Theodore spirálja

A Theodori-spirál (a szögspirál négyzetgyökének , Einstein -spirálnak vagy Pitagorasz-spirálnak is nevezik ) [1]  az arkhimédeszi spirál közelítése , amely szomszédos, egymással szomszédos derékszögű háromszögekből áll. Nevét Cirénéi Theodorról kapta, egy ókori görög tudósról, aki Platón tanítójaként ismert , aki az ie 5. században élt Líbiában.

Építkezés

A spirál egy egyenlő szárú derékszögű háromszöggel kezdődik, amelynek minden szárának egységnyi a hossza. Ezután egy másik derékszögű háromszöget adunk hozzá, amelynek szára az előző háromszög befogója ( √2 ) , a másik szár pedig 1 hosszúságú; a második háromszög befogójának hossza √ 3 . A folyamatot ezután megismételjük; A sorozat n-edik háromszöge egy derékszögű háromszög, amelynek szárai √ n és 1, és hipotenúza √ n + 1 . Például a 16. háromszög oldalai 4-es (= √ 16 ), 1-es méretűek, és befogója √ 17 .

Előzmények és használat

Bár Theodore összes műve elveszett, Platón megemlítette Theodore-t a Theaetetus című párbeszédében , amely az ő munkáját meséli el. Konkrétan azt mondja, hogy Theodore bebizonyította, hogy a 3-tól 17-ig tartó nem négyzetgyökök minden négyzetgyöke irracionális szám (Platón nem tulajdonítja Theodore-nak azt a bizonyítékot, hogy a 2 négyzetgyöke irracionális , mert ez jól ismert volt előtte) . Ezt követően az athéni Theaetetus a racionális négyzeteket előállító szegmenseket két kategóriába sorolta: az egységgel arányos és irracionális [2] [3] .

Különféle hipotézisek léteznek arról, hogy Theodore hogyan bizonyította ezt, és miért telepedett le a √17 -re . Az egyik hipotézis, amely Anderhub német matematikus tulajdonában van, az, hogy ezt Theodore spiráljának segítségével tette [4] . Ebben a spirálban a √ 17 hipotenusz az utolsó háromszöghöz tartozik, amely nem fedi át a spirál által alkotott alakzatot, ami megmagyarázza, hogy Theodore miért érte el a √ 17 -et [5] . Ennek a ténynek azonban nem ez az egyetlen lehetséges magyarázata [3] .

A spirál folytatása

1958-ban Erich Teuffel bebizonyította, hogy a hélixet alkotó háromszögeknek nincs két hipoténusza ugyanazon a sugáron. Továbbá, ha az egységnyi hosszúságú oldalakat egyenesre terjesztjük, soha nem fognak átmenni a spirál többi csúcsán sem [6] [7] .

Növekedési ütem

Szög

Ha az n- edik háromszög (vagy spirálszakasz) szöge, akkor:

Így az n- edik háromszöget követő szög növekedése: [1]

Az első "k" háromszög szögeinek összegét a k- adik háromszög közös szögével jelöljük, amely a k négyzetgyökével arányosan nő , mivel egy c 2 korrekciós taggal rendelkező korlátos függvény : [1]

ahol

Sugár

A spirál sugarának növekedése valamely n számú háromszög esetén egyenlő

Arkhimédeszi spirál

A Theodoriusi spirál megközelíti az arkhimédeszi spirált . [1] . Mivel az arkhimédeszi spirál két menete közötti távolság egyenlő a pi = 3,14 ... állandóval, így amikor a Theodore-spirál fordulatszáma a végtelenbe hajlik, a távolság két egymást követő fordulat között gyorsan megközelíti a π-t. [8] Az alábbiakban egy táblázat látható, amely a spirál fordulatainak pi-hez való közelítését mutatja:


Tekercsszám: A kanyarok közötti becsült átlagos távolság Átlagos tekercselési távolság pontossága π-hez képest
2 3,1592037 99,44255%
3 3,1443455 99,91245%
négy 3.14428 99,91453%
5 3,142395 99,97447%
Egy függvény határértéke n → ∞ → p → 100%

Amint látható, már a csavarvonal ötödik fordulata után a távolság 99,97%-os pontossággal a π pontos közelítése.

Az összetett síkban

A komplex síkban a spirál csúcsai a következő egyszerű ismétlődési összefüggéssel adhatók meg :

, for

hol  van a képzeletbeli egység [9] .

Folyamatos görbe

A sima görbe Theodore-spiráljának diszkrét pontjainak interpolációjának problémáját ( Davis 2001 , 37-38. oldal) javasolta és oldotta meg a gamma-függvény Euler-képletével a faktoriális közelítéseként , Philip Davis megtalálta a függvényt

amelyet később tanítványa, Geoffrey Lieder [10] és Arie Iserles tanulmányozott (( Davis 2001 ) melléklete). Ennek a függvénynek axiomatikus jellemzését adja meg ( Gronau 2004 ), mint az egyetlen függvényt, amely kielégíti a funkcionális egyenletet.

a kezdeti feltétellel , és mind argumentumban , mind moduloban monoton . Ott is kutatnak alternatív körülményeket és kikapcsolódásokat. Egy alternatív bizonyítást adnak meg ( Heuvers, Moak és Boursaw 2000 ). A folytonos Davis-függvény analitikus folytatását az origóval ellentétes irányban húzódó Theodori-spirálra adjuk meg ( Waldvogel 2009 ).

Az ábrán az eredeti (diszkrét) Theodore spirál csomópontjait kis zöld körök jelölik. Kék körök azok, amelyek a folytatás során a negatív (a paraméter értéke szerint a poláris sugár is egyben) ághoz kerültek. Csak a poláris sugarú egész értékű csomópontok vannak számozva, a narancssárga pontozott kör a spirál origójának görbületi köre .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 3 4 Hahn, Harry K., A természetes számok rendezett eloszlása ​​a négyzetgyöki spirálon, arΧiv : 0712.2184 .  
  2. ↑ Platón és Dyde, Samuel Walters (1899), Theaetetus of Platón , J. Maclehose, p. 86–87. , < https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC&printsec=titlepage >  
  3. ↑ 1 2 Van der Waerden. Az ébredő tudomány. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája . - M. : Nauka, 1959. - S. 199. - 456 p. Archivált : 2009. március 27. a Wayback Machine -nél
  4. ↑ Theodorus spirálja és a Zéta-értékek összege a fél egész számoknál  //  The American Mathematical Monthly. - 2012. - Kt. 119 , iss. 9 . - 779. o . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.119.09.779 . Archiválva az eredetiből 2019. április 27-én.
  5. ↑ Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of √ −1 , Princeton University Press, p. 33, ISBN 0-691-02795-1 , < https://books.google.com/books?id=WvcfqBgZDWQC&printsec=frontcover >  
  6. ↑ Long, Kate A lecke a gyökérspirálról . Letöltve: 2008. április 30. Az eredetiből archiválva : 2013. április 4..
  7. ↑ Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Félév. 6 (1958), pp. 148-152.
  8. ↑ Hahn, Harry K. (2008), A 2, 3, 5, 7, 11, 13 és 17-tel osztható természetes számok eloszlása ​​a négyzetgyök spirálon, arΧiv : 0801.4422 .  
  9. ↑ Gronau, 2004 .
  10. ↑ Vezető, JJ The Generalized Theodorus Iteration (disszertáció), 1990, Brown University

Irodalom