Kúp

A kúp (a német Konus és latin cōnus révén , a másik görög κώνος [1] - „fenyőtoboz” [2] ) egy olyan felület , amelyet a térben egy bizonyos sík görbe minden pontját összekötő (kúpot képező) sugarak halmaza alkot. ( a kúp megvezetése) adott térponttal (a kúp csúcsával) [3] .

Ha a kúp vezetője egy zárt görbe, akkor a kúpos felület egy térbeli test határaként szolgál , amelyet "kúpnak" is neveznek (lásd az ábrát), és ennek a görbének a belsejét a "kúp alapjának" nevezik. kúp", ha a kúp alapja sokszög , akkor az ilyen kúp piramis .

Néha a sugarak helyett egyenes vonalakat veszünk figyelembe, majd kettős kúpot kapunk, amely két, a tetejére szimmetrikus részből áll.

A kúp és a kapcsolódó kúpszelvények nagy szerepet játszanak a matematikában, a csillagászatban és más tudományokban.

Kapcsolódó definíciók

A kúp oldalfelülete a kúp generátorainak egyesülése; a kúp generatrixa kúpos felület .
A kúp magassága a tetejétől az alap síkjára merőlegesen leejtett szakasz (valamint egy ilyen szakasz hossza).
A kúp nyitási szöge két ellentétes generatrix közötti szög (a szög a kúp tetején, a kúp belsejében).
Kúp - a kúp alapjának magasságának és átmérőjének aránya.

A kúpok típusai

Egyenes körkúp
Egyenes és ferde körkúpok egyenlő alappal és magassággal: térfogatuk azonos
Csonka jobb oldali körkúp

A derékszögű kúp olyan kúp, amelynek alapja szimmetriaközépponttal rendelkezik (például kör vagy ellipszis ), és a kúp csúcsának az alapsíkra merőleges vetülete egybeesik ezzel a középponttal; míg az alap tetejét és középpontját összekötő egyenest a kúp tengelyének nevezzük .
Ferde (vagy ferde ) kúp - olyan kúp, amelyben a csúcs ortogonális vetülete az alapra nem esik egybe a szimmetriaközéppontjával.
A körkúp olyan kúp, amelynek alapja kör.
Forgáskúp , vagy egy derékszögű körkúp (gyakran pontosan ezt kúpként értik ) - olyan kúp, amelyet egy derékszögű háromszög forgatásával (vagyis egy forgástesttel) kaphatunk a háromszög szárát tartalmazó egyenes körül. (ez a vonal a kúp tengelye).
Az ellipszisre , parabolára vagy hiperbolára épülő kúpot rendre elliptikus , parabola és hiperbolikus kúpnak nevezzük : az utolsó kettőnek végtelen térfogata van.
A csonka kúp vagy kúpos réteg a kúp egy része, amely az alap és az alappal párhuzamos sík között helyezkedik el, és a teteje és az alapja között helyezkedik el.
Az egyenlő oldalú kúp egy forgáskúp, amelynek generatrixa megegyezik az alap átmérőjével [4] .

Tulajdonságok

Ha az alap területe véges, akkor a kúp térfogata is véges, és egyenlő az alap magasságának és területének szorzatának egyharmadával.

V={1\több mint 3}SH,

ahol S az alapterület, H a magasság. Így minden kúp egy adott (véges területű) bázison, és amelynek csúcsa egy adott, az alappal párhuzamos síkon helyezkedik el, azonos térfogatú, mivel magasságuk egyenlő.

Bármely véges térfogatú kúp súlypontja az alaptól mért magasság negyedében van.
A derékszögű körkúp csúcsánál lévő térszög egyenlő

2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),

ahol α a kúp nyitási szöge.

Egy jobb oldali körkúp oldalfelülete egyenlő

S=\pi Rt,

de általában

S={\frac {tl}{2)),

ahol R az alap sugara, a generatrix hossza, az alaphatár hossza.

{\displaystyle t={\sqrt {R^{2}+H^{2))))

l

A teljes felület (azaz az oldalfelület és az alap területeinek összege) egyenlő

S=\pi R(t+R),

jobb oldali körkúphoz és

S={\frac {tl}{2}}+S_{\text{oc)),

tetszőleges, hol az alap területe.

S_{\text{oc))

Egy kör alakú (nem feltétlenül egyenes) kúp térfogata egyenlő

V={1 \fölött 3}\pi R^{2}H.

Csonka körkúp esetén (nem feltétlenül egyenes) a térfogat:

V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),

ahol és az alsó és felső alap sugara, az alsó alap síkjától a felső alapig mért magasság.

R

r

H

Egy tetszőleges csonka kúp esetén (nem feltétlenül egyenes és kör alakú) a térfogat:

V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),

ahol és a felső (legközelebbi) és alsó alapterületek, illetve a felső, illetve az alsó alap síkjától a csúcsig mért távolságok.

S_{1}

S_{2}

H_1

H_2

Egy sík metszéspontja egy jobb körkúppal a kúpszelvények egyike (nem degenerált esetekben ellipszis , parabola vagy hiperbola , a vágási sík helyzetétől függően).

Jobb oldali körkúp egyenlet

Egyenletek, amelyek egy 2Θ nyitási szögű derékszögű körkúp oldalfelületét határozzák meg , egy csúcspont a koordináták origójában és egy tengely, amely egybeesik az Oz tengellyel :

Gömb alakú koordinátarendszerben ( r , φ, θ) koordinátákkal :

\theta =\Theta .

Hengeres koordinátarendszerben ( r , φ, z ) koordinátákkal :

z=r\cdot \operátornév {ctg}\Theta

vagy

r=z\cdot \operátornév {tg}\Theta .

Egy derékszögű koordinátarendszerben ( x , y , z ) koordinátákkal :

z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operátornév {ctg}\Theta .

Ez az egyenlet kanonikus formában így van írva

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

ahol az a , c állandókat az arány határozza meg Ez azt mutatja, hogy egy jobb oldali körkúp oldalfelülete másodrendű felület (ezt kúpos felületnek nevezzük ). Általában egy másodrendű kúpos felület egy ellipszisre támaszkodik; megfelelő derékszögű koordinátarendszerben ( az Ox és Oy tengelyek párhuzamosak az ellipszis tengelyeivel, a kúp csúcsa egybeesik az origóval, az ellipszis középpontja az Oz tengelyen van) egyenlete a következő

c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

sőt , a/c és b/c egyenlő az ellipszis féltengelyeivel. A legáltalánosabb esetben, amikor a kúp tetszőleges sík felületen nyugszik, kimutatható, hogy a kúp oldalfelületének (a csúcsponttal az origóban) egyenletét az az egyenlet adja, ahol a függvény homogén , teljesíti bármely α valós szám feltételét .

f(x,y,z)=0,

f(x,y,z)

f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)

Fejlesztés

A derékszögű körkúpot, mint forgástestet, az egyik láb körül forgó derékszögű háromszög alkotja, ahol h - a kúp magassága az alap közepétől a csúcsig - a derékszögű háromszög azon szára, amely körül a forgás történik. Az r derékszögű háromszög második szára a kúp alapjának sugara. A derékszögű háromszög befogója l , a kúp generatrixa.

Csak két r és l érték használható a kúpos sweep létrehozásához . Az r alapsugár határozza meg a pásztázásban a kúp alapjának körét, a kúp oldalfelületének szektora pedig az l oldalfelület generatrixát , amely az oldalfelületi szektor sugara. A szektorszöget a kúp oldalfelületének kialakulásában a következő képlet határozza meg: $\varphi$

φ = 360°·( r / l ) .

Változatok és általánosítások

Az algebrai geometriában a kúp egy mező feletti vektortér tetszőleges részhalmaza, amelyre bármely $K$ $V$ $F$ $\lambda \in F$ $\lambda K=K.$
A topológiában az X topológiai tér feletti kúp az ekvivalenciareláció szerint hányadostér $X\szer [0,\infty )$ $(x,0)\sim (y,0).$
A lineáris algebrában létezik a konvex kúp fogalma .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Max Fasmer orosz nyelv etimológiai szótára
↑ "I κῶνος"
↑ Matematikai enciklopédikus szótár, 1988 , p. 288.
↑ Matematikai kézikönyv . Letöltve: 2020. május 22. Az eredetiből archiválva : 2020. december 2. (határozatlan)

Irodalom

Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - 2. kiadás — M .: Nauka, 1970. — 720 p.
Kúp // Matematikai enciklopédikus szótár . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1988. - S. 288 . — 847 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz Brockhaus és Efron Kis Brockhaus és Efron V. Dahl
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph973161