Három merőleges tétel

A három merőleges tétel a sztereometria alaptétele . [egy]

Megfogalmazás

Egy ferde alaplapon átmenő síkban húzott egyenes , amely merőleges az erre a síkra való vetületére, magára a ferde egyenesre is merőleges.

Bizonyítás

Legyen egy merőleges a síkra , legyen egy ferde vonal, és egy egyenes vonal a síkban , amely áthalad a ponton , és merőleges a vetületre . Rajzolj a vonallal párhuzamos vonalat . Az egyenes merőleges a síkra (mivel párhuzamos ), ezért ennek a síknak bármely egyenese merőleges a . Rajzoljunk át párhuzamos egyeneseken és egy síkon (a párhuzamos egyenesek síkot határoznak meg, és csak egyet). Az egyenes merőleges a síkban elhelyezkedő két metsző egyenesre , ez feltétel és konstrukció alapján van így, ami azt jelenti, hogy merőleges az ehhez a síkhoz tartozó bármely egyenesre, ami azt jelenti, hogy merőleges a . $AB$ $\alpha$ $AC$ $c$ $\alpha$ $C$ $időszámításunk előtt$ $CK$ $AB$ $CK$ $\alpha$ $AB$ $CK$ $c$ $AB$ $CK$ $\beta$ $c$ $\beta$ $időszámításunk előtt$ $CK$ $AC$

Tétel fordítottja a tételnek három merőlegesen

Ha egy ferde vonal alapján átmenő síkban húzott egyenes merőleges magára a ferde egyenesre, akkor merőleges a vetületére is.

Bizonyítás

Legyen AB az α síkra merőleges , AC a ferde, c pedig az α síkban lévő egyenes, amely átmegy a C ferde sík alapján. Rajzolj egy SK egyenest párhuzamosan az AB egyenessel . Az SC egyenes merőleges az α síkra (a tétel szerint, mivel párhuzamos az AB -vel ), tehát ennek a síknak bármely egyenesére, ezért az SC merőleges a c egyenesre . Rajzoljunk egy β síkot az AB és SC párhuzamos egyeneseken keresztül (a párhuzamos egyenesek síkot határoznak meg, és csak egy). A c egyenes merőleges a β síkban fekvő két egyenesre , ez feltétel szerint AC és SC , ami azt jelenti, hogy merőleges bármely ehhez a síkhoz tartozó egyenesre, ami azt jelenti, hogy merőleges a BC egyenesre is . Más szóval, a BC vetület merőleges az α síkban fekvő c egyenesre .

Használati példa

Bizonyítsuk be, hogy a tér bármely pontján keresztül lehetséges rá merőleges egyenest húzni.

Megoldás

Megoldás: Legyen a egy egyenes, A pedig egy pont rajta. Vegyünk egy tetszőleges X pontot az a egyenesen kívül , és húzzuk át ezen a ponton és az a egyenesen az α síkot . Az A ponton átmenő α síkban húzhatunk egy b egyenest , amely merőleges a -re .

Jegyzetek

↑ Lásd például a Kiszeljov szerinti geometriát. Archiválva : 2021. március 1., a Wayback Machine , §302 .

Linkek

Referencia feladatok