Féloldalas képlet

A gömbi trigonometriában a féloldali képletet a gömbháromszögek megoldására alkalmazzák .

Féloldali képlet

{\begin{aligned}\tan \left({\frac {a}{2}}\right)&=R\cos(S-\alpha )\\[8pt]\tan \left({\frac {b }{2}}\right)&=R\cos(S-\beta )\\[8pt]\tan \left({\frac {c}{2}}\right)&=R\cos(S- \gamma )\end{igazított}}

ahol

α , β , γ egy gömbháromszög szögei,
a , b , c a szemközti oldalak hossza, illetve az α , β , γ szögek ,

$S={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma )$

a háromszög szögösszegének fele, és

$R={\sqrt {{\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))))$

Érdekes módon R az adott gömbháromszög körülírt kör sugarának érintője [1] :78.83 . A három képlet valójában ugyanaz a képlet, csak a megfelelő szögek és oldalak jelölése módosult.

Képlet levezetése

A koszinusztétel alapján a következőt kapjuk : [1] :75-77 :

\cos a={\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma )).

Ezután a kettős szög képlete szerint (a pozitív gyöket vesszük, mert az oldal kisebb, mint 180 fok):

\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\sin \beta \sin \gamma -\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma }}}.

Az argumentumok hozzáadására szolgáló képlet és a függvények összegének átalakítására szolgáló képlet alkalmazásával a következőt kapjuk:

\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos(\beta +\gamma )-\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma } ))={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.

Hasonlóképpen a fél oldal koszinuszára a következőket kapjuk:

\cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\cos(S-\beta ) \cos(S-\gamma )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.

Ezért

\operatorname {tg} {\frac {a}{2}}={\frac {\sin {\frac {a}{2}}}{\cos {\frac {a}{2}}} }={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))}=\cos(S-\alpha ){\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))}.

Ennek a képletnek a kettősét, vagyis a félszög képletét a szokásos módon megkaphatjuk belőle - úgy, hogy az oldalt 180 fokig a megfelelő szög komplementerével helyettesítjük, a szögeket pedig a megfelelő oldalak komplementereivel felfelé. 180 fokra.

A kettős képlet

A kettős vagy féloldali képletek a félszög képletei [1] :74 :

{\begin{aligned}\operatorname {tg}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sa)))\cdot r\\[ 8pt]\operátornév {tg}\left({\frac {\beta }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sb)))\cdot r\\[8pt]\operátornév {tg}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sc)))\cdot r\end{igazított}}

ahol

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

a háromszög oldalai összegének fele, és

$r={\sqrt {{\frac {\sin(sa)\sin(sb)\sin(sc)}{\sin s))))$

Ráadásul ebben az esetben r lesz a gömbháromszög beírt körének érintője [1] :74 .

A planimetriában egy hasonló képletet kotangens tételként ismerünk .

Alkalmazás

A féloldali képletet egy ferde gömbháromszög háromoldali megoldására használjuk , vagyis amikor minden egyes szögét ki kell számítani az adott oldalakból [1] :102-104 . A félszög képlet pedig egy ferde háromszög háromszögben történő megoldására szolgál, vagyis amikor az adott három szögre minden oldalát ki kell számítani [1] :104-108 . Ha egy gömbháromszögnek van egy egyenes egyik sarka, akkor e képletek helyett egy kényelmesebb mnemonikus Napier-szabályt használnak a megoldásra .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 Stepanov N. N. Szférikus trigonometria. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.

Szférikus trigonometria
Alapfogalmak	gömb alakú háromszög poláris háromszög Felesleg Bigon
Képletek és arányszámok	Koszinusz tételek Szinusztétel Öt elem képlet Féloldalas képlet Napier emlékező szabálya Gömb alakú Pitagorasz-tétel Delambre képletek Napier-féle analógia képletek Legendre tétele Háromszögek megoldása
Kapcsolódó témák	Gömbös koordinátarendszer gömbgeometria háromszögű