Spirál

Az Encyclopedia of Mathematics szerint a spirálok sík görbék, amelyek "általában egy (vagy több pontot) megkerülnek, megközelítik vagy távolodnak tőle". A fogalom ezen értelmezése nem szigorúan formalizált definíció. Ha valamelyik jól ismert görbe nevében szerepel a "spirál" jelző, akkor ezt történelmi névként kell kezelni.

A szigorú definíció egyik lehetősége a görbe poláris egyenletének monotonitását feltételezve nem univerzális: egy másik pólus kiválasztásával megtörhető a meglévő monotonitás, és csak emiatt a görbe „megszűnik spirál lenni” , annak ellenére, hogy maga nem változott. A Cotes monoton poláris egyenletű, míg a két pólusú, ezért nem írható le teljesen poláris koordinátákkal.

A görbület monotonitásán alapuló definíciók

A spirál formális, a görbület monotonitásán alapuló definícióját a [1] monográfia (3-3. fejezet, Spirálívek ) veszi át. Ez megköveteli a görbület folytonosságát a görbe ívhosszának függvényében , és csak a konvex görbéket veszik figyelembe [2] . A spirál ebben az értelemben egy ellipszis negyede (két szomszédos csúcs között). Az ilyen görbék iránti érdeklődés nagyrészt az ovális négypontos tételnek köszönhető, amely kimondja (a tárgyalt definíció szempontjából), hogy egy egyszerű zárt görbe folyamatos görbülettel legalább négy spirálívből áll.

Ezeket a meghatározásokat a konvexitás, a szigorú/nem szigorú monotonitás, a görbület folytonossága és állandósága, valamint a görbe teljes elforgatásának korlátozásaival kapcsolatos pontosításokkal használják a számítógéppel segített tervezés területén . A fő alkalmazások a nagysebességű utak építéséhez kapcsolódnak, különösen az átmeneti ívek építéséhez , amelyek fokozatos változást biztosítanak a görbületben az út mentén.

A cikkben egy általánosabb definíciót fogadunk el, amely nem követeli meg a görbület állandó előjelét és folytonosságát, csak annak monotonságát . Ennek a definíciónak a keretein belül a görbe lineáris-frakcionált leképezésekor invariáns, hogy egy görbe spirál legyen .

Lásd még

• Vogt tétele
• Biduga

Lapos spirálok

A kör a spirál degenerált speciális esetének tekinthető (a görbület nem szigorúan monoton, hanem állandó ).

A 2D spirálok legfontosabb típusai a következők:

• Arkhimédeszi spirál : ;
• Theodoriusi spirál : az arkhimédeszi spirál közelítése, amely szomszédos derékszögű háromszögekből áll
• Spirálfarm : ; van egy csúcsa a következő helyen: .
• Hiperbolikus spirál : ;
• Rúd :
• Logaritmikus spirál , amelynek hozzávetőleges formája megtalálható a természetben: ;
• A Fibonacci spirál és az aranyspirál , amely a logaritmikus spirál speciális esete
• Cornu spirál vagy Euler spirál , vagy clothoid :.

• Arkhimédeszi spirál

• Spirál Cornu

• Spirálfarm

• hiperbolikus spirál

• Görbe pálca (lituus)

• logaritmikus spirál

• Theodore spirálja

• Fibonacci spirál (arany spirál)

• Az evolúciós kör (fekete) nem egyezik az arkhimédeszi spirállal (piros).

3D spirálok

Akárcsak a kétdimenziós esetben , r θ folytonos monoton  függvénye .

Egyszerű háromdimenziós spirálok esetén a harmadik h változó  is θ folytonos monoton függvénye . Például egy kúpos spirál definiálható egy kúpos felületen lévő spirálként, amelynek a csúcstól való távolsága θ exponenciális függvénye .

Összetett háromdimenziós spiráloknál, például gömbspirálnál , h a pont egyik oldalán θ - val növekszik, a másikon pedig csökken.

Gömb alakú spirál

A gömb alakú spirál ( loxodrom ) egy görbe egy gömbön, amely az összes meridiánt egy szögben (nem jobbra ) metszi. Ennek a görbének végtelen számú fordulata van. A köztük lévő távolság csökken, ahogy közeledik a pólusokhoz.

Spirális testek

• Egy haslábú héja
• eukarióta citoszkeleton
• Spirál a mechanikus óra mérlegében, spirálrugó a mérőóra elektromos mérőszerkezetében
• Spirális főrugó mechanikus órákban és óraszerkezetes játékokban
• Ciklon , anticiklon
• spirálgalaxisok
• A kollagén  egy jobbkezes fibrilláris fehérje .
• Tekercs
• DNS
• A magvak elterjedése a napraforgóban és a Compositae család más növényeiben
• Örvény
• Forgószél
• Pusztulásnak indult
• medence
• örvény
• Ammoniták (fejlábúak)
• Szarvak
• Romanesco (káposzta)

Lásd még

• Helicoid
• szinuszos spirál

Jegyzetek

1. ↑ Guggenheimer HW Differenciálgeometria.. - New York: Dover Publications, 1977. - P. 48. - ISBN 0-486-63433-7 .
2. ↑ ... azaz olyan, hogy az ív és húrja konvex alakot alkot .
3. ↑ Kurnosenko A.I. Síkspirálgörbék általános tulajdonságai // Tudományos szemináriumok jegyzetei POMI: 353. kötet - 2009. - 93-115 . o . — ISSN 0373-2703 .

Irodalom

• Cook, T., 1903. Spirálok a természetben és a művészetben . Nature 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. Az élet görbéi . Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spirális átmeneti görbék és alkalmazásaik . Scientiae Mathematicae Japonicae 61(2), 195-206.
• Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Tisztességes köbös átmenet két olyan kör között, ahol az egyik kör belül van, vagy érinti a másikat . Numerical Algorithms 51, 461-476 [1]  (hivatkozás nem érhető el) .
• Harary, G., Tal, A., 2011. A természetes 3D spirál . Computer Graphics Forum 30(2), 237-246 [2] .
• Xu, L., Mold, D., 2009. Mágneses görbék: görbülettel vezérelt esztétikai görbék mágneses mezők segítségével . In: Deussen, O., Hall, P. (szerk.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. Az Eurographs Association [3] .
• Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Tisztességes görbék tervezése monoton görbületi darabok segítségével . Computer Aided Geometric Design 21(5), 515-527 [4] .
• A. Kurnosenko. Inverzió alkalmazása síkbeli, racionális spirálok létrehozására, amelyek kielégítik a kétpontos G2 Hermite adatokat . Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010 [5] .
• A. Kurnosenko. Kétpontos G2 Hermite interpoláció spirálokkal a hiperbola inverziójával . Számítógéppel segített geometriai tervezés, 27(6), 474-481, 2010.
• Miura, KT, 2006. Az esztétikai görbék és önaffinitásának általános egyenlete . Számítógéppel segített tervezés és alkalmazások 3 (1-4), 457-464 [6] .
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Esztétikai görbék általános képletének származtatása . In: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japán, pp. 166-171 [7] .
• Meek, D., Walton, D., 1989. Cornu spirálok használata szabályozott görbületű síkbeli görbék rajzolásához . Journal of Computational and Applied Mathematics 25(1), 69-78 [8] .
• Farin, G., 2006. A osztályú Bézier-görbék . Computer Aided Geometric Design 23(7), 573-581 [9] .
• Farouki, RT, 1997. A monoton görbület pitagorasz-hodográfos kvintikus átmeneti görbéi . Számítógéppel segített tervezés 29(9), 601-606.
• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interaktív esztétikai görbeszegmensek . The Visual Computer 22(9), 896-905 [10] .
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Kvázi-esztétikai görbék racionális köbös Bézier-formákban . Számítógéppel segített tervezés és alkalmazások 4 (9-10), 477-486 [11] .
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. A log-esztétikai görbék analitikus parametrikus egyenletei hiányos gamma-függvények szempontjából . Computer Aided Geometric Design 29(2), 129-140 [12] .
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Két egyenes vonalat összekötő G2 multispirális átmeneti görbe illesztése , Computer-Aided Design 44(6), 591-596 [13] .
• Ziatdinov, R., 2012. Teljesen monoton görbületű szuperspirálcsalád a Gauss-hipergeometriai függvény alapján . Computer Aided Geometric Design 29(7): 510-518, 2012 [14] .
• Ziatdinov, R., Miura KT, 2012. A síkspirálok sokféleségéről és alkalmazásaikról a számítógépes tervezésben . European Researcher 27(8-2), 1227-1232 [15] .