Kettős görbe

A kettős görbe (vagy kettős görbe ) egy adott görbéhez a projektív síkon egy görbe a kettős projektív síkon , amely egy adott sima görbe érintőiből áll. Ebben az esetben a görbéket kölcsönösen duálisnak (dual) nevezzük . A koncepció általánosítható nem sima görbékre és többdimenziós térre.

A kettős görbék a Legendre-transzformáció geometriai kifejezései a hamiltoni mechanikában .

A kettős projektív sík

A projektív síkon lévő pontok és vonalak egymáshoz képest szimmetrikus szerepet töltenek be: bármely projektív síkra tekinthetjük a kettős projektív síkot , amelyben a pontok definíció szerint az eredeti sík egyenesei . Ebben az esetben a pontok a sík egyeneseinek felelnek meg , és az incidencia reláció az argumentumok permutációjáig ugyanaz lesz. $P$ $P^*$ $P$ $P^*$ $P$

Definíció

Legyen adott egy sima görbe a projektív síkon . Tekintsük az összes érintőjének halmazát . Ez a halmaz a kettős sík pontjainak halmazának tekinthető . Görbét alkot (nem feltétlenül sima) pontban , amit [1] duálisának nevezünk . $C$ $P$ $C^{*}$ $P^*$ $P^*$ $C$

A tér és a kettős tér közötti szimmetria miatt a -ben lévő görbével duális görbe (vagyis a -ben lévő egyparaméteres vonalcsalád) a -ben lévő görbe lesz . Ezt a görbét a vonalcsalád burkológörbéjének nevezzük [2] . $P^*$ $P$ $P$

Példa

Tekintsünk az egyenlet által adott ellipszist (lásd az ábrát). Érintői az egyenletek által megadott egyenesek lesznek , ahol . Így ennek az ellipszisnek a duális görbéjét a koordinátákban megadott egyenlet adja meg . $(x/2)^{2}+(y/3)^{2}=1$ $\alpha x+\beta y=1$ $(2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1$ $(2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1$ $\alpha$ $\beta$

Tulajdonságok

A kettős görbék a következő tulajdonságokkal rendelkeznek [1] [3] :

A duális görbe a kettős görbével az eredeti görbe lesz: . $(C^{*})^{*}=C$
Ha az eredeti görbe másodrendű görbe, akkor a vele kettős görbe is másodrendű lesz.
Az eredeti görbe minden kettős érintője (azaz két pont érintője) megfelel a kettős görbe önmetszéspontjának.
Az eredeti görbe minden inflexiós pontja a kettős görbe csúcsának felel meg.

Kapcsolat a Legendre transzformációkkal

Kettős görbéket alkalmaznak a Legendre-transzformációk leírására a Hamiltoni mechanikában . A Legendre-transzformáció ugyanis az affin koordinátákkal írt átmenet a görbéről a duális görbére . Ez a következő tulajdonságnak köszönhető: egy szigorúan konvex függvény gráfja duális az ehhez a függvényhez tartozó Legendre-transzformáció gráfjával [1] .

Parametrizálás

Paraméteresen meghatározott görbe esetén a kettős görbét a [4] egyenletek határozzák meg :

X={\frac {y'}{yx'-xy'}}

Y={\frac {x'}{xy'-yx'}}

Általánosítások

Nem sima görbék

A kettősség fogalma általánosítható szaggatott vonalakra és általában nem sima görbékre is, ha érintők helyett támaszvonalakat tekintünk . Egy síkban lévő egyenest a görbe referenciavonalának nevezzük, ha a görbe egy pontját tartalmazza, de a teljes görbe ettől az egyenestől egy félsíkban fekszik. Sima görbék esetén az egyetlen referenciavonal, amely a görbe adott pontján halad át, a görbe érintője. Így általánosíthatjuk a dualitás fogalmát nem sima görbékre: egy görbe duálisa tetszőleges görbére a támaszvonalak halmaza.

A vonallánchoz tartozó támaszvonalak halmaza is egy vonalláncot alkot: az eredeti vonallánc csúcsain áthaladó támaszvonalak a kettős sík szegmensét alkotják. Ezt a szaggatott vonalat kettős szaggatott vonalnak nevezik . Csúcsait az eredeti vonallánc szakaszaiból kapjuk [1] . Konkrétan egy sokszög duálisa egy kettős sokszögnek nevezett sokszög .

Kettős hiperfelület

A dualitás fogalma tetszőleges dimenziójú projektív térre is általánosítható. A kettős projektív tér az eredeti tér hipersíkjaiból álló tér.

Egy projektív tér adott konvex hiperfelületére az ezt a hiperfelületet támogató hipersíkok halmazát duális hiperfelületnek nevezzük [1] .

Példák

Legyen adott egy kör, amelyet valamilyen koordinátarendszerben ad meg az egyenlet . A kör érintője abban a pontban , ahol , egy egyenes . Ennek az egyenesnek a koordinátái a kettős koordinátarendszerben egy pár lesz . Így a körhöz tartozó kettős görbe a kettős görbe koordinátákkal rendelkező pontjainak halmaza lesz , ahol , azaz ismét a kör. $x^{2}+y^{2}=1$ $(a,b)$ $a^{2}+b^{2}=1$ $ax+by=1$ $(a,b)$ $(a,b)$ $a^{2}+b^{2}=1$

Általánosabb esetben, ha egy normát egy térben adunk meg , akkor a duális térben tekinthetjük a duális normát . A tér minden pontja megfelel az egyenlet által megadott hipersíknak . Kiderül, hogy a térbeli egységgömbhöz konjugált felület (az adott norma értelmében) a konjugált norma értelmében duális a duális térben lévő egységgömbhöz [1] . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathbb {R} ^{n}}^{*}$ $p$ ${\mathbb {R} ^{n}}^{*}$ $px=1$ $\mathbb {R} ^{n}$

Tehát például a kocka az egységes norma ( ) értelmében "gömb". A konjugált norma egy -norma . Ezért a kockával duális felület a "gömb" -ben , azaz az oktaéder lenne . $L^{\infty }$ $L^{\infty }$ $L^1$ $L^1$

Ezenkívül a politóp kettős felülete a kettős politóp lesz .

Lásd még

Boríték

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 Vladimir Arnold. Geometriai módszerek a közönséges differenciálegyenletek elméletében . Liter, 2015-02-21. - S. 32-33. — 379 p. — ISBN 9785457718326 .
↑ Szergej Lvovszkij. Vonalcsaládok és Gauss-leképezések . — Liter, 2015-06-27. - P. 5. - 39 p. — ISBN 9785457742048 .
↑ Vladimir Arnold. Közönséges differenciálegyenletek . Liter, 2015-02-21. - S. 120. - 342 p. — ISBN 9785457717886 .
↑ Evgueni A. Tevelev. Projektív kettősség és homogén terek . — Springer Science & Business Media, 2004.11.17. - S. 2. - 272 p. — ISBN 9783540228981 .

Görbék differenciális transzformációi a síkban
Párhuzamos görbe Evolute Bonyolult Podera antipodera Kettős görbe

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg