Központi vonal

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A középvonalak néhány speciális vonal , amely egy háromszöghöz kapcsolódik, és a háromszög síkjában fekszik. A vonalakat központi vonalként megkülönböztető speciális tulajdonság a trilineáris koordinátákban lévő egyenes egyenletén keresztül nyilvánul meg . Ez a speciális tulajdonság a háromszög középpontjának fogalmához is kapcsolódik . A központi vonal fogalmát Clark Kimberling vezette be egy 1994-ben megjelent cikkében [1] [2] .

Definíció

Legyen ABC  egy háromszög, és legyen ( x  : y  : z ) egy tetszőleges pont háromvonalas koordinátái az ABC háromszög síkjában . Az ABC háromszög síkjában lévő egyenes lesz az ABC háromszög középvonala, ha az egyenlete trilineáris koordinátákkal

f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0

ahol a háromvonalas koordinátákkal rendelkező pont ( f ( a , b , c ) : g ( a , b , c ) : h ( a , b , c )) az ABC sík háromszög középpontja. [3] [4] [2]

Középvonalak, mint trilineáris polárok

Geometriailag a középvonal és a hozzá tartozó középpont közötti kapcsolat a trilineáris poláris és izogonális konjugáció kifejezéssel fejezhető ki . Legyen X = ( u ( a , b , c ) : v ( a , b , c ) : w ( a , b , c )) a háromszög középpontja. Ekkor az X háromszögközéppont trilineáris polárisának egyenlete [5] [2]

x / u ( a , b , c ) + y / v ( a , b , c ) y + z / w ( a , b , c ) = 0.

Hasonlóképpen , Y = (1/ u ( a , b , c ):1/ v ( a , b , c ):1/ w ( a , b , c )) az X középpontjának izogonális konjugációja .

Így az egyenlettel leírt központi egyenes

f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0,

a középpont izogonális konjugációja alatt álló trilineáris polár ( f ( a , b , c ): g ( a , b , c ): h ( a , b , c )).

Központi vonalak építése

Legyen X az ABC  háromszög tetszőleges középpontja .

• Rajzoljuk meg az AX , BX és CX egyeneseket, és készítsük el reflexióikat a háromszög szögfelezőihez képest az A , B , C csúcsokban .
• A visszavert egyenesek metszik egymást, és metszéspontjuk az X pont Y izogonális konjugációja lesz .
• Az AY , BY , CY cevianok az ABC háromszög szemközti oldalait az A' , B' , C' pontokban metszik. Ekkor az A'B'C' háromszög az Y pont cevian háromszöge .
• Az ABC háromszög és az A'B'C' cevian háromszög perspektivikus, és legyen a DEF egyenes  a két háromszög perspektivikus tengelye. A DEF egyenes az Y pont trilineáris polárisa . A DEF vonal az X  középponthoz tartozó középvonal .

Néhány névleges középvonal

Legyen X n  az n- edik háromszög középpontja Clark Kimberling Triangle Centers Encyclopedia of Triangle Centers című könyvében. Az X n -hez kapcsolódó központi vonalat L -vel jelöljükn. Néhány névleges középvonal az alábbiakban látható.

Az X 1 - hez társított középvonal, azaz a beírt kör középpontja: az anti-orth tengely

Az X 1 = (1 : 1 : 1) (más néven I ) középponthoz tartozó központi egyenest az egyenlet adja meg.

x + y + z = 0.

Ez az egyenes az ABC háromszög antiorth tengelye . [6]

• Az ABC háromszög középpontjához izogonálisan konjugált középpont maga a középpont . Így az antiorth tengely, amely az incenterhez tartozó középvonal, az ABC háromszög perspektivikus tengelye és az ABC háromszög középpontjának cevian háromszöge .
• Az ABC háromszög antiorth tengelye az ABC háromszög perspektivikus tengelye és három kör középpontjaiból álló háromszög (három külső felezőszög háromszöge ) I 1 I 2 I 3 az ABC háromszögben . [7]
• Az a háromszög , amelynek oldalai kívülről érintik az ABC háromszög köreinek három középpontját , az ABC háromszög külső érintőleges háromszöge ( a kiterjesztések háromszöge ) . Az ABC háromszög és külső érintőleges háromszöge perspektivikus, perspektivikus tengelyük pedig az ABC háromszög antiorttengelye .

Az X 2 -hez tartozó középvonal , azaz a súlypont : a Lemoine tengely

Az ABC háromszög X 2 súlypontjának (más néven G ) trilineáris koordinátái (1 / a  : 1 / b  : 1 / c ). Így a súlyponthoz (a súlyponthoz) társított középvonalat trilineáris koordinátákban az egyenlet adja meg.

x / a + y / b + z / c = 0.

Ez az egyenes az ABC háromszög Lemoine tengelye .

• Az X 2 súlyponthoz izogonálisan konjugált pont az X 6 Lemoine -pont (három szimmedáns háromszög metszéspontja) (más néven K ), amelynek trilineáris koordinátái vannak ( a  : b  : c ). Így az ABC háromszög Lemoine tengelye az ABC háromszög szimmediánjai metszéspontjának trilineáris polárisa .
• Az ABC háromszög érintőleges háromszöge a T A T B T C háromszög , amelyet az ABC háromszög körének csúcsaiban lévő érintői alkotnak. Az ABC háromszög és tangenciális háromszöge perspektivikus, perspektivikus tengelyük pedig az ABC háromszög Lemoine tengelye .

Az X 3 -hoz tartozó középvonal, azaz a körülírt kör középpontja: Ortikus tengely

Az ABC háromszög X 3 körülírt körének középpontjának háromvonalas koordinátái a következők ( cos A  : cos B :  cos C ). Így a körülírt kör középpontjához tartozó középvonalat trilineáris koordinátákban az egyenlet adja meg

x cos A + y cos B + z cos C = 0.

Ez az egyenes az ABC háromszög magassági tengelye . [nyolc]

• Az X 6 körülírt kör középpontjának izogonális konjugációja az X 4 ortocentruma ( más néven H ), amelynek háromvonalas koordinátái vannak (sec A  : sec B  : sec C ). Így az ABC háromszög magassági tengelye az ABC háromszög ortocentrumának trilineáris polárisa . Az ABC háromszög magassági tengelye az ABC háromszög és a H A H B H C merőleges háromszögének perspektivikus tengelye .

Az X 4 - hez társított központi vonal , azaz az ortocentrum

Az ABC háromszög X 4 ortocentrumának ((más néven H ) trilineáris koordinátái: (sec A  : sec B  : sec C ). Így a körülírt kör középpontjához tartozó középvonalat a trilineáris koordinátákban a egyenlet

x mp A + y mp B + z mp C = 0.

• A háromszög ortocentrumának izogonális konjugációja a háromszög körülírt körének középpontja. Így az ortocentrumhoz tartozó középvonal a körülírt kör középpontjának trilineáris polárisa.

Az X 5 - höz társított középvonal , azaz a kilenc pontból álló kör középpontja

Az ABC háromszög kilenc pontjából álló X 5 ( N ) kör középpontjának trilineáris koordinátái (cos ( B − C ) : cos ( C − A ) : cos ( A − B )). [9] . Így a trilineáris koordinátákban a kilenc pontból álló kör középpontjához tartozó központi egyenest az egyenlet adja meg

x cos ( B − C ) + y cos ( C − A ) + z cos ( A − B ) = 0.

• Az ABC háromszög kilencpontos kör középpontjának izogonális konjugációja az ABC háromszög Kosnite X 54 pontja . [10] [11] . Így a kilencpontos kör középpontjához tartozó középvonal a Kosnite-pont trilineáris polárisa.
• A Kosnite pont a következőképpen épül fel. Legyen O az ABC  háromszög körülírt körének középpontja . Legyen O A , O B , O C a BOC , COA , AOB háromszögek  körülírt köreinek középpontja . _ _ _ _ _ _ _ A nevéhez fűződik J. Rigby. [12]

Az X 6 - hoz tartozó középvonal , vagyis a szimmediánok metszéspontja: a végtelenben lévő egyenes

Az ABC háromszög három szimmediánja ( Lemoine-pont) metszéspontjának (Lemoine-pont ) X 6 ( K -nak is jelöljük ) háromvonalas koordinátái ( a  : b  : c ). Így a három szimmedián trilineáris koordináták metszéspontjához tartozó központi egyenest az egyenlet adja meg

a x + b y + c z =0.

• Ez az egyenes az ABC háromszög síkjában a végtelenben lévő egyenes .
• Az ABC háromszög szimmediánjának izogonális konjugáltja az ABC háromszög súlypontja . Így a szimmediánok metszéspontjához tartozó központi egyenes a centroid trilineáris polárisa. Ez az ABC háromszög és további háromszögének perspektivikus tengelye (ez egyben a középső háromszög = mediális háromszög).

Néhány más névleges központi vonal

Euler-sor

Az ABC háromszög Euler-vonala az az egyenes, amely átmegy az ABC háromszög súlypontján, ortocentrumán és körülírt körének középpontján . Egyenlete trilineáris koordinátákban a

x sin 2 A sin ( B − C ) + y sin 2 B sin ( C − A ) + z sin 2 C sin ( C − A ) = 0.

Ez az X 647 ponthoz tartozó középvonal .

Brocard tengelye

Az ABC háromszög Brocard tengelye egy egyenes, amely átmegy a háromszög körülírt körének középpontján és az ABC háromszög három szimmediánjának metszéspontján . Egyenlete trilineáris koordinátákban a

x sin ( B  - C ) + y sin ( C  - A ) + z sin ( A  - B ) = 0.

Ez a központi vonal az X 523 központtal van összekötve .

Lásd még

• Trilineáris háromszög polárisok
• Pólus és sarki

Jegyzetek

1. ↑ Kimberling, Clark. Középpontok és középvonalak a háromszög síkjában  // Matematikai Magazin  : magazin  . - 1994. - június ( 67. évf. , 3. sz.). - 163-187 . o . - doi : 10.2307/2690608 .
2. ↑ 1 2 3 Kimberling, Clark. Háromszög középpontjai és középső háromszögei  (neopr.) . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - 285. o.
3. ↑ Weisstein, Eric W. Central Line . A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból . Letöltve: 2012. június 24. (határozatlan)
4. ↑ Kimberling, Clark Glossary: ​​Encyclopedia of Triangle Centers . Letöltve: 2012. június 24. (határozatlan)
5. ↑ Weisstein, Eric W. Trilinear Polar . A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból. . Letöltve: 2012. június 28. (határozatlan)
6. ↑ Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis . A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból. . Letöltve: 2012. június 28. (határozatlan)
7. ↑ Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis . A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból . Letöltve: 2012. június 26. (határozatlan)
8. ↑ Weisstein, Eric W. Orthic Axis . A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból. . (határozatlan)
9. ↑ Weisstein, Eric W. Kilencpontos központ . A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból. . Letöltve: 2012. június 29. (határozatlan)
10. ↑ Weisstein, Eric W. Kosnita Point . A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból . Letöltve: 2012. június 29. (határozatlan)
11. ↑ Darij Grinberg. A Kosnita-ponton és a tükröződési háromszögben  // Forum  Geometricorum : folyóirat. - 2003. - 1. évf. 3 . - 105-111 . o .
12. ↑ J. Rigby. Rövid megjegyzések néhány elfelejtett geometriai tételhez  (neopr.)  // Mathematics & Informatics Quarterly. - 1997. - T. 7 . - S. 156-158 .