Szférikus szinusztétel
A gömbszinusz-tétel megállapítja az arányosságot egy gömbháromszög a , b , c oldalainak szinuszai és a gömbháromszög ezen oldalaival szemközti A , B , C szögek szinuszai között :
A gömbszinusz-tétel a sík- szinusz-tétel analógja, és ez utóbbiba megy át a háromszögek oldalainak a gömb sugarához viszonyított kicsinységi határában.
BizonyítékBizonyítás vetületekkel [1] . Az ábrán egy ABC gömb alakú háromszög látható egy R sugarú gömbön, amelynek középpontja O′ . BP merőleges a b oldalon átmenő nagykör síkjára , BM merőleges az OC -ra , BN merőleges az OA -ra . A három merőleges tétel fordítottja szerint PM az OC -re merőleges , PN pedig az OA -ra merőleges . Vegye figyelembe, hogy a PMB szög egyenlő π - C-vel, ezenkívül BN = R sin c és BM = R sin a. Ezután BN -t és BM -et BP -re vetítve kapjuk:
Hasonlóképpen megkapjuk a második egyenlőséget.
Bizonyítás, amely egy gömb alakú derékszögű háromszög oldalai és szögei között már bizonyított összefüggésekre épül. Dobjuk a merőleges CD = h -t a C csúcsból a c oldalra vagy annak kiterjesztésére. A h -t kétféleképpen fejezzük ki az eredményül kapott ACD és BCD derékszögű háromszögekből :
Innen kapjuk az arányt
amelyhez hasonlóan hozzáadjuk a harmadik oldalszög pár arányát.
Történelem
A gömbháromszögekre vonatkozó szinusztételt számos középkori keleti matematikus fogalmazta meg és bizonyította, akik az i.sz. 10. században éltek. e. - Abu-l- Vafa , al-Khojandi és Ibn Irak . Ez a tétel lehetővé tette számos gömbcsillagászati probléma megoldásának egyszerűsítését, amelyeket korábban a Menelaus-tétel segítségével oldottak meg egy teljes négyszögre .
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ A kiadvány szerint idézve: Stepanov N.N. Szinuszképletek // Szférikus trigonometria . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 29 -32. — 154 p.
Irodalom
- Matvievskaya G.P. Esszék a trigonometria történetéről. Taskent: Fan, 1990.
| Szférikus trigonometria | |
|---|---|
| Alapfogalmak | |
| Képletek és arányszámok | |
| Kapcsolódó témák | |