Logaritmikus spirál

A logaritmikus spirál vagy izogonális spirál a spirál  egy speciális fajtája, amely gyakran megtalálható a természetben.

Történelem

A logaritmikus spirált először Descartes írta le, majd Bernoulli alaposan feltárta , aki Spira mirabilis -nak  , "a csodálatos spirálnak" nevezte el. Descartes olyan görbét keresett, amelynek a köréhez hasonló tulajdonsága van , így az érintő minden pontban azonos szöget zár be a sugárvektorral minden pontban. Megmutatta, hogy ez a feltétel egyenértékű azzal, hogy a görbe pontjainak poláris szögei arányosak a sugárvektorok logaritmusával .

Egyenletek

Poláris koordinátákban a görbe a következőképpen írható fel

vagy ill

ahol  a pont nullától való eltérési szöge, r  a pont sugárvektora, a  a fordulók sugaráért felelős együttható, b  a kanyarok távolságáért felelős együttható, e az Euler-szám .

Paraméteres formában úgy írható fel

ahol a , b  valós számok , t  analóg a kifejezésben poláris koordinátákkal

Tulajdonságok

• A logaritmikus spirál tetszőleges pontjában az érintő által az érintőpont sugárvektorával bezárt szög állandó és csak a b paramétertől függ . A differenciálgeometria szempontjából ez így írható fel

• A függvény deriváltja arányos a b paraméterrel . Más szóval, ez határozza meg, hogy a spirál milyen szorosan és milyen irányba csavarodik. Határesetben, amikor b = 0 , a spirál a sugarú körré degenerálódik . Ezzel szemben, ahogy b a végtelenbe megy , a spirál egyenes vonalra hajlik. A 90°-os szöget a csavarvonal meredekségének nevezzük .
• A logaritmikus spirál meneteinek mérete fokozatosan növekszik, de alakjuk változatlan marad.
• A kör egységnyi hosszára eső sugár növekedése állandó. Talán ennek a tulajdonságnak köszönhetően a logaritmikus spirál bizonyos növekedési formákban jelenik meg, például kagylóhéjban , napraforgósapkában , ciklonban és galaxisspirálban .
• Ha a szög növekszik vagy csökken egy aritmetikai sorozatban , akkor r nő (csökken) a geometriai sorozatban .
• A poláris tengely pólus körüli elforgatásával teljesen kiiktatható az a paraméter , és az egyenlet a formába hozható , ahol m  egy új paraméter.
• A görbületi sugár a spirál minden pontjában arányos a spirál ívének hosszával a kezdetétől az adott pontig.

Érdekes tények

• Jacob Bernoulli logaritmikus spirált akart vésni a sírjára, de tévedésből egy arkhimédeszi spirált helyeztek a sírkövére . A spirál köré a végrendelet szerint vésett latin felirat, „EADEM MUTATA RESURGO” („megváltozott, újra felkelek”) azonban arra utal, hogy a logaritmikus spirálról van szó, amelynek megvan az a figyelemre méltó tulajdonsága, hogy visszaadja alakját. különféle átalakítások után.
• A Tool repertoárjában a Lateralus című szerzemény a spiráloknak szentelt.

• a=0,01, b=0,15

• a=1, b=0,15

• a=1000, b=0,15

• A puhatestű héja alakja közel áll a logaritmikus spirálhoz

• Alacsony nyomású terület Izland felett

• Spirálgalaxis Whirlpool

Általánosítás

A logaritmikus spirál egy szinuszos spirál at ;

Lásd még

• arany spirál

Linkek

• A Wikimedia Commons rendelkezik a logaritmikus spirálhoz kapcsolódó médiával