:2 arányban oszt el a medián alapjától. Az olyan háromszöget, amelynek csúcsai a mediánok felezőpontjaiban vannak, medián háromszögnek nevezzük . Egy adott háromszög mediánjainak alapjaialkotják az úgynevezett komplementer háromszöget . Az oldalra süllyesztettmedián hosszát akövetkező képletekkel találhatjuk meg: $m_{c},$ $c,$

m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }};

hasonlóan más mediánokhoz is.

Magasság különböző típusú háromszögekben
A magasságok az ortocentrumban metszik egymást

Egy adott csúcsból húzott háromszög magasságát az ebből a csúcsból a szemközti oldalra ejtett merőlegesnek vagy annak folytatásának nevezzük. A háromszög három magassága egy pontban metszi egymást, amelyet a háromszög ortocentrumának nevezünk . Egy olyan háromszöget, amelynek csúcsai a magasságok alapjaiban vannak, derékszögűnek nevezzük .

Az oldalra süllyesztett magasság hosszát a következő képletekkel találhatjuk meg: $h_{c}$ $c$

h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta =c\,{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )))

; hasonló más magasságokhoz is.

A magasságok hossza oldalra süllyesztett. a következő képletekkel is megtalálható: [3] :64.o

h_{c}={\frac {ab}{2R)),\quad h_{a}={\frac {bc}{2R)),\quad h_{b}={\frac {ca} {2R}}

Egy adott csúcsból húzott háromszög felezőpontja (felező) egy szakasz, amely ezt a csúcsot a szemközti oldalon lévő ponttal összeköti, és az adott csúcsban lévő szöget kettéosztja . A háromszög felezői egy pontban metszik egymást, és ez a pont megegyezik a beírt kör középpontjával ( incenter ).

Ha a háromszög léptékű (nem egyenlő szárú), akkor bármelyik csúcsából húzott felezőszög az ugyanabból a csúcsból húzott medián és magasság közé esik. A felező másik fontos tulajdonsága: a szemközti oldalt a vele szomszédos oldalakkal arányos részekre osztja [4] .

Az oldalra süllyesztett felező hosszát a következő képletekkel találhatjuk meg: $l_{c}$ $c$

l_{c}={\frac {\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}}{a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(pc) }}}{a+b}}

, hol van a félperimétere .

p

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {c\,\sin \alpha \cdot \sin \ béta }{\sin(\alpha +\beta )\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

l_{c}={\frac {h_{c)){\cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

; itt a magasság.

h_{c}

Egy egyenlő szárú háromszög magassága, mediánja és felezőszöge az alapra süllyesztve megegyezik. Ennek a fordítottja is igaz: ha az egyik csúcsból húzott felező, medián és magasság megegyezik, akkor a háromszög egyenlő szárú.

Körbeírt és beírt körök

A körülírt kör (lásd a jobb oldali ábrát) egy olyan kör, amely a háromszög mindhárom csúcsán áthalad. A körülírt kör mindig egyedi, középpontja egybeesika háromszög oldalaira húzott, az oldalak felezőpontjain keresztül húzott merőlegesek metszéspontjával. Egy tompa háromszögben ez a középpont a háromszögön kívül esik [4] .

A beírt kör (lásd a jobb oldali ábrát)a háromszög mindhárom oldalát érintő kör . Ő az egyetlen. A beírt kör középpontját incenternek nevezzük , ez egybeesik a háromszög felezőinek metszéspontjával.

A következő képletek lehetővé teszik a körülírt és beírt körök sugarának kiszámítását . $R$ $r$

r={S \over p},

hol a háromszög területe és a fél kerülete .

S

p

{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))))

R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}

R={\frac {abc}{4S}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))))))

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {c}}}

hol vannak a megfelelő körkörök sugarai ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c))$

Még két hasznos arány:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[5]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

Van még a Carnot-képlet [6] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})

ahol , , A körülírt kör középpontjától mért távolságok a háromszög oldalaiig , , , , a háromszög ortocentrumától mért távolságok , , csúcsaiig . ${\displaystyle k_{a))$ ${\displaystyle k_{b))$ $k_{c}$ $a$ $b$ $c$ $d_{A}$ $d_{B}$ $d_{C}$ $A$ $B$ $C$

Például a körülírt kör középpontja és a háromszög oldala közötti távolság: $a$

k_{a}=a/(2\operátornév {tg} A)

;

például az ortocentrum és a háromszög csúcsa közötti távolság: $A$

d_{A}=a/\operátornév {tg} A

Egyenlő háromszögek jelei

Egy háromszög az euklideszi síkon egyedileg ( kongruenciáig ) definiálható az alábbi alapelemhármasokkal: [7]

$a$ , , (két oldal egyenlősége és a köztük lévő szög); $b$ $\gamma$
$a$ , , (oldal- és két szomszédos szög egyenlősége); $\beta$ $\gamma$
$a$ , , (három oldalon egyenlőség). $b$ $c$

A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei:

a láb és a hypotenus mentén;
két lábon;
a láb és a hegyesszög mentén;
hipotenúza és hegyesszög.

További jellemző: a háromszögek akkor egyenlőek, ha két oldaluk van, és egy szögük a nagyobbik oldallal ellentétes [8] .

A gömbgeometriában és Lobacsevszkij geometriájában van egy jel, hogy a háromszögek három szögben egyenlők.

A háromszögek hasonlóságának jelei

A háromszögelemek alapvető tulajdonságai

Corner Properties

Bármely háromszögben nagyobb szög van a nagyobb oldallal szemben, és fordítva. Egyenlő szögek fekszenek egyenlő oldalakkal [8] .

A háromszög minden külső szöge egyenlő a 180° és a megfelelő belső szög különbségével. Egy külső szögre érvényes a háromszög külső szög tétele is : egy külső szög egyenlő két másik belső szög összegével, amelyek nem szomszédosak vele [8] .

A háromszög egyenlőtlenség

Egy nem degenerált háromszögben a két oldal hosszának összege nagyobb, mint a harmadik oldal hossza, egy degenerált háromszögben egyenlő. Más szavakkal, egy nem degenerált háromszög oldalainak hosszát a következő egyenlőtlenségek kapcsolják össze:

a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b

További tulajdonság: a háromszög mindkét oldala nagyobb, mint a másik két oldal különbsége [8] .

Háromszögösszeg tétel

A háromszög belső szögeinek összege mindig 180°:

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

A Lobacsevszkij-geometriában a háromszög szögeinek összege mindig kisebb, mint 180°, míg egy gömbön mindig nagyobb.

Szinusztétel

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

ahol a háromszög köré körülírt kör sugara. $R$

Koszinusz tétel

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,\quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Ez a Pitagorasz-tétel általánosítása .

Megjegyzés . a koszinusztételt a következő két képletnek is nevezik, könnyen levezethető a fő koszinusztételből (lásd 51. o., f. (1.11-2)) [9] .

a^{2}=(b+c)^{2}-4bc\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2)),\quad a^{2}=(bc)^ {2}+4bc\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))

A vetületi tétel

Forrás: [10] .

c=a\cos \beta +b\cos \alpha ,\quad a=b\cos \gamma +c\cos \beta ,\quad b=c\cos \alpha +a\cos \gamma

Érintőtétel

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\operatorname {tg } [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}});{\frac {bc}{b+c}}={\frac {\operátornév {tg} [{\frac { 1}{2}}(\beta -\gamma )]}{\operátornév {tg} [{\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )]}});{\frac {ac }{ a+c))={\frac {\operátornév {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\gamma )]}{\operátornév {tg} [{\frac {1} {2 }}(\alpha +\gamma )]}}.

Másik név: Regiomontanus formula .

Kotangens tétel

{\frac {pa}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {pb}{\operatorname {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc }{\operátornév {ctg} (\gamma /2)}}=r

Mollweide képletei

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}},\ quad {\frac {ab}{c}}={\frac {\sin {\frac {AB}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}

Háromszögek megoldása

A háromszög ismeretlen oldalainak, szögeinek és egyéb jellemzőinek kiszámítását ismert oldalakból a történelemben " háromszög-megoldásnak " nevezték. Ez a fenti általános trigonometrikus tételeket, valamint a háromszögek egyenlőségének és hasonlóságának jeleit használja .

Egy háromszög területe

Ezután a jelölést használjuk

$\ h_{a},h_{b},h_{c}$ - oldalra húzott magasságok , ${\megjelenítési stílus \ a,b,c}$
$\m$ - medián az oldalakkal rendelkező szög csúcsától ${\megjelenítési stílus \a,b,}$
$p={\frac {a+b+c}{2}}$ - fél kerület,
$\ p_{m}={\frac {a+b+2m}{2))$ ,
$\r$ a beírt kör sugara ,
${\displaystyle \ r_{a},r_{b},r_{c))$ az oldalak érintőjének körének sugarai , ${\megjelenítési stílus \ a,b,c}$
${\displaystyle \ r_{a},r_{b},r_{c))$
$\R$ a körülírt kör sugara .

A háromszög területe a fő elemeihez kapcsolódik a következő összefüggésekkel.

$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
$S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R))$
$S_{\háromszög ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)}}={1 \több mint 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb )(a+bc)}}$ - Gém képlete
${\displaystyle S_{\triangle ABC}=(pb)r_{b))$ [tizenegy]
$S_{\triangle ABC}={\sqrt {p_{m}(p_{m}-a)(p_{m}-b)(p_{m}-2m)))$

${\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c))))$ [12]
$S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}$
$S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(\operátornév {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta )))$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {CA}}\wedge {\overrightarrow {CB}})={\frac {1}{2}}( x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{C})-{\frac {1}{2}}(x_{B}-x_{C})(y_{A}-y_ {C})$ a háromszög orientált területe.
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {\left({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b ))}+{\frac {1}{h_{c}}}\right)\left({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}} -{\frac {1}{h_{a}}}\right)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\ frac {1}{h_{b}}}\right)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1 }{h_{c}}}\jobbra)}}}}}$ - lásd Heron képletének analógjai
$S_{\triangle ABC}=r^{2}\operátornév {ctg} ({\frac {\alpha }{2)))\operatorname {ctg} ({\frac {\beta }{2)) )\operátornév {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))$

Különleges esetek

$S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2))$ - derékszögű háromszöghez
$S={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ - egyenlő oldalú háromszög esetén

Egyéb képletek

Vannak más képletek is, például [13]

S={\frac {\operátornév {tg} \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})

sarok számára . ${\displaystyle \alpha \neq 90^{\circ ))$

1885-ben Baker [14] több mint száz képletből álló listát javasolt egy háromszög területére. Ide tartozik különösen:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c))))

S={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}}

S={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})))

S={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}

Egyenlőtlenségek egy háromszög területének

A területre a következő egyenlőtlenségek érvényesek:

${\sqrt {27}}r^{2}\leqslant S\leqslant {\frac {\sqrt {27}}{4}}R^{2}$ , és mindkét egyenlőség megvalósul.
$S\leqslant {\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2})$ , ahol egyenlő szárú derékszögű háromszög esetén egyenlőség érhető el.
Egy olyan háromszög területe, amelynek kerülete kisebb vagy egyenlő, mint . Az egyenlőség akkor és csak akkor érhető el, ha a háromszög egyenlő oldalú ( szabályos háromszög ) [15] [16] :657 . $p$ $p^{2}/(12{\sqrt {3)))$
A terület egyéb határait a [17] :290.o . képletek adják meg $S$

4{\sqrt {3}}S\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

és ,

4{\sqrt {3}}S\leqslant {\frac {9abc}{a+b+c}}

ahol mindkét esetben akkor és csak akkor valósul meg az egyenlőség, ha a háromszög egyenlő oldalú (szabályos).

Tanulmánytörténet

Az iskolában tanulmányozott háromszög tulajdonságai ritka kivételektől eltekintve a korai ókor óta ismertek. A trigonometrikus ismeretek kezdetei az ókori Egyiptom , Babilon és az ókori Kína matematikai kézirataiban találhatók . Ennek az időszaknak a fő eredménye a ratio volt, amely később a Pitagorasz-tétel nevet kapta ; Van der Waerden úgy véli, hogy a babilóniaiak fedezték fel ie 2000 és 1786 között. e. [tizennyolc]

Az ókori Görögországban megjelent a háromszögek (lapos és gömb alakú ) geometriájának általános és meglehetősen teljes elmélete [19] . Különösen a második könyvben, a " Kezdetek " Euklidész 12. tétele a tompa háromszögekre vonatkozó koszinusztétel verbális analógja [20] . Az ezt követő 13. tétel a koszinusztétel egy változata hegyesszögű háromszögekre . A háromszögek elemeinek (szögek, oldalak, felezők stb.) Euklidész utáni tulajdonságaival Arkhimédész , Menelaosz , Klaudiosz Ptolemaiosz , Alexandriai Pappus [21] foglalkozott .

A IV. században, az ókori tudomány hanyatlása után, a matematika fejlődési központja Indiába költözött. Indiai matematikusok ( sziddhanták ) írásai azt mutatják, hogy szerzőik jól ismerték a görög csillagászok és geométerek munkáit [22] . Az indiánokat kevéssé érdekelte a tiszta geometria, de hozzájárulásuk az alkalmazott csillagászathoz és a trigonometria számítási szempontjaihoz igen jelentős.

A 8. században a Közel- és Közel-Kelet országainak tudósai megismerkedtek az ókori görög és indiai matematikusok és csillagászok munkáival. Csillagászati értekezéseiket, az indiai sziddhantákhoz hasonlóan, " ziji "-nek nevezték; tipikus zij csillagászati és trigonometrikus táblázatok gyűjteménye volt, amelyek használati útmutatóval és (nem mindig) az általános elmélet összefoglalásával voltak ellátva [23] . A 8-13. századi zijs-ek összehasonlítása a trigonometrikus tudás gyors fejlődését mutatja. A legkorábbi fennmaradt művek al-Khwarizmihoz és al-Marvazihoz tartoznak (9. század).

Thabit ibn Qurra (9. század) és al-Battani ( 10. század) fedezték fel elsőként az alapvető szinusztételt egy derékszögű gömbháromszög speciális esetére . Egy tetszőleges gömb alakú háromszögre Abu-l- Vafa , al-Khujandi és ibn Irak találta meg a bizonyítékot (különféle módon és valószínűleg egymástól függetlenül) a 10. század végén [24] . Egy másik értekezésben ibn Irak megfogalmazta és bebizonyította a lapos háromszög szinusztételét [25] .

A trigonometria (lapos és gömb alakú) alapvető bemutatását Nasir ad-Din at-Tusi perzsa matematikus és csillagász adta meg 1260 -ban [26] . "Treatise on the full quadripartite" című könyve gyakorlati módszereket tartalmaz tipikus problémák megoldására, beleértve a legnehezebbeket is, amelyeket maga at-Tusi old meg [27] . Így a 13. század végére felfedezték a háromszögekkel végzett gyakorlati munkához szükséges alaptételeket.

Európában a trigonometrikus elmélet fejlesztése a modern időkben rendkívül fontossá vált, elsősorban a tüzérség , az optika és a nagy távolságú tengeri utakon végzett navigáció terén. 1551-ben Rheticusnak , Kopernikusz tanítványának 15 számjegyű trigonometrikus táblázatai jelentek meg 10" [28] lépéssel . A bonyolult trigonometrikus számítások szükségessége miatt a 17. század elején felfedezték a logaritmusokat , és John Napier első logaritmikus táblázatai csak a trigonometrikus függvények logaritmusait tartalmazták.

A háromszög tanulmányozása a 17. században is folytatódott: igazolták a Desargues -tételt (1636), felfedezték a Torricelli-pontot (1640) és tanulmányozták tulajdonságait. Giovanni Ceva bebizonyította transzverzális tételét (1678). Leibniz megmutatta, hogyan kell kiszámítani a távolságot a háromszög súlypontja és a többi figyelemre méltó pont között [21] . A 18. században fedezték fel az Euler-vonalat és a hatpontos kört (1765).

A 19. század elején fedezték fel a Gergonne-pontot . 1828- ban bebizonyították Feuerbach tételét . A 19. század végére Emile Lemoine , Henri Brocard , Joseph Neuberg munkái tartoznak ide . A kilenc pontból álló kört Poncelet , Brianchon és Steiner tárta fel , korábban ismeretlen geometriai összefüggéseket és képeket fedeztek fel – például a Brocard-kört , a Steiner- és a Tarry -pontokat . 1860-ban Schlömilch bebizonyított egy tételt: a háromszög oldalainak felezőpontjait a megfelelő magasságok felezőpontjaival összekötő három egyenes egy pontban metszi egymást. 1937-ben S. I. Zetel szovjet matematikus kimutatta, hogy ez a tétel nem csak a magasságra, hanem minden más cevóra is igaz . A fent felsorolt geometriák tanulmányozása a háromszög geometriáját a matematika önálló ágává változtatta [29] .

A 19. század végén és a 20. század elején Frank Morley jelentősen hozzájárult a háromszög geometriájához . Bebizonyította, hogy a háromszögbe írt kardioid középpontjainak helye kilenc egyenesből áll, amelyek hármasban véve párhuzamosak egy egyenlő oldalú háromszög három oldalával. Ezenkívül az a 27 pont, ahol ez a kilenc egyenes metszi egymást, a háromszög két háromszögének metszéspontja, amelyek a háromszög azonos oldalához tartoznak. A leghíresebb ennek a tételnek egy speciális esete: az azonos oldallal szomszédos háromszög szögeinek belső háromszögei páronként metszik egymást egy egyenlő oldalú háromszög három csúcsában. Henri Lebesgue (1940) publikálta e munkák általánosítását, bemutatta a háromszög -szektorait, és általános formában tanulmányozta azok elhelyezkedését [30] . $n$

Az 1830-as évektől a trilineáris pontkoordinátákat széles körben használták a háromszöggeometriában . Az átalakítások elméletét aktívan fejlesztették - projektív , izogonális , izotómikus és mások. Hasznosnak bizonyult az az ötlet, hogy megvizsgáljuk a háromszögek elméletének problémáit az összetett síkon . [29] .

További információk

Ebben a részben minden tény az euklideszi geometriára vonatkozik .

A csúcsot a másik oldalon lévő ponttal összekötő szakaszt ceviana -nak nevezzük . A cevian általában nem egy ilyen szegmensként értendő, hanem a három ilyen szegmens egyikeként, amelyeket egy háromszög három különböző csúcsából rajzolnak ki, és egy pontban metszik egymást . Eleget tesznek a Ceva-tétel feltételeinek . A háromszög csúcsát a másik oldalon lévő pontokkal összekötő, a végeitől adott arányban elhelyezkedő Ceviansokat nediánoknak nevezzük . ${\frac {1}{n}}$
A háromszög középvonala az a szakasz, amely összeköti a háromszög két oldalának felezőpontját. A háromszög három középvonala négy egyenlő háromszögre osztja, amelyek területe 4-szer kisebb, mint az eredeti háromszög területe.
A háromszög oldalaira merőleges felezők (mediatrices) szintén egy pontban metszik egymást, amely egybeesik a körülírt kör középpontjával .
A felezőkhöz képest a mediánokra szimmetrikus egyeneseken fekvő ceveket szimmediánoknak nevezzük . Egy ponton haladnak át - a Lemoine ponton .
Azokat a ceveket , amelyek a mediánok alapjaihoz képest izotómiailag konjugálnak a felezővonalakhoz , antifelezőknek nevezzük . Áthaladnak egy ponton – az antibiszektorok középpontján .
A háromszög gémje egy olyan szakasz, amelynek egyik csúcsa a háromszög egyik oldalának közepén, a második csúcsa a fennmaradó két oldal egyikén van, míg a gém félbevágja a kerületet.

A háromszög egyes pontjai „párosítva” vannak. Például két olyan pont van, ahonnan minden oldal látható vagy 60°-os vagy 120°-os szögben. Ezeket Torricelli pontoknak hívják . Két olyan pont is van, amelyek oldalainak vetületei egy szabályos háromszög csúcsaiban vannak. Ezek Apollóniosz pontjai . A pontokat és hasonlókat Brokar pontoknak nevezik . $P$ $K$ $\angle ABP=\angle BCP=\angle CAP$ $\angle BAP=\angle CBP=\angle ACP$

Néhány csodálatos egyenes háromszög

Bármely háromszögben a súlypont , az ortocentrum , a körülírt kör középpontja és az Euler-kör középpontja ugyanazon az egyenesen fekszik, amelyet Euler-vonalnak neveznek .
Bármely háromszögben a tömegközéppont , a beleírt kör középpontja ( incentre ), a Nagel-pontja és a kiegészítő háromszögbe írt kör középpontja (vagy Spieker -középpont) ugyanazon az egyenesen fekszik, a második Euler-vonalnak (Nagel-vonalnak) nevezik $A'B'C'$
A körülírt kör középpontján és a Lemoine-ponton áthaladó egyenest Brocard tengelyének nevezzük . Apollonius-pontok hevernek rajta .
A Torricelli pontok és a Lemoine pontok is ugyanazon az egyenesen helyezkednek el .
Ha a háromszög körülírt körén veszünk egy pontot, akkor a háromszög oldalain lévő vetületei egy egyenesre fekszenek, amelyet az adott pont Simson-vonalának nevezünk. A körülírt kör átlósan ellentétes pontjaiból álló Simson-vonalak merőlegesek.

Trilineáris háromszög polárisok

Egy pont (pólus) trilineáris polárisa egy nem degenerált háromszöghez képest egy egyenes, amelyet a következő konstrukció határoz meg. Ha folytatjuk egy pont cevian háromszögének oldalait, és a metszéspontjaikat a megfelelő oldalakkal vesszük, akkor a kapott metszéspontok egy egyenesen fognak feküdni, amelyet a kezdőpont trilineáris polárisának nevezünk (az ábra a a vörös pont trilineáris polárisa ). $P$ $EDF$ $Y$
A centroid trilineáris polárisa a végtelenben lévő egyenes - (lásd az ábrát)

A Lemoine- pont trilineáris polárisa a Lemoine- tengely (lásd az ábrát).

Mindhárom alap , illetve három külső felezőszög , valamint a háromszög külső szögei egy egyenesen fekszenek, amelyet a külső felezők tengelyének vagy antiortikus tengelynek neveznek (lásd az ábrát). Ez a tengely egyben a beírt kör középpontjának trilineáris polárisa is ( incenter ). $D$ $E$ $F$ $HIRDETÉS$ $CE$ $BF$ $ABC$ $DEF$

Ortikus tengely - az ortocentrum trilineáris polárisa (lásd az ábrát) $DEF$
A körülírt kúpon elhelyezkedő pontok háromvonalas polárisai egy pontban metszik egymást (a körülírt körnél ez a Lemoine-pont , a körülírt Steiner-ellipszisnél a súlypont ).

Beírt és körülírt ábrák egy háromszöghez

Transzformációk

Az alábbiakban 3 típusú transzformációt ismertetünk: 1) Izogonális konjugáció, 2) Izotómiás konjugáció, 3) Izocirkuláris transzformáció.

Izogonális konjugáció

Ha a csúcsokon átmenő egyenesek és egy olyan ponton, amely nem fekszik az oldalakon, és azok kiterjesztései tükröződnek a megfelelő felezőkhöz képest, akkor ezek képei is metszik egymást egy pontban, amelyet izogonálisan konjugált kezdőpontnak nevezünk (ha a pont a körülírt körön feküdt, akkor a kapott egyenesek párhuzamosak lesznek ).
Számos figyelemre méltó pontpár izogonálisan konjugált :
- A körülírt kör középpontja és az ortocentrum (a magasságok metszéspontja),
- Centroid (a mediánok metszéspontja ) és Lemoine pont (a szimediánok metszéspontja ),
- A Kosnita-tételhez tartozó háromszög kilenc pontjának középpontja és Kosnita-pontja [31] ;
- Két Brocard pont ;
- Apollonius pontok és Torricelli pontok .
A Gergonne-pont és a beírt és körülírt kör negatív homotétiájának középpontja.
Nagel-pont és a beírt és körülírt kör pozitív homotétiájának középpontja ( Verrier-pont ).
Az izogonálisan konjugált pontokból álló szubdermális háromszögek körülírt körei egybeesnek.
A beírt ellipszisek gócai izogonálisan konjugáltak.
Egy izogonális konjugációnak pontosan négy fix pontja van (azaz önmagukhoz konjugált pont): a beírt kör középpontja és a háromszög köreinek középpontja [32] .
Ha egy háromszög bármely belső pontjára három, az oldalaira nézve szimmetrikus pontot szerkesztünk, majd az utolsó háromon kört rajzolunk, akkor a középpontja izogonálisan konjugál a kezdőponthoz [33] .

Háromszögvonalak izogonális konjugációi

Az izogonális ragozás hatására a vonalak körülírt kúpokká , a körülírt kúpok pedig egyenesekké válnak.
Tehát izogonálisan konjugáljuk:
- a Kiepert-hiperbola és a Brocard-tengely ,
- Enzhabek hiperbola és Euler-vonal ,
- a Feuerbach-hiperbola és a beírt és körülírt körök középvonala.
Néhány jól ismert kocka – például a Thomson-kocka – izogonálisan önadjungált abban az értelemben, hogy ha egy háromszögben minden pontjukat izogonálisan konjugáljuk, akkor ismét kockákat kapunk.

Izotómia konjugáció

Ha a szimmetrikus cevian helyett egy olyan cevian -t veszünk , amelynek alapja olyan messze van az oldal közepétől, mint az eredetié, akkor az ilyen cevianok is egy ponton metszik egymást. Az így létrejövő átalakulást izotómikus konjugációnak nevezzük . A vonalakat körülírt kúpokra is leképezi .

A következő pontok izotómiailag konjugáltak :
- Gergonne és Nagel pont ,
- a felezők metszéspontja ( incenter ) és az antifelezők metszéspontja ,
- A háromszög Lemoine -pontja (a szimmediánok metszéspontja) izotómiailag konjugált a Brocard-pontjához ,
- A centroid (a mediánok metszéspontja) izotómiailag konjugált önmagához.

Az affin transzformációk során az izotómiailag konjugált pontok izotómiailag konjugált pontokká alakulnak. Izotómiás konjugáció esetén a leírt Steiner-ellipszis a végtelenben lévő egyenesre megy .

Egy izogonális (vagy izotómikus ) konjugáció és egy trilineáris poláris összetétele

Egy izogonális (vagy izotómikus ) konjugáció és egy trilineáris poláris összetétele kettős transzformáció . Ez azt jelenti, hogy ha a ponthoz izogonálisan ( izotómiailag ) konjugált pont a pont trilineáris polárisán fekszik , akkor a ponthoz izogonálisan ( izotómiailag ) konjugált pont trilineáris polárisa a pont trilineáris polárisán fekszik . $x$ $Y$ $Y$ $x$
A háromszög pontjához izogonálisan konjugált pont trilineáris polárisát a pont középvonalának nevezzük [ 34] [35] . $Y$ $x$ $x$

Isocircularis transzformáció

Ha a háromszög oldalai által a körülírt körből levágott szakaszokba olyan köröket írunk be, amelyek egy bizonyos ponton áthúzott ceviusok tövénél érintik az oldalakat , majd e körök érintkezési pontjai a körülírt körhöz kapcsolódnak. ellentétes csúcsú kört, akkor az ilyen vonalak egy pontban metszik egymást. A sík transzformációját, a kiindulási pontot összehasonlítva a kapott egységgel, izocirkuláris transzformációnak nevezzük [36] . Az izogonális és izotómikus konjugáció összetétele az önmagával való izocirkuláris transzformáció összetétele . Ez a kompozíció egy projektív transzformáció , amely a háromszög oldalait a helyükön hagyja, és a külső felezők tengelyét a végtelenben egyenessé fordítja.

Trigonometrikus azonosságok csak szögekkel

Három pozitív szög , és mindegyik kisebb, mint , akkor és csak akkor szögei egy háromszögnek , ha az alábbi összefüggések bármelyike teljesül: $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $180^{\circ }$

\operátornév {tg} \alpha +\operátornév {tg} \beta +\operátornév {tg} \gamma =\operátornév {tg} \alpha \operátornév {tg} \beta \operátornév {tg} \gamma

( az érintők első azonossága )

Megjegyzés . A fenti összefüggés csak akkor érvényes, ha egyik szög sem 90° (ebben az esetben az érintőfüggvény mindig definiálva van).

\operátornév {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}+\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2 }}\operátornév {tg} {\frac {\gamma }{2}}+\operátornév {tg} {\frac {\gamma }{2}}\operátornév {tg} {\frac {\alpha }{2} }=1

, [37]

( az érintők második azonossága )

\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

( első azonosító a szinuszokhoz )

\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2))+\sin ^{2}{\frac {\ gamma }{2))+2\sin {\frac {\alpha }{2))\sin {\frac {\beta }{2))\sin {\frac {\gamma }{2))=1

, [37]

( második azonosság a szinuszokhoz )

\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =1

, [5]

( azonosító a koszinuszokhoz )

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

( a sugarak arányának azonossága )

Megjegyzés . Ha az érintők második azonosságának mindkét részét elosztjuk a szorzattal , akkor a kotangensek azonosságát kapjuk : $\operátornév {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2} }$

\operátornév {ctg} {\frac {\alpha }{2}}+\operatorname {ctg} {\frac {\beta }{2}}+\operatorname {ctg} {\frac {\gamma }{ 2}}=\operátornév {ctg} {\frac {\alpha }{2}}\operátornév {ctg} {\frac {\beta }{2}}\operátornév {ctg} {\frac {\gamma }{2 }}

formában (de nem tartalomban) nagyon hasonló az érintők első azonosságához .

Különböző arányok

A metrikus arányok egy háromszögben a következők : $\háromszög ABC$

${\frac {a}{b}}={\frac {a_{L}}{b_{L}}}$
$l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}} \over {a+b}}={\sqrt {ab-a_{L}b_{L ))}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$
$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={\frac {1 }{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}$
$h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta ={\frac {2S}{c))$
$d^{2}=R(R-2r)$ - Euler képlet
${\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4S(\operátornév {ctg} \alpha +\operátornév {ctg} \beta +\operátornév {ctg} \gamma )=2R^ {2}(3-(\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma ))$
${\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2} +m_{c}^{2}$ [3] :70.o

Ahol:

$a$ , és a háromszög oldalai, $b$ $c$
$a_{L}$ , azok a szakaszok, amelyekre a felező osztja az oldalt , $b_{L}$ $l_{c}$ $c$
$m_{a}$ , , az oldalakra húzott mediánok , és $m_{b}$ $m_{c}$ $a$ $b$ $c$
$Ha}$ , , az oldalakon lecsökkentett magasságok , és , $h_{b}$ $h_{c}$ $a$ $b$ $c$
$r$ a beírt kör sugara ,
$R$ a körülírt kör sugara ,
$p={\frac {a+b+c}{2))$ - fél kerület ,
$S$ - terület ,
$d$ a beírt és körülírt kör középpontjai közötti távolság.
Minden olyan háromszögnél, amelynek oldalai egyenlőtlenséggel kapcsolódnak egymáshoz, és amelynek területe , a háromszög belsejében lévő középső merőlegesek vagy középértékek hossza a megfelelő oldalra ejtve ( alindexszel jelölve) a következő: [38] : 5. és 6. következmény $a\geqslant b\geqslant c$ $S$

{\displaystyle p_{a}={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

, és .

{\displaystyle p_{b}={\frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

{\displaystyle p_{c}={\frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2))))

A háromszög területének képletei derékszögű koordinátákkal a síkon

Jelölés

$\ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ a háromszög csúcsainak koordinátái.

A háromszög területének általános képlete derékszögű koordinátákkal a síkon

S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_ {C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+ x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{ A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}

Konkrétan, ha az A csúcs az origóban van (0, 0), és a másik két csúcs koordinátái B = ( x B , y B ) és C = ( x C , y C ) , akkor a terület a determináns abszolút értékének 1 ⁄ 2 - eként számítva

T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right| ={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.

A háromszög területének utolsó képletét az angol szakirodalomban a szegekre feszített, törött csipkébe zárt terület képletének nevezik ( cipőfűző formula ), vagy geodéziai képletnek ( geodéziai képlet [39] ), vagy Gauss területnek. képlet.

Egy háromszög térbeli területének kiszámítása vektorok segítségével

Legyenek a háromszög csúcsai a , , pontokban . $\ \mathbf {r} _{A}(x_{A},y_{A},z_{A})$ $\ \mathbf {r} _{B}(x_{B},y_{B},z_{B})$ $\ \mathbf {r} _{C}(x_{C},y_{C},z_{C})$

Vezessük be a területvektort . Ennek a vektornak a hossza megegyezik a háromszög területével, és a háromszög síkjára irányul: $\ \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}[\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A},\mathbf {r} _{C}-\mathbf {r}_{A}]$

\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{B}-x_{A} &y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}\end{ vmatrix}}

Legyen , ahol , , a háromszög vetületei a koordinátasíkra. Ahol $\mathbf {S} =S_{x}\mathbf {i} +S_{y}\mathbf {j} +S_{z}\mathbf {k}$ $S_{x}$ ${\displaystyle S_{y))$ ${\displaystyle S_{z))$

S_{x}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\y_{C}-y_{A} &z_{C}-z_{A}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&y_{A}&z_{A}\\1&y_{B}&z_{B} \\1&y_{C}&z_{C}\end{vmatrix}}

és hasonlóképpen

S_{y}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&1&z_{A}\\x_{B}&1&z_{B}\\x_{C}&1&z_{C}\ end{vmatrix}},\qquad S_{z}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\ \x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}

A háromszög területe . $S={\sqrt {S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2))}$

Egy másik lehetőség az oldalak hosszának kiszámítása ( a Pitagorasz-tétel szerint ), majd a Heron képlet segítségével .

Egy háromszög területének kiszámítása a csúcsok összetett derékszögű koordinátáival

Ha a háromszög csúcsainak összetett derékszögű koordinátáit (a komplex síkon) -val , illetve komplex konjugált pontjaikat -val , illetve -vel jelöljük , akkor a képletet kapjuk: $a=x_{A}+y_{A}i$ $b=x_{B}+y_{B}i$ $c=x_{C}+y_{C}i$ ${\bár {a}}$ ${\bár {b}}$ ${\bar {c}}$

T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c} }&1\end{vmátrix}}

amely ekvivalens a szögekre feszített cipőfűző szaggatott vonalába zárt terület képletével ( cipőfűző képlet ), vagy a geodéziai képletével ( földmérő képlete [39] ), vagy a Gauss terület képletével.

Háromszög nem euklideszi geometriákban

A gömbön

Egy háromszög tulajdonságai , oldalaival és szögeivel , , . $a$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$

Egy (nem degenerált) háromszög szögeinek összege szigorúan nagyobb, mint . $180^{\circ }$

Minden hasonló háromszög egybevágó.

Szinusztétel (a továbbiakban a gömbháromszög oldalát általában nem lineáris mértékkel mérjük, hanem az alapján a középponti szög értékével ):

{\frac {\sin A}{\sin a))={\frac {\sin B}{\sin b))={\frac {\sin C}{\sin c))

Koszinusz tételek:

\cos c=\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c

A Lobacsevszkij-síkon

Egy háromszög oldalai , , és szögei , , . $a$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$

Egy (nem degenerált) háromszög szögeinek összege szigorúan kisebb, mint . $180^{\circ }$

Mint egy gömbön, minden hasonló háromszög egybevágó.

Szinusztétel

{\frac {\sin A}{\operatorname {sh} a}}={\frac {\sin B}{\operatorname {sh} b}}={\frac {\sin C}{\operatorname {sh}c}}

Koszinusz tételek

\operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\operatorname {ch} b-\operatorname {sh} a\operatorname {sh} b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\operátornév {ch} c

A szögösszeg és a háromszög területe közötti kapcsolat

A háromszög szögeinek összege mindhárom esetben (euklideszi sík, gömb, Lobacsevszkij-sík) a Gauss-Bonnet képlet következménye.

\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\sum _{i}\varphi _{i}=2\pi \chi

Háromszög esetén az Euler-karakterisztika . A sarkok a háromszög külső sarkai. A mennyiség értéke (Gauss görbület) az euklideszi geometriára, egy gömbre, a Lobacsevszkij-síkra vonatkozik. $\chi =1$ $\varphi _{i}$ $K$ $K=0$ $K=1$ $K=-1$

Háromszög a Riemann geometriában

Megnevezés

Szimbólum	Unicode	Név
△	U+25B3	fehér felfelé mutató háromszög

Lásd még

További cikkek a háromszög geometriáról a következő kategóriákban találhatók:

Kategória: Háromszög geometria .
Kategória:Az euklideszi geometria tételei
Kategória: Planimetria
Kategória: A planimetria tételei

Jegyzetek

↑ Háromszög // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M . : Szovjet Enciklopédia , 1985. - T. 5.
↑ 1 2 Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 218.
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ 1 2 Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 221.
↑ 1 2 Longuet-Higgins, Michael S., "A háromszög besugárzásának és körkörös sugarának arányáról", Mathematical Gazette 87, 2003. március, 119-120.
↑ Zetel S.I. Új háromszög geometria. Útmutató tanároknak. 2. kiadás. M.: Uchpedgiz, 1962. probléma p. 120-125. 57. bekezdés, 73. o.
↑ Geometria Kiszeljov szerint Archiválva : 2021. március 1. a Wayback Machine -nél , 41. §.
↑ 1 2 3 4 Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 219.
↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1973 .
↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1973 , f. 1,11-4.
↑ Nagydobai Kiss Sa'ndor, "A Feuerbach-fok távoli ingatlana és kiterjesztése", Forum Geometricorum 16, 2016, 283-290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf Archiválva : 2018. október 24. a Wayback Machine -nél
↑ Pathan, Alex és Tony Collyer, "A háromszögek területi tulajdonságai újra megvizsgálva", Mathematical Gazette 89, 2005. november, 495-497.
↑ Mitchell, Douglas W., "A négyszög területe", Mathematical Gazette 93, 2009. július, 306-309.
↑ Baker, Marcus, "Képletgyűjtemény egy sík háromszög területének", Annals of Mathematics , 1. rész, 1(6), 1885. január, 134-138; 2. rész a 2(1) kötetben ), 1885. szeptember, 11-18. Az itt megadott képletek a következők: #9, #39a, #39b, #42 és #49.
↑ Chakerian, GD „A geometria torz nézete.” Ch. 7 a Mathematical Plum -ban (R. Honsberger, szerk.). Washington, DC: Amerikai Matematikai Szövetség, 1979: 147.
↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; és Wulf, Daniel B. "Gém háromszögek és moduli terek", Matematikatanár 101, 2008. május, 656-663.
↑ Posamentier, Alfred S. és Lehmann, Ingmar, The Secrets of Triangles , Prometheus Books, 2012.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometria és algebra az ókori civilizációkban . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 77.
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 94-95.
↑ 1 2 A háromszöggeometria történetéből, 1963 , p. 129.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 40-44.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 51-55.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 92-96.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 111.
↑ Tusi Nasiruddin . Értekezés a teljes négyszögről. Baku, szerk. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A. A matematika története két kötetben. - M . : Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1960. - T. I. - S. 105.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 320.
↑ 1 2 A háromszöggeometria történetéből, 1963 , p. 130-132.
↑ A háromszöggeometria történetéből, 1963 , p. 132-133.
↑ Rigby, John (1997), Rövid megjegyzések néhány elfelejtett geometriai tételhez. Mathematics and Informatics Quarterly, 7. kötet, 156-158. oldal (ahogyan Kimberling idézi).
↑ V. V. Praszolov. Brocard pontok és izogonális ragozás. - M . : MTsNPO, 2000. - (Matematikai oktatás könyvtára). — ISBN 5-900916-49-9 .
↑ Matematika a feladatokban. Anyaggyűjtemény a moszkvai csapat látogató iskoláiból az Összoroszországi Matematikai Olimpiára. Szerkesztette: A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov és A. V. Shapovalov. Moszkva: MTSNMO, 2009.
↑ Kimberling, Clark. Középpontok és középvonalak a háromszög síkjában // Matematikai Magazin : magazin . - 1994. - június ( 67. évf. , 3. sz.). - 163-187 . o . - doi : 10.2307/2690608 .
↑ Kimberling, Clark. Háromszög középpontjai és középső háromszögei . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - 285. o.. Archiválva : 2016. március 10. a Wayback Machine -nél
↑ Myakishev A.G. A háromszöggeometria elemei (sorozat: "Könyvtár" Matematikai oktatás "") M.: MTSNMO, 2002. 14-17.
↑ 1 2 Vardan Verdiyan és Daniel Campos Salas, "Egyszerű trigonometrikus helyettesítések széles körű eredményekkel", Mathematical Reflections 6. szám, 2007.
↑ Mitchell, Douglas W. (2013), "A háromszög oldalainak merőleges felezői", Forum Geometricorum 13, 53-59.
↑ 1 2 Bart Braden. The Surveyor's Area Formula // The College Mathematics Journal :magazin. - 1986. - 1. évf. 17 , sz. 4 . - P. 326-337 . - doi : 10.2307/2686282 . Archiválva az eredetiből 2015. április 6-án.

Irodalom

Hadamard J. Elemi geometria. 1. rész: Planimetria. Szerk. 4., Moszkva: Uchpedgiz, 1957. 608 p.
Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M .: Nauka, 1978.
- Újrakiadás: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 p.
Efremov Dm. Új háromszög geometria . Odessza, 1902.
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Új találkozások a geometriával. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematikai Kör könyvtára).
Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Myakishev A.G. A háromszöggeometria elemei . — M. : MTsNMO, 2002.
Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Sztori

Gaiduk Yu. M., Khovansky AM A háromszög geometriájának történetéből // Fizikai és matematikai tudományok történetének kérdései. - M . : Felsőiskola, 1963. - S. 129-133. — 524 p.
Glazer G.I. A matematika története az iskolában. VII-VIII osztály. Útmutató tanároknak. - M . : Nevelés, 1982. - S. 76-95. — 240 s.
Matematika története, A. P. Juskevics szerkesztette három kötetben, M .: Nauka.
- A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
- A 17. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
- A 18. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Matvievskaya G.P. Esszék a trigonometria történetéről: Az ókori Görögország. Középkori Kelet. Késő középkor. - Szerk. 2. - M. : Librokom, 2012. - 160 p. - (Fizikai-matematikai örökség: matematika (matematika története)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .

Linkek

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Brockhaus és Efron Kis Brockhaus és Efron Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11946969k J9U : 987007548775205171 LCCN : sh85137407 NKC : ph126753

Háromszög
A háromszögek típusai	Négyszögletes Egyenlő szárú Egyenlő oldalú Egyenlőszárú téglalap alakú
Csodálatos vonalak egy háromszögben	Középső Magasság Felezővonal Középmerőleges középső vonal Beírt és körülírt körök Simson egyenes Euler vonal Simediana Cheviana
A háromszög figyelemre méltó pontjai	Orthocenter Centroid Incenter Brocard pont Vecten pont Pont Gergonne Lemoine pont Miquel pont Nagel pont Napóleon rámutat Torricelli pontjai Kilenc pontos kör középpontja Spieker Center Háromszögközpontok enciklopédiája
Alaptételek	háromszög egyenlőtlenség A háromszögek hasonlóságának jelei Háromszögek megoldása Háromszög külső szög tétel Szögösszeg háromszög tétele Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Szinusztétel A vetítési tétel Heron képlete
További tételek	Van Obel tétele Menelaosz tétele Reuschle (Terkema) tétel Stewart tétele Érintőtétel Kotangens tétel Ceva tétele Mollweide képletek
Általánosítások	gömb alakú háromszög hiperbolikus háromszög Simplex

Sokszögek

Az oldalak száma szerint

Monogon
Bigon
Háromszög
Négyszög
Pentagon
Hatszög
Hétszög
Nyolcszög
Pentagon
Tíz szög
Hendecagon
Tizenkét szög
Tizenhárom
tetradecagon
Pentagon
Hatszög
Tizenhét
nyolcszög
Tizenkilencszög
Tizenkét szög
Huszonegyoldalú
Huszonkét szög
Twentytrigon
Húsznégyszögletű
Húsz-ötszög
Húsznyolcszög
Tridecagon
Thirty-Biagon
Negyven négyzet
Negyven kétszög
pünkösdi
pünkösdi
Hatszög
Sixty-quad
Heptagon
Nyolcszög
Nonagon
[ hu
Millagon
Tízezer-gon
Százezredik
Milliogon
végtelenség

Helyes

konvex	Háromszög Négyzet Pentagon Hatszög Hétszög Nyolcszög Pentagon tetradecagon Tizenhét 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
csillagkép	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Lakshmi csillaga ) Enneagram Dekagram Endekagram Dodekagram

háromszögek

Négyszögek

Lásd még