Loxodrom

Loxodrom , vagy loxodrom [1] ( más görög "λοξός" - "ferde", "ferde" és "δρόμος" - "út" [2] ) - görbe a forgás felületén, amely állandó szögben metszi az összes meridiánt , az úgynevezett loxodrom nyomszög.

Történelem

Nonius portugál matematikus vezette be 1529 -ben [3] .

A " Tiphys batavus " (1624) című művében Willebrord Snell holland matematikus az összes meridiánt állandó szögben metsző görbét "loxodromnak" nevezte, és tanulmányozta. A munka két részből állt - elméleti és gyakorlati gyakorlatokból, ajánlásokkal [4] .

A geodéziában és a térképészetben

A Föld felszínén a loxodromok mind párhuzamosak (nyomszög lehet 90°, 270° stb.) és minden meridián (pályaszög 0°, 180° stb.). A más szögben lévő loxodromok spirálok, amelyek korlátlan számú fordulatot hajtanak végre, és megközelítik a pólusokat . Mindazonáltal, ha az utazó bármely loxodrom mentén (a párhuzamosok kivételével) állandó sebességgel, megállás nélkül halad, akkor véges időn belül biztosan eljut valamelyik pólushoz. Azokat a térképi vetületeket , amelyekben az összes loxodrom egyenes vonalként van megrajzolva, Mercator-vetületnek nevezzük .

A navigációban

Ha rögzített nyomszöggel mozog a Földön, amelyet feltételesen gömbnek vagy geoidnak veszünk , akkor az objektum mozgásának pályája egy loxodrom lesz [5] . A Loxodrom nem a legrövidebb út két pont között (kivétel a meridiánok és az egyenlítő). Ennek ellenére a régi időkben a hajók és az utazók gyakran mozogtak a loxodromok mentén, mivel könnyebb és kényelmesebb állandó szögben menni a Sarkcsillaghoz . Az iránytű feltalálásával a navigátorok átváltottak a „mágneses loxodromok”, azaz a mágneses észak felé állandó szöget bezáró vonalak mentén történő mozgásra, ami lehetővé tette a továbbhaladást felhős időben is. De amint felfedezték a mágneses deklinációkat a Föld minden pontján, az emberek ismét áttértek a közönséges loxodromokra. Még a 20. században is a loxodromot használták a repülőgépek és hajók útvonalának meghatározásánál a szükséges pálya kiszámításához. Idővel, amikor megjelentek a megfelelő számítási teljesítménnyel rendelkező eszközök az aktuális szükséges nyomszög kiszámításához, a nagy köröket (a legrövidebb utat) kezdték aktívan használni, különösen a távolsági repülőgép-útvonalakon [6] .

A gömb loxodromának építése

Ahhoz, hogy a repülési térképeken loxodrom útvonalat lehessen fektetni, az útvonal végpontjait egyenes vonallal kell összekötni, és a középső meridiánon meg kell mérni a nyomszöget. Pontosabban, a loxodrom pályaszögét az útvonal kezdő- és végpontjából vett átlagos szögként számítják ki. Ezt követően az eredményül kapott nyomszöget a kiindulási ponttól kezdve szekvenciálisan építjük fel a térkép összes meridiánján. Az építkezés során kapott szaggatott vonal szinte közel van a loxodromhoz. Pontosabban, a loxodrom pályaszöge a következő képlettel számítható ki: $\alpha$

${\mathrm {tg}}\alpha ={\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\varphi _{2}-\varphi _{1}}}\cos \varphi _{ m}$ ,

hol van a kívánt nyomszög; $\alpha$
$\varphi_{1}$ és – az indulási és érkezési helyek szélességei; $\varphi _{2}$
$\lambda _{1}$ és ezek a pontok hosszúsági fokai; $\lambda _{2}$
${\displaystyle \varphi _{m))$ az átlagos repülési szélesség.

Példa . Határozza meg a loxodrom valódi nyomszögét, amikor Reimsből Potsdamba repül . $\alpha$

Megoldás . Meghatározzuk a koordinátákat:

– Reims

\varphi _{1}=49^{\circ }15'=2955';\lambda _{1}=4^{\circ }02'=242';

— Potsdam

\varphi _{2}=52^{\circ }24'=3144';\lambda _{2}=13^{\circ }04'=784';

átlagos szélesség ; . Következésképpen, $\varphi _{m}=50^{\circ }50'$ $\cos 50^{\circ }50'=0{,}6316$

\mathrm {tg} \alpha ={\frac {784-242}{3144-2955}}0{,}6316=1{,}806

{\displaystyle \alpha =61^{\circ ))

Az eredmény akkor lesz helyes, ha az útvonal végpontja az első negyedben van (0 - 90°). Ha a végpont a második negyedben van (90° - 180°), akkor a kívánt pályaszöget úgy kapjuk meg, hogy a kapott fokszámot kivonjuk 180°-ból. Ha a végpont a harmadik negyedben van (180° - 270°), akkor a kapott szöghez hozzáadódik a 180°, ha pedig a negyedik negyedben (270° - 360°), akkor a kapott szöget kivonjuk a 360°-ból.

A loxodrom hosszát km-ben a következő képletek határozzák meg:

a) 0°-hoz vagy 180°-hoz közeli szögeknél , $\alpha$

S\approx {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 1{,}852

km,

hol és vannak az indulási és érkezési szélességi fokok percben kifejezve, vagy $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

S\approx {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 111{,}18

km,

ahol és fokban vannak kifejezve. $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

b) 90°-hoz vagy 270°-hoz közeli szögeknél , $\alpha$

S\approx {\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\sin \alpha }}\cdot \cos \varphi _{m}\cdot 1{,}852

km.

A DS loxodrom és ortodrom hossza közötti különbség a párhuzamos repülés során éri el maximális értékét.

Így például a Reims és Potsdam közötti loxodrom hossza az előző példából megközelítőleg kiszámítható a következő képlettel:

S\approx {\frac {784-242}{\sin 61^{\circ ))}\cdot 0{,}6316\cdot 1{,}852\approx 725

km.

Képletek derékszögű koordinátákkal

A paraméteres képletek , amelyek meghatározzák a loxodromot a sugárgömbön bezárt útszöggel a derékszögű koordinátarendszerben : $\alpha$ $r$

x=r{\frac {\cos \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operátornév {ctg} \alpha ]));

y=r{\frac {\sin \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operátornév {ctg} \alpha ])));

z=r\,\mathrm {th} [(\lambda -\lambda _{0})\operátornév {ctg} \alpha ];

ahol a paraméter 0 és a pont hosszúsági foka. Itt és hiperbolikus koszinusz és tangens található . $\lambda$ $2\pi$ $\mathrm {ch}$ $\mathrm {th}$

Lásd még

ortodrom

Jegyzetek

↑ Loxodrome // Tengerészeti enciklopédikus kézikönyv / Szerk. N. N. Isanina. - Leningrád: Hajógyártás, 1987. - T. 1. - S. 398. - 512 p. — 30.000 példány.
↑ Az orosz nyelv gallicizmusainak történeti szótára. - M .: ETS szótárkiadó. Nikolaj Ivanovics Episkin. 2010
↑ Kendő, Michel . A geometriai módszerek eredetének és fejlődésének történeti áttekintése . Ch. III, n. 39.
↑ MacTutor .
↑ Ezt nem nehéz bizonyítani az útszög definícióival és a loxodrom definíciójával.
↑ Üzemanyag-megtakarítás és az utazási idő csökkentése érdekében.

Linkek

Online számológép: Kövesse nyomon a szöget és a távolságot két pont között a loxodrom mentén (lodoszlopvonalak)
Laxodromia // Military Encyclopedia : [18 kötetben] / szerk. V. F. Novitsky ... [ és mások ]. - Szentpétervár. ; [ M. ] : Típus. t-va I. D. Sytin , 1911-1915.
John J. O'Connor és Edmund F. Robertson . Loxodrome (angolul) - életrajz a MacTutor archívumában .

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg