A gömb alakú Pitagorasz -tétel egy olyan tétel, amely megállapítja a kapcsolatot egy derékszögű gömbháromszög oldalai között .
A gömb alakú Pitagorasz-tételt a következőképpen fogalmazzuk meg [1] :
Egy derékszögű gömbháromszög befogójának koszinusza egyenlő a lábai koszinuszainak szorzatával.
A bizonyítást háromszög [1] OA 1 B 1 C 1 OA 1 , OB 1 , OC 1 oldalakkal (sugarak) és az O pontban lévő csúcsokkal, A 1 OC 1 és C 1 síkszögekkel végezzük. amelynek OB 1 egyenlő ennek a háromszögnek a b és a száraival, az A 1 OB 1 síkszög egyenlő a c befogójával, az A 1 OC 1 és C 1 OB 1 lapok közötti diéderszög 90 fok, és a másik két kétszög egyenlő a gömb alakú derékszögű háromszög megfelelő szögeivel. Ezt a háromszöget az OB 1 sugárra merőleges A 1 B 1 C 1 sík metszi . Ekkor az A 1 C 1 O és A 1 C 1 B 1 szögek megfelelőek lesznek.
vegye észre, az
Innen
Q.E.D.
Ha feltételezzük, hogy a szférikus koszinusztétel már bizonyítva van, akkor a gömbi Pitagorasz-tétel képlete azonnal megkapható belőle, ha felírjuk egy adott derékszögű gömbháromszög hipotenuzusára a gömbkoszinusz tételt, és egyszerűen behelyettesítjük a kapott kifejezésben. 90 fokos szög, melynek koszinusza nulla.
Mivel a gömb sugara a végtelenbe hajlik, a gömb alakú Pitagorasz- tétel a planimetria Pitagorasz-tételévé válik . Ezért, mivel a Föld sugara nagy, kis távolságokon a Föld felszínén lévő derékszögű háromszögek (például távolságok és szögek mérésére a talajon) gyakorlatilag engedelmeskednek a planimetria Pitagorasz-tételének [2] , míg a Föld sugarával összemérhető nagy távolságok esetén már szükséges a gömbi Pitagorasz-tétel alkalmazása.
A gömb alakú Pitagorasz-tétel segítségével képleteket kaphatunk a földfelszíni pontok közötti hosszúságok és távolságok különbségére, és ennek megfelelően az égi gömb pontjainak távolságaira és koordinátáira .
A gömb alakú Pitagorasz-tételből az következik, hogy egy derékszögű gömbháromszögben a 90 foknál kisebb oldalak száma páratlan, a nagyoké pedig páros [1] . Ezért, ha egy derékszögű gömbháromszög mindkét lába 90 foknál nagyobb, akkor a befogója kisebb, mint 90 fok, vagyis ebben az esetben a befogó rövidebb, mint a két láb mindegyikénél - ez lehetetlen helyzet síkon lévő derékszögű háromszögre.
A szférikus Pitagorasz-tételt Al-Biruni is ismerte , aki ugyanakkor nem ismerte a gömbi koszinusz tételt, ezért a gömbi Pitagorasz-tételt és a szinusztételt legalább két probléma megoldására alkalmazta: két hosszúság különbségének meghatározására. pontok a Föld felszínén a szélességi és a köztük lévő távolság alapján, valamint meghatározva a Föld felszínén lévő két pont távolságát azok szélességi és hosszúsági fokai alapján [3] :81 .
Szférikus trigonometria | |
---|---|
Alapfogalmak | |
Képletek és arányszámok | |
Kapcsolódó témák |